Méthodes mathématiques pour la finance
Mathématiques financières - Valorisation de produits dérivés, Gestion des risques de marchés

Sommaire et contenu du livre "Méthodes mathématiques pour la finance - Mathématiques financières - Valorisation de produits dérivés, Gestion des risques de marchés"

Table des matières Notations 7 Introduction 9 1 Marchés financiers et introduction à la gestion des risques 13 1 Les différents marchés financiers . . . . . . . 14 1.1 Description des produits de marchés 14 1.2 Classification selon la liquidité. . . . 21 1.3 Structures d'information existantes . 23 1.4 Marchés de capitaux, taux d'intérêt et actualisation 23 2 Principes de fonctionnement des bourses . . 25 2.1 Quelques caractéristiques des bourses . 25 2.2 La négociation des valeurs . . . . . . . 26 3 Introduction générale sur la gestion de risque. 28 3.1 Les principes de la gestion de risque. . 28 3.2 La notion de portefeuille et le risque associé 30 3.3 Position risquée d'un actif . 31 4 Produits dérivés optionnels. . . . . 33 4.1 Couverture par des options. 33 4.2 Typologie des options. . . . 36 4.3 Importance des marchés de produits dérivés 39 5 Gestion des risques et réglementation . . . . . . . . 39 5.1 Gestion des risques et capital réglementaire 40 5.2 Forme simple d'un problème d'optimisation de portefeuille 44 5.3 Intérêt économique et nécessité de la gestion des risques. . 45 II Modèles de marché et valorisation d'options en temps discret 47 1 Stratégie de gestion d'un portefeuille en temps discret 48 1.1 Définition d'une stratégie de gestion. 48 1.2 Stratégie autofinancée . 50 1.3 Stratégie admissible et arbitrage . 51 2 Les modèles binomiaux recombinants . . . . 52 2.1 Présentation des modèles binomiaux recombinants. 53 2.2 Limite du modèle pour un grand nombre de pas de temps 55 3 Martingales en temps discret et intégrales stochastiques discrètes. 59 3.1 Martingales en temps discret et probabilité martingale 59 3.2 Intégrale stochastique discrète et valeur du portefeuille . 63 3.3 Marchés viables et marchés complets . . . . . . . . . . . 67 4 Evaluation des options et couverture dans les marchés complets 71 4.1 Evaluation des options 71 4.2 Couvertureen Delta .................... 72 4.3 Relation de parité Cali/Put pour les européennes 73 4.4 Options américaines en temps discret . . . 74 4.5 Synthèse sur les modèles à temps discret . 75 5 Deux exemples de marchés complet et incomplet . 75 5.1 Exemple de marché complet . 76 5.2 Exemple de marché incomplet . 77 6 Description des fluctuations et concepts de rentabilité 79 6.1 Description des fluctuations 79 6.2 Les concepts de rentabilité . 82 III Modèles en temps continu 87 1 Calculstochastiqueen tempscontinu ............... 87 1.1 Martingales en temps continu et mouvements browniens 88 1.2 Intégrales stochastiques en temps continu. 92 1.3 Calculd'Itô ......... 95 1.4 Changement de probabilité. 103 1.5 Théorème de Girsanov . . . 104 2 Le modèle de Black et Scholes . . . 105 2.1 Présentation du modèle et intégration par la formule d'Itô 105 2.2 Evaluation des options dans le modèle de Black et Scholes 107 2.3 Options américaines dans le modèle de Black et Scholes . 115 2.4 Dividendes et coûts de transaction 116 2.5 Et au delà de Black et Scholes? . . . . . 119 3 Représentation des aléas de prix. . . . . . . . . 120 3.1 Le modèle standard de Black et Scholes . 121 3.2 Prise en compte du retour à la moyenne 121 3.3 Prise en compte de la saisonnalité . . . . 127 3.4 Processus multidimensionnels . . . . . . 129 3.5 Prise en compte de la volatilité stochastique 130 4 Estimation....................... 132 4.1 Estimation paramétrique ou non paramétrique 132 4.2 Estimation historique. . . 133 4.3 Estimation implicite . . . 134 4.4 Des méthodes statistiques 135 IV Méthodes numériques pour la valorisation d'options 139 1 Relations de parité Cali/Put et inégalités. . . . . . . . 140 2 Equations aux dérivées partielles et méthodes de résolution 141 2.1 Obtention des équations aux dérivées partielles 141 2.2 Résolution par l'équation de la chaleur . . . . . . . 144 2.3 Différences finies pour un cali européen sous Black et Scholes. 150 2.4 Equations aux dérivées partielles et options asiatiques. . 156 2.5 Equations aux dérivées partielles et options américaines. 159 2.6 Extension, limites et difficultés des méthodes EDP . 161 3 LesméthodesdeMonte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . 162 3.1 Buffon inventeur de la méthode de Monte-Carlo? . 162 3.2 Présentation des méthodes de Monte-Carlo. . . . . 165 3.3 Exemple de valorisation par méthode de Monte-Carlo 166 3.4 Discrétisation temporelle des équations différentielles stochastiques167 3.5 Un exemple de mise en œuvre avec commentaires . . . . . 171 3.6 Extension à d'autres options ou d'autres processus de prix ... 172 3.7 Convergence et techniques d'accélération . 172 4 Les méthodes basées sur la représentation des prix par un arbre 181 4.1 Pricing d'un call européen sous Black-Scholes . 181 4.2 Pricing d'une option américaine dans un arbre binomial. 184 4.3 Pricing d'une option asiatique dans un arbre binomial. 186 4.4 Exemple de valorisation avec un arbre . 188 5 Simulation et moindres carrés pour les options américaines 191 5.1 Présentation du principe de la méthode . 192 5.2 Application à un put américain . 195 5.3 Propriétés et intérêts de la méthode. . . . . . . . . 201 6 Valorisation minimisant le risque sous la probabilité réelle. 202 6.1 Présentation de la méthode «OHMC» 202 6.2 Application de la méthode ..... 208 6.3 Propriétés et intérêt de la méthode 209 V Mesures de risque de portefeuilles 211 1 Définitions axiomatiques des mesures de risque. . . . . . . . . . 212 1.1 Mesuresderisque cohérentes. . . . . . . . . . . . . . . . 213 1.2 Mesures de risque adaptées à l'allocation de portefeuille. 215 1.3 Conséquences générales des axiomes. 219 2 Mesures de l'état du portefeuille. 219 2.1 La valeur marché (MtM) . 219 2.2 Les cash-flows (CF) . . . . 221 2.3 Les gains et pertes (P&L) 221 3 Mesures de risque courantes 224 3.1 Volatilité....... 225 3.2 Ratio de Sharpe. . . 227 3.3 Value-at-Risk (VaR) 229 3.4 Extreme Value-at-Risk (EVaR) 234 3.5 Earning-at-Risk (EaR) . . . . . 238 3.6 Sensibilité par rapport aux facteurs de risque (Grecques) 239 3.7 Stress-testing, ou indicateur de risques anormaux . . . 241 3.8 Back-testing, ou indicateur de risques de modélisation. 242 3.9 Construction générique de mesures adaptées au métier 245 4 Méthodes de calculs pour les mesures de risque 246 4.1 Méthode paramétrique par approximation gaussienne 246 4.2 Méthode paramétrique en Delta. . . . . 252 4.3 Méthode paramétrique en Delta-Gamma 257 4.4 Méthodes de Monte-Carlo . . . . . . . . 261 4.5 Simulations historiques . . . . . . . . . . 264 4.6 Comparaison des méthodes de calcul d'indicateurs. 266 VI Gestion des risques de portefeuille 269 1 Problématique de la gestion des risques . . . . . . . . . . 270 1.1 Objectifsgénéraux ................. 270 1.2 Cadre d'hypothèses mathématiques du problème. 270 1.3 Typologie des méthodes de gestion de risque et de couverture 272 2 Gestion de risque par modèle de Markowitz 273 2.1 Représentation paramétrique du gain et du risque . . . . . 274 2.2 Non-diversification en l'absence d'une contrainte de risque 277 2.3 Critère de sélection moyenne-variance. . . . . . . . . . . . 277 2.4 Frontière efficiente et cible de gestion 278 2.5 Intérêt de la diversification illustré avec deux actifs risqués 280 2.6 Calcul de frontière efficiente avec uniquement des actifs risqués. 283 2.7 Exemplesetillustrations ................... .. 285 2.8 Calcul explicite de frontière efficiente avec un actif sans risque 290 2.9 Lemodèle duCAPM..................... .. 294 2.10 Extensions et liens avec d'autres méthodes. . . . . . . . . .. 299 2.11 Généralisation des notions de dominance et frontière efficiente 300 3 Gestion de risque par optimisation locale . . . . . . . 301 3.1 Couvertureen Delta .............. 302 3.2 Couverture en Gamma (ou en Delta-Gamma) 305 3.3 Autres gestions par couverture locale 307 3.4 Limitations et extensions . . . . . . . . . . . 309 4 Gestion de risque par optimisation globale . . . . . 310 4.1 Méthodes de minimisation globale de risque 310 4.2 Méthodes d'allocation de portefeuille 312 A Probabilités et Statistiques 317 1 Probabilités et variables aléatoires. 317 1.1 Variables aléatoires . . . . . 317 1.2 Caractériser une variable aléatoire. 318 1.3 Caractériser les relations entre variables aléatoires 322 1.4 Opérations sur des variables aléatoires 326 1.5 Exemples de lois connues. . 328 2 Statistiques appliquées et tests. . . 335 2.1 Statistiques du second ordre 335 2.2 Tests d'hypothèses ..... 337 3 Outils pour observer et simuler des échantillons 339 3.1 Représentation temporelle des quantiles . 339 3.2 Simulation conjointe de lois gaussiennes. 341 B Optimisation pour l'estimation et le contrôle 343 1 Vocabulaireetproblématiques.................... .. 343 1.1 Schémagénéral .......................... 344 1.2 Les problèmes d'estimation des données d'entrée ou de contrôle 345 1.3 Les problèmes d'estimation de modèles . . . . . 346 1.4 Les méthodes de lissage . 346 1.5 Une classification des problèmes d'optimisation 346 2 Optimisation continue . 348 2.1 Problèmes sans contrainte, méthodes de gradient 348 2.2 Problèmes avec contraintes, méthodes de lagrangien 350 3 Optimisationcombinatoire .................. 352 3.1 Programmation en nombre entiers: énumération, coupe 352 3.2 Méthodes évolutionnaires. . . . . . 354 3.3 Méta-heuristiques, méthode tabou. 360 3.4 Et ensuite... . . 360 Glossaire financier 361 Index 367 Bibliographie 377