On sait que ce n'est qu'à partir du XIX siècle qu'il devint nécessaire de généraliser les propriétés des opérations numériques et géométriques pour obtenir de très puissants moyens de démonstration. Cependant, sans le savoir, les premiers mathématiciens ont utilisé, depuis l'origine de la notion de nombre, la structure de groupe, [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Opérations et structures algébriques"
On sait que ce n'est qu'à partir du XIX siècle qu'il devint nécessaire de généraliser les propriétés des opérations numériques et géométriques pour obtenir de très puissants moyens de démonstration.
Cependant, sans le savoir, les premiers mathématiciens ont utilisé, depuis l'origine de la notion de nombre, la structure de groupe, par exemple, qui est à la foi si simple et si riche. D'une manière générale, les structures algébriques s'avèrent d'une remarquable efficacité pour comprendre et résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Dans les mathématiques dites de pointe d'aujourd'hui, les structures algébriques sont, bien sûr, toujours d'actualité.
On peut dire, par exemple, qu'elles constituent l'élément fondamental pour la réalisation des codes détecteurs et correcteurs d'erreurs les plus importants et les plus utilisés. En effet, la connaissance de telles structures est nécessaire pour établir toutes les propriétés de ces codes détecteurs et correcteurs d'erreurs. Les structures algébriques interviennent même directement dans la construction de tels codes.
Le présent ouvrage a donc pour ambition de présenter au lecteur, en matière de structures algébriques, les principales notions de l'une des plus belles théories des mathématiques.
Sommaire et contenu du livre "Opérations et structures algébriques"
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CHAPITRE 1
LES OPERATIONS
GENERALITES 1
ASSOCIATIVITE 2
COMMUTATIVITE 3
TABLE D'UNE OPERATION 3
TEST DE LIGI-IT 6
ELEMENT NEUTRE 12
SIGNE DESIGNANT UNE OPERATION 14
ELEMENT NEUTRE ET TABLE DE CAYLEY 14
ELEMENT SYMETRIQUE 16
ELEMENTS SIMPLIFIABLES 18
ELEMENT SYMETRIQUE ET TABLE DE CAYLEY 19
ELEMENT REGULIER 20
RELATIONS ( RAPPELS) 21
REPRESENTATION SAGITTALE 21
REPRESENTATION CARTESIENNE 22
TABLEAU 23
PRODUIT CARTESIEN 24
RELATION 24
RELATION FONCTIONNELLE OU FONCTION 24
APPLICATIONS 25
APPLICATIONS SURJECTIVES OU SURJECTIONS 25
APPLICATIONS INJECTIVES OU INJECTIONS 25
APPLICATIONS BIJECTIVES OU BIJECTIONS 26
PROPRIETES DES RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE 26
REFLEXIVITE 26
SYMETRIE 26
ANTISYMETRIE 27
TRANSITIVITE 27
RELATION RECIPROQUE D'UNE RELATION DONNEE 27
COMPOSITION DES RELATIONS 28
DIAGRAMMES SAGIITAUX DE DEUX RELATIONS 9l 1ET 9l 2 29
FONCTION RECIPROQUE D'UNE FONCTION DONNEE 30
APPLICATION RECIPROQUE D'UNE APPLICATION DONNEE 30
COMPOSITION DES FONCTIONS 30
COMPOSITION DES APPLICATIONS 31
PERMUTATIONS 31
INVOLUTION 32
PARTIES D'UN ENSEMBLE 32
ENSEMBLE DES PARTIES D'UN ENSEMBLE 32.
FAMILLE DE PARTIES D'UN ENSEMBLE 33
PARTITION D'UN ENSEMBLE 33
RECOUVREMENT D'UN ENSEMBLE 34
RELATIONS D'EQUIVALENCE 34
CLASSES D'EQUIVALENCE 35
ENSEMBLE QUOTIENT 38
DECOMPOSITION CANONIQUE D'UNE APPLICATION 38
EQUIPOTENCE 40
RELATION D'ORDRE 41
ORDRE TOTAL 41
ORDRE PARTIEL 42
RELATION D'ORDRE STRICT 42
INTERVALLES 42
MAJORANT 43
MINORANT 43
ELEMENT MAXIMUM 43
ELEMENT MINIMUM 44
BORNE SUPERIEURE 44
BORNE INFERIEURE 45
TABLEAU DES NOTATIONS 45
DISTRIBUTIVITE D'UNE LOI PAR RAPPORT AUNE AUTRE 47
COMPATIBILITE 47
HOMOMORPHISME OU MORPHISME 52
ISOMORPHISME 53
ENDOMORPHISME 54
AUTOMORPHISME 55
ARTHUR CAYLEY 55
QUELQUES STRUCTURES ALGEBRIQUES 56
CHAPITRE2
SEMI -GROUPES
DEFINITION 59 VERIFICATION 59 STRUCTURES 59 TABLE DE CAYLEY 60 CLASSES RESIDUELLES MODULO fi 61 ORDRE D'UN SEMI -GROUPE 65 NOMBRES PAIRS ET NOMBRES IMPAIRS 65
CHAPITRE3
MONOÏDES
DEFINITION 67 VERIFICATION 67 STRUCTURES 68 ORDRE D'UN MONOïDE 68 OPERATION ET ELEMENT NEUTRE 68 ELEMENT SYMETRISABLE 68 TABLE DE CAYLEY 69 SOUS -MONOïDE D'UN MONOÏDE 70
CHAPITRE4
GROUPES
DEFINITION 71 VERIFICATION 72 STRUCTURES 72 DIAGRAMMES SAGITTAUX 73 SUBSTITUTIONS 78 ORDRE D'UN GROUPE 98 PROPRIETES 98 NOTATION ADDITIVE 102 NOTATION MULTIPLICATIVE 103 TABLES DE CAYLEY 104 SUBSTITUTIONS CIRCULAIRES 116 DES PETITS CARRES DANS LES TABLES DES GROUPES 124 TRANSFORMATIONS LAISSANT INVARIANT UN TRIANGLE
EQUILATERAL 1.33
TRANSFORMATIONS LAISSANT INVARIANT UN CARRE 135
LE PLAN EUCLIDIEN STRUCTURE D'ESPACE VECTORIEL SUR UN CORPS
140
ESPACES VECTORIELS 141
COMMUTATIF K 141
PROPRIETES DANS UN K -ESPACE 142
SOUS -ESPACES VECTORIELS 144
STRUCTURE D'ALGEBRE SUR UN CORPS K 144
SOUS -ALGEBRE 145
APPLICATIONS LINEAIRES 148
EVARISTE GALOIS 149
CHAPITRES
sous -SEMI -GROUPES
DEFINITION 151
VERIFICATION 151
STRUCTURES 152
SEMI -GROUPES CYCLIQUES 154
TABLES DE CAYLEY 156
CHAPITRE 6
SOUS -MONOÏDES
DEFINITION 159
VERIFICATION 159
STRUCTURES 161
MONOÏDES CYCLIQUES 168
CENTRE D'UN MONOÏDE 168
CHAPITRE 7
SOUS -GROUPES
DEFINITION 171 VERIFICATION 172 PROPRIETES 173 GROUPE DES ELEMENTS INVERSIBLES D'UN MONOÏDE 178 SOUS -GROUPE ENGENDRE PAR UNE PARTIE 178 SOUS -GROUPE MONOGÈNE 181 CENTRE D'UN GROUPE 181 STRUCTURES 182 SOUS -GROUPES CYCLIQUES 187 GROUPE CYCLIQUE INFINI 194 NOMBRES INFERIEURS OU EGAUX AU NOMBRE N ET PREMIERS AVEC CE NOMBRE 205 AUTOMORPHISME INTERIEUR D'UN MONOïDE 206 AUTOMORPHISME INTERIEUR D'UN GROUPE 207 SOUS -GROUPES INVARIANTS OU DISTINGUES 207 COMMENT DETERMINER LES CLASSES D'EQUIVALENCE À GAUCHE MODULO H 218 COMMENT DETERMINER LES CLASSES D'EQUIVALENCE À DROITE MODULO H 226 GROUPE QUOTIENT 231 TABLE CORRESPONDANT AU GROUPE QUOTIENT (Z/7Z ,T ) 238 GROUPE QUOTIENT ( RESUME ) 240
CHAPITRE8
HOMOMORPHISMES DE GROUPES
DEFINITION 243 HOMOMORPHISMES ET PROPRIETES 244 PROPRIETES DANS LE CAS D'UN MORPHISME SURJECTIF 251 SOUS -STRUCTURES ALGEBRIQUES AVEC UNE SEULE OPERATION BINAIRE 254 COMPOSITION DE DEUX MORPHISMES 256 ENSEMBLE DES ENDOMORPHISMES D'UNE STRUCTURE ALGEBRIQUE 257 ISOMORPHISMES 261 RELATION D'EQUIVALENCE SUR L'ENSEMBLE DES
STRUCTURES ALGEBRIQUES 264
THEOREME DE CAYLEY 266
AUTOMORPHISMES 272
HOMOMORPHISME CONSIDERE COM1VfE ETANT LA
COMPOSITION D'HOMOMORPHISMES 275
DIAGRAMMES SAGITTAUX 278
DECOMPOSITION D'UN HOMOMORPHISME 279
NOYAU D'UN MORPHISME 280
CHAPITRE 9
ANNEAUX
DEFINITION 289
RELATION DE DIVISIBILITE DANS UN DOMAINE
FONCTIONS DE TRANSFERT DES FILTRES
VERIFICATION 290
QUELQUES REMARQUES 290
STRUCTURES 291
PROPRIETES 292
ORDRE D'UN ANNEA U 293
INDICE D'UN ELEMENT 294
CARACTERISTIQUE D'UN ANNEAU 295
DIVISEURS DE ZERO 298
LOIS DE SIMPLIFICATION 300
ELEMENTS INVERSIBLES 302
ANNEAU UNIFERE 303
ANNEAU INTEGRE 304
DOMAINE D'INTEGRITE 308
D'INTEGRITE 310
ANNEAU BOOLEEN 321
ANNEAU EUCLIDIEN 326
ANNEAU ORDONNE 331
ANNEAU DES POLYNÔMES 334
POLYNOMIAUX 349
EXEMPLE 357
TRANSFORMATIONS FREQUENTIELLES 358
ANNEAUX ET ALGEBRES DE FONCTIONS 360
CORPS DES FRACTIONS D'UN ANNEAU D'INTEGRITE 360
ELEMENTS ENTIERS 362 ANNEAU INTEGRALEMENT CLOS 363 ANNEAU FACTORIEL 363
CHAPITRE 10
CORPS
DEFINITION 365 VERIFICATION 366 AUTRES DEFINITIONS 367 ORDRE D'UN CORPS 368 STRUCTURES 369 PROPRIETES 370 DOMAINE D'INTEGRITE POSSEDANT UN NOMBRE FINI D'ELEMENTS 372 CORPS DE RESTES 373 ANNEAU DES POLYNÔMES SUR UN CORPS 373 CORPS DES QUATERNIONS 385 CORPS DE NOMBRES 390
CHAPITRE 11
SOUS-ANNEAUX
DEFINITION 391 VERIFICATION 392 STRUCTURES 392 CENTRE D'UN ANNEAU 394 IDEAL 395 IDEAL PRINCIPAL 407 ANNEAU PRINCIPAL 407 ANNEAU QUOTIENT 411 ANNEAU DES CLASSES DE CONGRUENCE MODULO 13 417 ANNEAU NOETHERIEN 419 ANNEAU DE DEDEKIND 420
CHAPITRE 12 SOUS-CORPS
DEFINITION 421
VERIFICATION 422
STRUCTURES 423
CHAPITRE 13
HOMOMORPHISMES D'ANNEAUX ET HOMOMORPHISMES DE CORPS
HOMOMORPIDSMES D'ANNEAUX 425
NOYAU D'UN HOMOMORPHISME D'ANNEAUX 426
HOMOMORPIllSMES DE CORPS 429
CHAPITRE 14
PRODUITS DE STRUCTURES ALGEBRIQUES
GENERALITES 431
STRUCTURES ALGEBRIQUES CONSTRUITES À PARTIR DE
COLLECTIONS HOMOGENES DE STRUCTURES
ALGEBRIQUES 441
PRODUITS DE SEM! -GROUPES 448
PRODUITS DE MONOÏDES 448
PRODUITS DE GROUPES 449
PRODUITS D'ANNEAUX 450
MORPHISMES 451
ISOMORPHISMES 452
MORPHISME DE GROUPES 456
BIBLIOGRAPHIE 461
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