L'Oral de mathématiques et d'informatique aux concours X-Mines - Centrale
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Sommaire et contenu du livre "L'Oral de mathématiques et d'informatique aux concours X-Mines - Centrale - PC - PC*"

Table des mati?s 1 Polyn? 9 Centrale. Factorisation de polyn? en irr?ctibles 10 Centrale. Triangle des racines d'un polyn?. 11 X. Carr?orm?ar les racines d'un polyn?. 13 Centrale. Equations lin?res portant sur des polyn? 13 Mines. Factorisation d'un polyn?calcul d'un produit 15 Type X.Polyn?deTchebycheff . . . . . . . . . . . 16 Type X. Calcul de ((2) ?'aide de polyn? . 18 Centrale. Calcul d'un d?rminant li? un polyn?.. 21 Type X. Polyn? de Legendre . 23 Centrale. Polyn? scind??acines simples sur IR[X] . 25 X. Sommes des carr?dans un anneau . 26 2 Alg?e lin?re, matrices 29 Type Centrale. Travailsurdesrangs .............. 30 Centrale. Ind?ndance lin?re d'une famille de fonctions 30 X. Indice de nilpotence en dimension finie . . . . . . . . . . 31 Type X.Noyauxit?s...................... 32 Type X. Applications des noyaux it?s . 34 Type X. Produit d'endomorphismes nilpotents qui commutent 35 X. Equation matricielle sur Atz(C) . 35 X. D?mposition de l'identit?n uv +vu. 35 X. Caract?sation des matrices nilpotentes par le spectre 36 Centrale. Comparaison des rangs de A, tAA et AtA . 37 Mines. Hyperplans stables par un endomorphisme . 37 Type X. Centre multiplicatif de Atn(IK) . 39 Mines. Valeur propre commune ?eux matrices 41 X. Somme nilpotente de matrices . 41 Type Mines. Matrices ?iagonale dominante . 42 Centrale. SiAB-BA = Boo . 43 Centrale. Cas d'?lit?e Rg( 9 0 f) avec Rg( g), avec Rg(f) . 44 Mines. Projecteurs qui commutent. . 45 Mines. Un crochet de Lie . 46 X. Expression du rang comme un min . 47 Type X. Applications de Atn(IK) -j JI( conservant le produit 47 Type X. Matrices compagnon et commutant d'un cyclique. 48 X. Formes lin?res sur ..4tn (IR) ..... 50 X. Mono? fini de matrices inversibles . 51 Mines. Sitr(Ak)=tr(Bk)pourtout koo . 53 X. Equations matricielles sur At3 (IR) . 55 Type X. Une matrice de At3(C) semblable ?a transpos?56 X. Hyperplans stables et formes lin?res .. 58 Centrale. Etude des matrices de trace nulle .. 60 Mines. Dualit? 63 X. Une factorisation sur les endomorphismes 64 3 D?nninants 67 Type Centrale. D?rminant d'une matrice form?de ±1 68 Type Mines. D?rminant par blocs '" 68 Type Mines. D?rD?ant par blocs 2 . 69 Ce?1trale. Matrices ci~cupntes d'ordre 4 . 69 Mmes. det(A + In)SIA =° . 70 Mines. Inverse d'une matrice ?aram?es. 71 Type X. D?rminant des lai -ajl .... 72 Formule d'inversion matricielle .. 73 Type X. Mines. D?rminants de Vandermonde . 74 D?rminant circulant . 76 Type X. Type X. D?rminants de Cauchy, de Hilbert. 78 4 R?ction 81 Mines. Caract?sation de certains projecteurs 82 Mines. Polyn?annulateur . 82 Type Centrale. Polyn?annulateur 2 . 83 Mines. Polyn?annulateur 3 . 83 Centrale. Spectre et inverses de IdE -uv et IdE -vu 84 Mines. Diagonalisation de Vty pour V, Y deux colonnes 85 Type Mines. R?ction d'une matrice creuse . 86 Mines. ??nts propres d'une matrice . 87 Mines. Diagonalisabilit?'une application sur les matrices 88 Type Mines. Diagonalisation simultan?. 89 X. Diagonalisation simultan?g?ralis?. 89 Type Centrale. Commutant d'un endomorphisme diagonalisable 90 Type Mines. Un cas de d?mposition des noyaux . 92 Centrale. Etude d'endomorphismes sur Atn(C) . 94 Centrale. Un endomorphisme sur les endomorphismes .. 95 Centrale. Trigonalisation d'un endomorphisme nilpotent. 97 Centrale MAPLE. R?ction de matrices ?aram?es 99 Mines. Unspectrenon trivial................. ·102 X. Sous-espaces stables par une matrice . · 104 Mines. Caract?sation de la diagonalisabilit? .105 Type X. Diagonalisabilit?'un produit tensoriel d'ordre 2 · 107 Centrale. Diagonalisabilit?nilpotence de f ~ f 09-90 f · 108 Mines. Diagonalisabilit?t hyperplans stables. · 109 Centrale. Valeur propre commune . . · 110 X. Que dire si u 2 est diagonalisable? . · 111 X. Diagonalisation par blocs . .112 X. Diagonalisation par blocs 2 . · 113 X. Diagonalisabilit?e u, de Plu) si P/(u) E Gl(E) . · 115 5 Espaces pr?lbertiens ou euclidiens 117 Centrale. Diff?nce de bases orthonormales directes · 118 Mines. Endomorphismes sym?iques et orthogonaux · 119 X. Extrema d'une fonction sur '6'°([0, 1], IR~) . .119 Centrale. Matrices orthogonales d'ordre 3 · 120 X. Trace d'un produit de 51'2 (IR) . · 121 Centrale. Sur le double produit vectoriel . .122 Mines. Produit scalaire usuel sur Atn(IR), norme du produit. · 124 Mines. Orthogonalit?'une matrice par blocs . . . . . 125 Mines. Endomorphisme sym?ique sur lRn [X] . . . . . 126 Type X. R?ction d'une matrice creuse sym?ique . 127 Centrale. Matrices sym?iques positives . . . . . . . . 128 Mines. Racine carr?d'un endomorphisme sym?ique positif . 130 Mines. Endomorphismes et matrices antisym?iques . 132 Centrale MAPLE. Projection orthogonale dans lR2n[X] . 134 Type Mines. Orthogonalit?es polyn? d'Hermite. . . . . . . 136 X. Orthogonalit?t minimisation avedes polyn? de Tchebycheff . 138 Type X. Orthogonalit?es polyn? de Legendre. . . . . . . 140 Centrale. Minimisation d'int?ale et projection orthogonale . 142 Type X. Matrices de Gram . 144 X.Famillesobtusangles................. .146 X. Th?? du minimax de Courant-Fischer. . . . . 148 Type X. Polyn? orthogonaux associ??n poids . 149 6 G??ie, courbes et surfaces 153 Centrale. R?ction d'une ?ation de quadrique. . 154 Centrale. Equation polaire d'un carr? . . . . . . . . 155 Centrale. Etude d'une courbe param?? . . . . . . 155 X. Polygone dont les milieux des c? sont impos?. 156 Centrale. Rayon de courbure d'une courbe en polaire. . 158 Centrale. Isobarycentre de trois points d'une parabole . 159 Centrale. R?ction d'une ?ation de conique . . . . . 161 Mines. Caract?sation des tangentes ?ne ellipse .. . 161 Centrale MAPLE. Famille de courbes param??. . . . 162 Type Centrale. Normales les plus ?ign? d'une ellipse . 166 Centrale. Cylindre d?ni par g?ratrices et directrice . . 167 Centrale. Trac?u pentagone r?lier ?a r?e et au compas . 168 Type Mines. D?nition biaxiale du parabolo? hyperbolique . 169 Centrale. Plans tangents contenant une droite donn?. 170 Type Centrale. Courbe orthoptique de l'ellipse . . . . . . 171 Centrale. Sommets des paraboles ?angente impos? . 173 Type Centrale. Recherche de lieu g??ique . . . . 175 Type X. Courbe de lR2 d?nie de mani? implicite . . . 176 Centrale. Equation cart?enne d'un c? . . . . . . . . 178 Type X. Lieu du foyer d'une parabole ?angentes prescrites. . 179 Centrale. Images de parties de l'espace par l'inversion . 181 Type X. Equation intrins?e d'une courbe plane . . 183 Type X. Equation intrins?e d'une courbe plane 2 . 184 Type X.Unesurfacer??............. .184 Aire de la boucle du folium de Descartes . 185 Type X. Mines. Tangentes ?'hippop? . . . . . 187 Centrale. Podaire de l'hyperbolo? . . . 190 Mines. Surface r??et d?loppable . 192 7 Espaces vectoriels norm? suites 195 Type Centrale. Limites de puissances de matrices · 196 Type Mines. Preuve de la formule de Stirling par Wallis · 196 Mines. Suite de complexes . · 197 Mines. Une s?e sp?ale altern?. · 198 Type Mines. Limites des racines =racines de la limite . . · 198 Type X. D?loppement asymptotique des solutions de x = tan(x) .200 Mines. Produit infini : convergence, calcul . · 201 Type X. Normes de Holder . .203 X. Radicaux imbriqu?. .205 Type X. Lemme de Ces?, application ?in+1 = sin(un) .207 Type X. Ces? (variante) . .209 Type X. Ces? (variante 2) . · 210 Suite r?rrente lin?re d'ordre 3 .211 Type X. Mines. Limite de sin(27ffi!e) . .213 X. Th?? de Korovkin . .214 Centrale. M?ode de Newton sur les matrices. .216 X. Equivalent d'un produit en +00 . .220 X. Normes subordonn? et sous-groupes born?de GLn(C) .222 8 Fonction d'une variable r?le 227 X. Une majoration . .228 Centrale MAPLE. Fonction d?nie par une int?ale . .228 Mines. Int?ation des relations de comparaison: application. .230 Centrale. Point fixe d'une fonction [0, 1] ~ [0,1] .232 X. Une fonction qui augmente les distances .233 Centrale. Une ?ation fonctionnelle .234 X. Limite pour f ===} limite pour f'? .235 X. Etude d'une suite d'int?ales .. .237 9 Int?ation 239 Centrale. Int?ales ?aleurs complexes . . . . . .240 Centrale. Suite simple, d?nie par des int?ales .241 Centrale MAPLE. Calcul d'une int?ale .242 Mines. Calcul d'une int?ale impropre .243 Mines. Calcul de J~ xE(l/x)dx . .244 Mines. Equivalent d'une int?ale ?aram?e .245 Type Centrale. Permutation somme/int?ale . .246 Mines. Une propri? g??ique de l'int?ale .247 Centrale. Fonction implicitement d?nie par une int?ale. .248 Centrale MAPLE. D?loppement asymptotique d'une suite. .249 X. Etude d'une suite d'int?ales . .252 Mines. Int?ale ?aram?e dans les bornes . .254 X. Calcul d'une int?ale par ses sommes de Riemann .257 Mines. Transform?de Laplace d'arctan . .259 Type X. Equivalent d'une int?ale ?aram?e . .261 Centrale. Equivalents d'une transform?de Laplace .262 Centrale. Int?ale d?ndant d'un param?e .. .264 Transform?de Fourier de la loi normale .266 Type X. Type Mines. Permutation somme/int?ale .... .268 Centrale MAPLE. Int?ales d?ndant d'un param?e .269 o t Mines. Int?ale ?aram?e vs. s?e de fonctions .275 Type X. Variante du lemme de Lebesgue . .277 Mines. Une question d'int?abilit? .279 Type X. Equivalent d'une int?ale ?aram?e .. .281 Centrale. Suite r?rrente et int?ales ?aram?e .282 Centrale. Th?? de la limite centr?. .285 J +OO sin(t) Mines. Convergence et valeur de --dt . . .273 10 S?es num?ques 289 n Mines. Equivalent de L kk lorsque n ----l +00 .290 k= Centrale. Convergence d'une s?e ?aram?es. .290 Mines. D?loppement asymptotique. . . .291 Centrale. D?loppement asymptotique 2 .. . .292 Mines. D?loppement asymptotique 3 . .293 Centrale. S?es et produits num?ques . .294 Mines. Etude impliquant une s?e de Bertrand .296 1 Mines. Etude de L fa f(x)xndx . .297 Type X. Sur la s?e des Un lorsque (Un)n est d?oissante .299 X. Approximations d'un r? par des s?es pseudo-altern? . 301 X. D?mposition en s?e factorielle d'un r? . .303 11 S?es de fonctions, de Fourier 305 Mines. Calcul de «(2) et «(4) . .306 Mines. Convergence simple, normale d'une s?e de fonctions .307 Mines. In?lit?sop?m?ique (ou de Wirtinger) . .309 X. S?e des primitives it?es d'une fonction . .309 Mines. Equivalent d'une s?e de fonctions . .311 Centrale MAPLE. Equivalent d'une s?e de fonctions 2. .312 Type Mines. Etude d'une s?e de fonctions . .315 Centrale. S?es de fonctions monotones . . 318 Type X. Propri?s de la somme d'une s?e de fonctions .319 Mines. S?e de Fourier par des d?loppements en s?e enti? .321 Type X. S?e de Fourier d'une fraction trigonom?ique .. .323 Mines. Calcul d'une somme ?'aide d'une s?e enti? ... .324 Centrale MAPLE. Transformation d'Abel et s?e de Fourier .325 12 S?es enti?s 329 Centrale. Rayons de convergence . . . . . . . . . .330 Mines. Rayon de convergence d'une s?e enti? .330 Mines. Equivalent d'une s?e enti? au bord .. .330 X. Equivalent d'une s?e enti? au bord 2 ... .332 Centrale. Rayon de convergence et somme d'une s?e enti?. .332 Type X. Fonction non d?loppable en s?e enti?. .333 Mines. Produit de Cauchy . .335 Mines. D?loppement en s?e enti? . . . .336 Mines. Etude et somme d'une s?e enti?. .338 Type Centrale. Matrice et s?e enti? .... .338 Mines. NoyaudePoisson................... .339 Type Centrale. Transform?de Laplace d'une s?e enti? . 343 Centrale MAPLE. Produit de s?es enti?s . 345 Type Mines. S?e g?ratrice des polyn? d'Hermite . 347 X. Equivalent au bord d'une s?e enti? lacunaire. . 349 Centrale MAPLE. Etude d'une s?e g?ratrice . . . . . . 351 13 ?uations diff?ntielles 355 Type Mines. Syst? diff?ntiel en z = x + iy ........... .356 Type Centrale. Syst? diff?ntiel antisym?ique . 356 Type Mines. Le second membre est une exponentielle-polyn?. 357 Type Mines. Equation d'ordre 1 avec raccordement . . . . . . . . . 357 Type Centrale. Solutions maximales d'une ?ation diff?ntielle . 358 Mines. Variationsdes constantes................... .359 Mines. Equation diff?ntielle, s?es enti?s et raccordement. . . 361 Type Mines. S?es enti?s et raccordement pour un second ordre . 362 Type X. S?e enti?, variation de la constante et raccordement . . . 364 Centrale MAPLE. Equation non lin?re, trac?es courbes int?ales. . 367 Mines. Principe de superposition sur une somme infinie . . 369 Centrale MAPLE. Syst? diff?ntiel autonome . . 370 14 Fondions de plusieurs variables 373 Type Centrale. Calcul d'une int?ale multiple . 374 X. Bornes d'une fonction de trois variables . . 374 Centrale. Fonctions anisotropes sur IRn{O} . . . 375 Centrale MAPLE. Extrema d'une fonction de deux variables. . 376 Type Mines. Changement de variable polaire . . . . . . . . . 378 Centrale. Extrema d'une fonction de deux variables 2 . . . . 379 Type X.Calculd'unLaplacien ................ .380 Type Centrale. Calcul d'int?ale par une int?ale double . 381 Type X. Centre de masse d'un demi-disque . 382 Type Mines. Calculd'int?ale double. . . . . . . . . . . . .383 Centrale. Diff?orphisme, ?ation aux d?v? partielles . 384 Type Mines. Changement de variables dans une int?ale double . 385 Type Centrale. Equation aux d?v? partielles du second ordre. . 386 Centrale. Optimisation d'int?ales avec contrainte au bord . 387 15 R?m?APlE 391