Théorie des probabilités Une introduction élémentaire
Doté d'une Histoire étoffée, et même d'une Préhistoire qui l'est presque autant, le Calcul des probabilités ne se réduit pas à une formulation imagée de la théorie de la Mesure et de l'Intégration. Il possède en effet ses tenants et aboutissants propres, façonnés par les glorieux fondateurs qui se sont succédé depuis l'époque de Blaise Pascal, Pierre de Fermat [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Théorie des probabilités"
Doté d'une Histoire étoffée, et même d'une Préhistoire qui l'est presque autant, le Calcul des probabilités ne se réduit pas à une formulation imagée de la théorie de la Mesure et de l'Intégration.
Il possède en effet ses tenants et aboutissants propres, façonnés par les glorieux fondateurs qui se sont succédé depuis l'époque de Blaise Pascal, Pierre de Fermat et Christian Huygens.
L'ouvrage présent est une introduction élémentaire à la théorie moderne des probabilités dans l'esprit d'Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov. L'auteur se propose d'emmener les débutants, mais aussi les connaisseurs, à la découverte des aspects essentiels de la théorie : la combinatoire des variables aléatoires finies qui débouche naturellement sur le cas discret, ainsi que les variables absolument continues qui bénéficient des résultats puissants en matière d'Intégration. Bernard Candelpergher n'hésite pas à multiplier les exemples pour rendre compte des modes mentaux propres à la théorie et pour en marquer les spécificités. Les notions d'indépendance et de conditionnement sont ainsi présentées d'une façon particulièrement lumineuse.
Le formalisme adopté dans l'ouvrage est celui de la théorie de la mesure, ce qui permet d'unifier pratiquement le point de vue élémentaire des probabilités discrètes et celui des probabilités continues. L'auteur évite toutefois les raffinements trop ardus de la théorie, préférant renvoyer en appendice certains développements plus utiles. Les notions introduites sont illustrées dans de nombreux exercices corrigés, qui figurent à la fin de chaque chapitre.
Le texte présente avec soin les grands théorèmes de la théorie, tels les lois des grands nombres ou le théorème central-limite, et offre une introduction motivée aux processus stochastiques et aux martingales.
À l'heure où les classes préparatoires sont sur le point de franchir elles aussi, «elles enfin» dirons-nous, le pas vers la théorie indispensable des probabilités, le livre de Bernard Candelpergher arrive à point nommé pour donner tous les outils bien polis à tous les étudiants et à leurs professeurs.
Auteurs :
Bernard Candelpergher est enseignant-chercheur en Mathématiques à l'Université de Nice. Ses travaux de recherche se situent dans le domaine de l'Analyse et concernent les procédés de sommation de séries divergentes et l'étude de certains aspects mathématiques de la physique quantique. Il est l'auteur de Fonctions d'une variable complexe, chez Armand Colin (1995). et Calcul intégral, chez Cassini (2009).
Sommaire et contenu du livre "Théorie des probabilités - Une introduction élémentaire"
Table des matières
I.
Probabilités et indépendance
1.Introduction ........ 1
2.
Ensemble des éventualités. . . 2
2.1.
Préliminaires . . . . . . . 2
2.2.
Relation entre le langage ordinaire et le langage ensembliste 4
2.3.
Probabilité d'un événement . 5
3.
Trois types d'espaces probabilisés .. 7
3.1.
Espace probabilisé fini . . . . . . 7
3.2.
Espace probabilisé dénombrable. 9
3.3.
Espace probabilisé non dénombrable 10
4.
Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . 12
4.1.
Passage au complémentaire . . . . . 12
4.2.
Réunion croissante et intersection décroissante 13
4.3.
Inégalité de Boole 14
4.4.
Formule de Poincaré . . 14
5.
Probabilités conditionnelles . 17
5.1.
Un petit paradoxe . . . 17
5.2.Définition
........ 18
5.3.
Formule des probabilités totales . 21
5.4.
Formule de Bayes. . . . . 22
6.
Indépendance 24
7.
Quelques problèmes classiques 27
7.1.
Trois cartes, une rouge et deux noires 27
7.2.
Trois bancs à deux places . . . . 30
7.3.
Partage avant la fin de la partie. 31
7.4.
L'aiguille de Buffon. . . . . . . . 34
8.
Suites d'événements indépendants .... 36
8.1.
Réunion d'événements indépendants 36
8.1.1.
Cas d'une réunion finie . . . . 36
8.1.2.
Cas d'une réunion infinie . . 37
8.1.3.
Lemme de la série divergente. 38
8.2.
Lemme de Borel-Cantelli . 39
9.
Exercices . 40
II.
Mesures
1.
Introduction . 43
2.
Algèbres de parties et tribus 44
2.1.
Définitions .... 44
2.2.
Tribu engendrée 46
3.
Mesures . 48
3.1.
Définition d'une mesure 48
3.2.
Opérations sur les mesures 51
3.3.
Mesures discrètes .. 52
4.
Construction de mesures . . . . 53
5.MesuredeLebesgue ....... 54
5.1.
Mesure de Lebesgue sur ]R . 54
5.2.
Propriétés . 54
5.3.
Mesure de Lebesgue sur ]Rn 54
6.
Mesures et fonctions de répartition sur ]R 55
6.1.
Fonction de répartition d'une mesure finie 55
6.2.
Mesure de Stieltjes . 57
6.3.
Correspondance . 58
6.4.
Mesures discrètes et diffuses sur]R . 59
6.5.
Décomposition d'une mesure finie sur ]R 60
7.
Le jeu de pile ou face . 62
7.1.
Mesure de probabilité sur un espace de suites 62
7.2.
Le jeu de pile ou face ... 63
7.3.
Développement dyadique 64
8.Appendice ........... 66
8.1.
Définition d'une mesure par prolongement 66
8.2.
Unicité du prolongement. 66
9.
Exercices . 68
III.
Variables aléatoires réelles
1.
Introduction . . . . .... 73
2.
Loi d'une variable aléatoire 74
3.
Fonction de répartition d'une VA 77
4.
Principales lois de probabilité 82
5.
Loi conditionnelle . . . . . .... 89
6.
Simulation d'une VA de loi donnée. 90
6.1.
Fonction d'une variable aléatoire 91
6.2.
Exemple de simulation d'une variable aléatoire X. 92
6.3.
Inverse de Lévy d'une fonction de répartition 93
6.4.
La simulation par inverse de Lévy 95
7.
Image d'une densité de probabilité. 96
8.Exercices ............... 97
IV.
Intégrale et moments
1.
Introduction . . . . . . . . . . ..... 101
2.
L'intégrale des fonctions mesurables . . 102
3.
Moments d'une variable aléatoire réelle 107
3.1.
Valeur moyenne ou espérance . 107
3.2.
Variance . 112
4.
Espérance conditionnelle par rapport à un événement 113
5.
Inégalités classiques . . . . . . . . . . .. 115
5.1.
Inégalités de Markov et Tchebychev 115
5.2.
Inégalité de Jensen .... 116
5.3.
Inégalité de Cramér-Rao . 117
6.
Formule de Taylor généralisée 118
7.
Appendice . 122
7.1.
Fonctions mesurables . 123
7.2.
L'intégrale des fonctions mesurables 124
7.3.
Permutation des signes lim, L: et J 127
7.4.
Intégrales dépendant d'un paramètre 128
7.5.
Espaces LI (E) et L2 (E) 129
7.5.1.
L'espace L1(E) 129
7.5.2.
L'espace L2 (E) 130
7.6.
Intégrale par rapport à une mesure discrète 132
7.7.
Mesures à densité . 134
7.8.
Le Théorème de transfert . 135
7.9.
Changement de variable dans IRn 137
8.
Exercices un
V.
Variables aléatoires à valeurs dans ]Rn 1.Introduction ............. 145
2.
Mesure produit 146
3.
Couple de deux variables aléatoires 149
4.
Indépendance de deux variables aléatoires. 155
4.1.
Indépendance dans le cas discret . 155
4.2.
Indépendance dans le cas à densité 159
5.
Convolution et régularisation . . . 163
6.
Changement de variables . . . . . 169
7.
Moyenne et matrice de covariance 170
8.
Régression linéaire . . . . . . . 173
9.
Espérance et loi conditionnelle. 174
9.1.
L'espérance conditionnelle. 174
9.1.1.
Cas où X est discrète 178
9.1.2.
Cas où le couple (X, Y) possède une densité 179
9.2.Loi
conditionnelle................... 180
9.2.1.
Cas où X estdiscrète............. 183
9.2.2.
Cas où le couple (X, Y) possède une densité. 184
10.
Généralisation à la dimension n 187
10.1.
Loi conjointe . . . . 187
10.2.
Moyenne et variance 187
10.3.
Indépendance . . . . 189
10.4.
Régression linéaire . 196
10.5.
Espérance conditionnelle. 197
10.6.
Tribu engendrée par une VA . 197
10.7.
Lois conjointes et Inégalité de Bell 198
10.7.1.
Retour sur la loi conjointe de deux VA 198
10.7.2.
Loi conjointe de trois VA 200
10.7.3.InégalitédeBell
.......... 202
11.Appendice ................... 203
11.1.
Produit de deux mesures de probabilité 203
11.2.
Mesure produit sur l'espace des suites 205
12.Exercices ................... 207
VI.
Fonctions caractéristiques 1.Introduction . . . . . . . . 209
2.
La fonction caractéristique 210
2.1.
Définitions et propriétés 210
2.2.
Fonction caractéristique d'une VA à valeurs dans un réseau. 213
2.2.1.
Cas où X est à valeurs dans aZ ... 213
2.2.2.Casgénéral.
.............. 214
2.3.
Fonction caractéristique d'une VA à densité 215
2.4.
La fonction ln(
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