Systèmes dynamiques
Une introduction
La collection Mathématiques 2e cycle se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des [...]
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Auteur : Charles-Michel MARLE
Editeur : Ellipses
Collection : Mathématiques 2ème cycle
Date parution : 07/2003CB Google/Apple Pay, Chèque, Virement
Quel est le sujet du livre "Systèmes dynamiques"
La collection Mathématiques 2e cycle se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels et de nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages -ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur.
Ce livre est issu d'un cours professé pendant plusieurs années à l'Université Pierre et Marie Curie, en maîtrise de mathématiques. Sa lecture ne nécessite pas de connaissances préalables autres que celles habituellement enseignées dans un cours de Calcul différentiel en licence de mathématiques. Le lecteur pourra trouver ces connaissances, par exemple, dans l'ouvrage Calcul différentiel de la même collection, par Anne Cot, Gilles Christol et l'auteur du présent livre.
L'étude des systèmes dynamiques offre une occasion d'illustrer l'utilisation des grands théorèmes enseignés en Calcul différentiel (inversion locale, fonctions implicites,...) pour des applications précises. De plus, elle permet d'accéder rapidement à des sujets de recherche actuels.
Afin de rendre cet ouvrage facilement accessible, nous avons choisi de présenter la théorie dans le cadre des espaces affines de dimension finie, plutôt que dans celui des variétés différentiables. Cela suffit pour l'introduction et l'étude de la plupart des notions ayant un caractère local. Cependant, les variétés différentiables apparaissent inévitablement, même lorsque les systèmes dynamiques considérés sont définis sur un ouvert d'un espace affine (ne serait-ce que sous forme de variétés stable et instable d'un point d'équilibre hyperbolique). Nous avons donc présenté les quelques notions de géométrie différentielle nécessaires pour la compréhension de ce livre dans un dernier chapitre, avec d'autres compléments.
Le lecteur n'en aura pas besoin avant le chapitre V ; aguerri par l'étude des quatre premiers chapitres il pourra, lorsqu'il en éprouvera le besoin, se reporter au chapitre VII où il trouvera un exposé bref, mais rigoureux et complet, de toutes ces notions.
Sommaire et contenu du livre "Systèmes dynamiques - Une introduction"
Table des matièresChapitre premier. Généralités sur les systèmes dynamiques . 1
1.Lanotiondesystèmedynamique . . . . . . . . . 1
2.
Trajectoires, orbites et ensembles limites . . . . . 5
3.
Générateur (infinitésimal) d'un système dynamique 7
4.
Exemples de systèmes dynamiques 9
5.Exercices.................... 17
6.Solutions.................... 17
Chapitre II.
Rappels sur les équations différentielles 18
1.
Équations différentielles sous forme canonique 18
2.
Le théorème d'existence et d'unicité 19
3.
Bouts d'une solution maximale. . . 22
4.
Le flot d'une équation différentielle. 25
5.
Transformation par difféomorphisme 31
6.Exercices............. 33
7.Solutions............. 34
Chapitre III.
Points d'équilibre d'un système dynamique 39
1.
Généralités sur les points d'équiliLï~ .. 39
2.
Stabilité d'un point d'équilibre ..... 42
3.
Bassin d'attraction d'un point d'équilibre 50
4.
Points d'équilibre instables . 52
5.
Points d'équilibre des champs linéaires en dimension 2 54
6.
Le flot d'un champ de vecteurs au voisinage d'un point d'équilibre 58
7.
Cas d'un champ de vecteurs dans le plan 68
8.Exercices . . . . . . . . . . . 88
9.Solutions .............. 89
Chapitre IV.
Orbites périodiques .... 93
1.
Généralités sur les orbites périodiques 93
2.
Temps de transit et application de Poincaré 95
3.
Orbites périodiques attractives . . . . 107
4.
Un exemple: l'équation de Van der Pol 108
5.
Le théorème de Poincaré-Bendixson 121
6.Exercices. . . . . . . . . . . . . . 129
7.
Solutions . 130
Chapitre V.
Linéarisation et conjugaison 136
1.
Linéarisation au voisinage d'un point d'équilibre 136
2.
Conjugaison topologique ou différentiable 138
3.Obstaclesàlaconjugaison . . . . . . . . . 142
4.
Quelques résultats préliminaires . . . . . . 144
5.
Cas d'un système dynamique à temps discret 150
6.
Cas d'un système dynamique à temps continu 157
7.
Variétés stable et instable d'un point hyperbolique 159
8.
Conjugaison différentiable . . . . . . . . . . . 173
9. Application aux orbites périodiques
10.Exercices . . . . . . . . . . .
11.Solutions .'. . . . . . . . . . . . Chapitre VI. La théorie de l'indice ..
1. Le degré d'une application du cercle dans lui-même
2. Courbes de Jordan .
3. Indice d'une courbe de Jordan relativement à un champ de vecteurs.
4. Indice d'un point d'équilibre isolé .
5. Le théorème de Poincaré-Hopf .
6. Variantes et extensions de la théorie de l'indice
7.Exercices . . . . . . . .
8.Solutions . . . . . . . . . . . Chapitre VII. Compléments ...
1. Compléments d'algèbre linéaire
2. Compléments au théorème du point fixe
3. Le théorème..de Jordan. . . . . .
4. Notions de géométrie différentielle
5. Les fibrés tangent et cotangent
6. Orientation
7. Exercices .
8. Solutions . Bibliographie .
1. Conseils de lecture
2. Références Index .
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