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Mathématiques - Eléments de calcul différentiel pour l'économie - ellipses - 9782729865511 - Livre - Unitheque.com
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Mathématiques Eléments de calcul différentiel pour l'économie
Cet ouvrage s'adresse aux étudiants inscrits en licence de sciences économiques et de gestion. Il ne fait référence qu'à des connaissances acquises au lycée et est donc accessible à tout bachelier (série S ou ES). Il représente l'aboutissement d'un cours dispensé depuis plus de 10 ans en première année à l'université [...] [lire le résumé du livre]
Cet ouvrage s'adresse aux étudiants inscrits en licence de sciences économiques et de gestion.
Il ne fait référence qu'à des connaissances acquises au lycée et est donc accessible à tout bachelier (série S ou ES). Il représente l'aboutissement d'un cours dispensé depuis plus de 10 ans en première année à l'université Paris-Dauphine.
Ce livre se veut une première approche des liens qui existent entre les mathématiques et l'économie; il fournit les outils mathématiques indispensables pour analyser les modèles étudiés dans les cours élémentaires d'économie. La première partie traite du calcul différentiel à une variable, les fonctions de deux variables sont l'objet de la seconde partie. L'objectif final est l'optimisation des fonctions de deux variables, avec ou sans contrainte, ce qui est une problématique importante, en économie, que ce soit pour maximiser un profit ou minimiser des dépenses.
Les étudiants trouveront, dans ce manuel, un cours complet, un récapitulatif des points essentiels et une série d'exercices. Un chapitre est consacré à des énoncés de problèmes donnés en examen à l'université Paris-Dauphine. La majorité des exercices et des problèmes est corrigée.
Auteurs :
Isabelle Catto : mathématicienne, chargée de recherches au CNRS, enseignante à l'université Paris-Dauphine. Ivan Gentil : mathématicien, professeur à l'université Claude Bernard Lyon 1. Anciennement maître de conférences à l'université Paris-Dauphine. Geneviève Pons : mathématicienne, maître de conférences à l'université Paris-Dauphine.
Sommaire et contenu du livre "Mathématiques - Eléments de calcul différentiel pour l'économie"
Table des matières
Avant-propos v
Notations xiii
1.
Rappels et compléments 1
1.1.
Quelques notations 1
1.2.
Rappels sur les fonctions usuelles 3
Notions et points essentiels Il
1 Fonctions réelles d'une variable réelle 13
2.
Généralités sur les fonctions 15
2.1.
Intervalles de JR 15
2.2.
Voisinages............................................................................................................................... 16
2.3.
Fonction numérique.......................................................................................................... 17
2.4.
Opérations sur les fonctions numériques.............................................................. 18
2.5.
Exemples 19
2.6.
Fonctions et relation d'ordre sur JR 21
Notions et points essentiels 22
Exercices 23
3.
Limites 25
3.1.
Définition de la limite 25
3.2.
Limite à droite, limite à gauche 27
3.3.
Détermination des limites............................................................................................. 28
Notions et points essentiels 33
Exercices 34
4.
Fonctions continues 35
4.1.
Continuité en un point 35
4.2.
Continuité sur un intervalle......................................................................................... 37
4.3.
Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle 38
4.4.
Théorèmes fondamentaux 39
Notions et points essentiels 41
Exercices 41
5.
Fonctions dérivables 43
5.1.
Dérivée en un point 43
5.2.
Fonction dérivée -Dérivée sur un intervalle 46
5.3.
Opérations sur les fonctions dérivables 47
5.4.
Applications au sens de variations des fonctions............................................. 49
5.5.
Primitive 50
Notions et points essentiels 51
Exercices 51
6.
Propriétés graphiques des fonctions 53
6.1.
Fonctions paires et impaires 53
6.2.
Représentation graphique d'une fonction 54
6.3.
Fonctions convexes et concaves 55
6.4.
Fonctions bijectives et réciproques 58
Notions et points essentiels 62
Exercices 62
7.
Développement limité d'ordre 1 et calculs approchés 65
7.1.
Développement limité d'ordre 1 65
7.2.
Approximation affine 66
7.3.
Variation absolue et différentielle 67
7.4.
Variation relative et élasticité 68
7.5.
Applications en économie:
fonction moyenne et fonction marginale............................................................ 70
Notions et points essentiels 73
Exercices 74
8.
Développement limité à l'ordre n 77
8.1.
Approximation polynomiale d'ordre n 78
8.2.
Application à la position de la tangente par rapport au graphe............ 79
Notions et points essentiels 81
Exercices 81
9.
Extrema des fonctions d'une variable 83
9.1.
Définitions 83
9.2.
Fonction dérivable sur un intervalle ouvert 84
9.3.
Fonction dérivable sur un intervalle fermé borné 88
9.4.
Fonction dérivable par morceaux sur un intervalle 89
Notions et points essentiels 90
Exercices 90
II Fonctions de deux variables -Optimisation 93
10.
Géométrie élémentaire dans le plan et dans l'espace 95
10.1.
Les ensembles ]R2 et ]R3 : le plan et l'espace 95
10.2.
Points et vecteurs............................................................................................................ 96
10.3.
Produit scalaire, norme et distance associées 100
10.4.
Droite dans le plan et dans l'espace 103
10.5.
Plan dans l'espace 107
10.6.
Quelques autres ensembles remarquables du plan et de l'espace 108
Notions et points essentiels 110
Exercices 111
11.
Topologie du plan 113
Il.1.
Boules 113
Il.2.
Frontière d'un sous-ensemble 114
Il.3.
Ouverts, fermés 115
Il.4.
Intérieur d'un ensemble 116
Il.5.
Petit catalogue d'ensembles ouverts ou fermés 117
11.6.
Ensembles bornés et ensembles compacts 117
Il.7.
Ensembles convexes 119
Notions et points essentiels 123
Exercices 124
12.
Fonctions réelles de deux variables réelles 127
12.1.
Définitions et exemples fondamentaux 127
12.2.
Opérations algébriques 128
12.3.
Relation d'ordre 129
12.4.
Représentations graphiques 130
Notions et points essentiels 134
Exercices 134
13.
Fonctions continues 137
13.1.
Définitions 137
13.2.
Opérations algébriques et composition 139
Notions et points essentiels 141
Exercices 142
14.
Dérivées partielles du premier ordre 143
14.1.
Définitions 143
14.2.
Opérations sur les dérivées partielles 145
14.3.
Fonctions de classe Cl 146
Notions et points essentiels 149
Exercices 149
15.
Développement limité d'ordre 1 et calculs approchés 151
15.1.
Développement limité d'ordre 1 151
15.2.
Approximation affine 153
15.3.
Variation absolue et différentielle 155
15.4.
Variation relative et élasticités 157
15.5.
Applications en économie: fonctions marginales 158
Notions et points essentiels 160
Exercices 160
16.
Dérivées partielles du deuxième ordre et développement limité d'ordre 2 163
16.1.
Fonctions dérivées partielles secondes 163
16.2.
Fonctions de classe C2 164
16.3.
Matrice Hessienne 165
16.4.
Développement limité d'ordre 2 166
16.5.
Signe de la forme quadratique associée à la matrice hessienne 167
16.6.
Position du plan tangent par rapport au graphe 169
Notions et points essentiels 172
Exercices 172
17.
Fonctions convexes ou concaves de deux variables 175
17.1.
Définitions pour les fonctions de classe Cl 175
17.2.
Critère pour les fonctions de classe C2 176
17.3.
Propriétés des fonctions convexes ou concaves 179
17.4.
Convexité ou concavité locale 183
Notions et points essentiels 185
Exercices 185
18.
Généralités sur les extrema 189
18.1.
Définitions 189
18.2.
Simplification d'un problème d'extremum 191
Notions et points essentiels 192
Exercices 192
19.
Extrema libres des fonctions de deux variables 193
19.1.
Condition nécessaire ou condition du premier ordre 193
19.2.
Nature des points critiques 195
19.3.
Quelques conseils pour la résolution du système des conditions
nécessaires du premier ordre 201
Notions et points essentiels 203
Exercices 204
TABLE DES MATIÈRES xi
20.
Propriétés du gradient 207
20.1.
Équations des tangentes aux courbes de niveau 207
20.2.
Direction d'accroissement optimal d'une fonction 208
20.3.
Application à l'économie: taux marginal de substitution 210
Notions et points essentiels 211
Exercices 211
21.
Extrema liés des fonctions de deux variables 213
21.1.
Cas d'une liaison explicite 214
21.2.
Conditions nécessaires ou conditions du premier ordre 215
21.3.
Optimisation sur un compact 219
21.4.
Conditions suffisantes 220
21.5.
Résolution graphique 225
21.6.
Interprétation économique du multiplicateur de Lagrange 226
Notions et points essentiels 228
Exercices 229
III Problèmes et corrections 231
22.
Énoncés 233
23.
Corrections des exercices et des problèmes 241
23.1.
Corrections des exercices 241
23.2.
Corrections de quelques problèmes 281
287
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