Mathématiques pour la physique et les physiciens !
De la licence ( L3) à 77 ans

Sommaire et contenu du livre "Mathématiques pour la physique et les physiciens ! - De la licence ( L3) à 77 ans"

Table des matières


Motivation du cours XIX

Index des notations XXII
Convergences et limites 1

1.1
Le problème des limites en physique . 1

1.
La Deux paradoxes sur le théorème de l'énergie cinétique 1

1.
Lb Roméo, Juliette et les fluides visqueux . 5

1.
Le Barrière de potentiel en mécanique quantique . 7

1.1.d
Filtre semi-infini se comportant comme guide d'onde 9

1.2
Suites . 12

1.2.a
Suites à valeurs dans un espace vectoriel normé 12

1.2.b
Suites de Cauchy . 12

1.2.c
Le théorème du point fixe . 14

1.2.d
Suites doubles . 15

1.2.e
Caractérisation séquentielle de la limite d'une fonction. 16

1.2.f
Suites de fonctions . 17

1.3
Séries . 21

1.3.a
Séries à valeurs dans un espace vectoriel normé 21

1.3.b
Série doublement infinie . 23

1.3.c
Séries semi-convergentes . 24

1.3.d
Convergence d'une série à double indice 26

1.3.e
Séries de fonctions . 26

1.4
Séries entières, fonctions analytiques . 28

1.4.a
Formules de Taylor . 28

1.4.b
Une expérience numérique simple 29

l.4.c
Rayon d'une série entière . 31

l.4.d
Fonctions analytiques . 32

1.5
Séries asymptotiques et séries divergentes 33

1.5.a
Séries asymptotiques . 33

1.5.b
Séries divergentes et développement asymptotique. 35

Exercices. .
. 39
Mesure et intégrale de Lebesgue
45
2.1
L'intégrale selon B. Riemann
45
2.2
L'intégrale selon H. Lebesgue
48
2.2.a
Principe de la construction
48
2.2.b
Boréliens...........
50
2.2.c
Mesure de Lebesgue ....
52
Encadré: Mesure de Lebesgue sur l'ensemble des boréliens 53

2.2.d
Tribu de Lebesgue ... 53

2.2.e
Ensembles négligeables. . . . . . . . . 54

2.2.f
Mesure sur IRn 55

2.2.g
Construction (canonique) de l'intégrale de Lebesgue 55

2.2.h
Fonctions presque partout nulles; espaces Li [a; b] et LI (IR) 58

2.2.i
Et aujourd'hui? . 59

Exercices. .. 60

Encadré: Un ensemble non mesurable 62

3 Calcul intégral 63

3.1
L'intégrabilité en pratique . 63

3.1.a
Fonctions étalon . 63

3.1.b
Théorème de comparaison 64

3.2
Permuter une intégrale et une limite ou une somme 65

3.3
Intégrales paramétrées . 66

3.3.a
Continuité d'une intégrale à paramètre . 66

3.3.b
Dérivation sous le signe somme . 67

3.3.c
Cas où le paramètre est également dans les bornes. 67

3.4
Intégrales doubles .... 68

3.5
Changement de variables 69

Exercices . 71

4 Analyse complexe 1
: fonctions holomorphes 75

4.1
Fonctions holomorphes 75

4.1.a
Définitions . 76

4.1.b
Exemples . 78

4.1.c
Les opérateurs alaz et alai. 79

4.2
Le théorème de Cauchy . 80

4.2.a
Intégration sur des chemins . 80

4.2.b
Intégrales sur un cercle . 82

4.2.c
Indice d'un chemin . 83

4.2.d
Divers théorèmes de Cauchy 83

4.3
Propriétés des fonctions holomorphes. 86

4.3.a
Formules de Cauchy; holomorphie et analyticité 86

4.3.b
Principe du maximum . 90

4.3.c
Autres théorèmes . 91

4.3.d
Classification des zéros d'une fonction holomorphe 92

Exercices. .. 94

Encadré: Diffirentiabilité d'une jOnction dans IR2 .96

5 Analyse complexe II
: singularités et résidus 97

5.1
Singularités d'une fonction . 97

5.1.a
Classification des singularités. 97

5.1.b
Fonctions méromorphes .. 99

5.2
Séries de Laurent . 100

5.2.a
Introduction et définition . 100

5.2.b
Exemples de séries de Laurent 101

5.2.c
Théorème des résidus .... 102

5.2.d
Calcul pratique des résidus . 104

5.3
Application aux calculs d'intégrales . 105

5.3.a
Lemmes de Jordan . 105

5.3.b
Intégrales sur IR d'une fraction rationnelle 106

5.3.c
Intégrales de type Fourier . 107

5.3.d
Intégrales sur le cercle unité d'une fraction rationnelle 109

5.3.e
Calcul de sommes infinies 110

Exercices. . . 113

TABLE DES MATIÈRES Xl
6 Analyse complexe III
: compléments 119

6.1
Logarithme complexe; fonctions multivaluées 119

6.1.a
Les logarithmes complexes . 119

6.1.b
La fonction racine carrée . 121

6.1.c
Fonctions multivaluées; surfaces de Riemann 122

6.2
Fonctions harmoniques 123

6.2.a
Définitions . 123

6.2.b
Propriétés . 124

6.2.c
Une astuce pour trouver f en connaissant !%eU) 126

6.3
Prolongements analytiques 128

6.4
Singularités à l'infini . 129

6.5
Méthode du col . 131

6.5.a
Méthode générale du col 131

6.5.b
La méthode du col réel 134

Exercices.
135

7 Transformations conformes 137

7.1
. Transformations conformes 137

7.1.a
Généralités ..... 137

7.1.b
Théorème de Riemann. 139

7.1.c
Exemples de transformations conformes 140

7.1.d
La transformation de Schwarz-Christoffel . 142

7.2
Application à la théorie du potentiel . 145

7.2.a
Transformation de l'équation 6cp = 0 145

7.2.b
Application à l'électrostatique . 146

7.2.c
Application à l'hydrodynamique . 148

7.2.d
Théorie du potentiel, paratonnerres, percolation. 151

7.3
Problème de Dirichlet et noyau de Poisson 153

Exercices . 156

8 Distributions 1 163

8.1
Approchephysique............................... 163

8.1.a
Problème des distributions de charges. . . . . . . . . . . . . . . 163

8.1.b
Problème de l'impulsion et des forces lors d'un choc élastique 165

8.2
Définitions et exemples de distributions 166

8.2.a
Distributions régulières .. 168

8.2.b
Distributions singulières. . 169

8.2.c
Support d'une distribution 170

8.2.d
Autres exemples. . . . . . . 171

8.3
Propriétés élémentaires. Opérations 171

8.3.a
Opérations sur les distributions 171

8.3.b
Dérivée d'une distribution .. 174

8.4
Variations sur la distribution de Dirac . 176

8.4.a
Distribution de Heaviside. . . . 176

8.4.b
Distributions de Dirac à plusieurs dimensions. 177

8.4.c
La distribution 0' 178

8.4.d
Composition de 0 avec une fonction 180

8.4.e
Densités de charge et de courant. . . 181

8.5
Dérivation d'une fonction discontinue . . . . 183

8.5.a
Dérivation d'une fonction discontinue en un point. 183

8.5.b
Dérivation d'une fonction discontinue sur une surface Y . 185

8.5.c
Laplacien d'une fonction discontinue sur une surface Y 187

8.5.d
Application: laplacien de l/r en trois dimensions . . . . . 188

8.6
La convolution . 190

8.6.a
Produit tensoriel de deux fonctions .. 190

8.6.b
Produit tensoriel de déux distributions 190

8.6.c
Convolution de deux fonctions .. 192

8.6.d
Notion de mesure floue . 193

8.6.e
Convolution de deux distributions 194

8.6,[
Applications . 195

8.6.g
Équation de Poisson . 197

8.7
Interprétation physique des opérateurs de convolution 197

8.8
Convolution discrète . 199

9 Distributions II 201

9.1
Valeur principale de Cauchy 201

9.1.a
Définition.................... 201

9.1.b
Application au calcul de certaines intégrales 202

9.1.c
NotationsdeFeynman............. 203

9.1.d
Relations de Kramers-Kronig . . . . . . . . . 205

9.1.e
QIelques équations au sens des distributions. 206

9.2
Notions de topologie dans Ç)! .......... 208

9.2.a
Convergence faible dans Ç)! ........... 208

9.2.b
Suites de fonctions convergeant vers 8 .... 208

9.2.c
Convergence dans Ç)! et convergence au sens des fonctions 211

9.2.d
Régularisation d'une distribution 211

9.2.e
Continuitédelaconvolution................ 212

9.3
Algèbresde convolution........................ 213

9.4
Résolution d'une équation différentielle avec conditions initiales 215

9.4.a
Cas d'une équation du premier ordre . . . 215

9.4.b
Cas de l'oscillateur harmonique 216

9.4.c
Autres équations provenant de la physique 217

Exercices.
218

10 Espaces de Hilbert; séries de Fourier 225

10.1
Introduction: insuffisance des espaces vectoriels 225

10.2
Espaces préhilbertiens . 227

10.2.a
Cas de la dimension finie . 229

1O.2.b
Projection sur des s.e.v. de dimension finie 230

1O.2.c
Inégalité de Bessel 231

10.3
Espaces de Hilbert .... 231

1O.3.a
Bases hilbertiennes 232

lO.3.b
L'espace e2 ....• 236

1O.3.c
L'espaceU[O;a] 236

1O.3.d
L'espace U(~) .. 237

10.4
Développement en série de Fourier . 238

1O.4.a
Coefficients de Fourier d'une fonction 238

lO.4.b
Convergence quadratique . . . 238

lO.4.c
Série de Fourier d'une fonction j E LI [0; a] 240

1O.4.d
Convergence ponctuelle de la série de Fourier 241

lO.4.e
Convergence uniforme de la série de Fourier. 242

10.4,[
Phénomène de Gibbs . 244

lO.4.g
Rapide extension aux distributions . 244

Encadré: Convergence ponctuelle et phénomène de Gibbs 245

Exercices . 246

TABLE DES MATIÈRES XIII

11 Transformée de Fourier des fonctions 251

11.1
Transformée de Fourier d'une fonction de LI 251

11.1.a
Définition 251

11.
Lb Exemples......... 252

ILLe Espace LI 253

11.1.d
Propriétés élémentaires. 254

ILLe Inversion......... 255

11.1.f
Extension de la formule d'inversion 257

11.2
Propriétés de la transformation de Fourier. 258

11.2.a
Transposition et translation. 258

11.2.b
Changement d'échelle . . . . . . 259

11.2.c
Dérivation............. 259

11.2.d
Fonctions à décroissance rapide 260

11.3
Transformée de Fourier d'une fonction de L2 261

11.3.a
Espace Y' ............. 261

11.3.b
Transformée de Fourier dans L2 262

11.4
Transformées de Fourier et convolution 264

11.4.a
Formule de convolution. . . . . 264

11.4.b
Cas particuliers de la formule de convolution 265

11.5
Conventions différentes 265

Exercices ......................... 265

Encadré: Prolongement d'un opérateur linéaire continu . 269

12 Transformée de Fourier des distributions 271

12.1
Définition et propriétés 271

12.1.a
Distributionstempérées ................. 272

12.1.b
Transformées de Fourier des distributions tempérées 273

12.1.c
Exemples......................... 274

12.1.d
Transformation de Fourier à plusieurs dimensions 276

12.1.e
Formule d'inversion . . 277

12.2
PeignedeDirac ......................... 278

12.2.a
Définitionetpropriétés ................ 278

12.2.b
Transformée de Fourier d'une fonction périodique 279

12.2.c
Formule sommatoire de Poisson 280

12.2.d
Application aux calculs de séries 280

12.3
PhénomènedeGibbs........... 282

12.4
Application à l'optique physique . . . . 284

12.4.a
Lien entre diaphragme et figure de diffraction 284

12.4.b
Diaphragme composé d'une infinité de fentes infiniment fines 285

12.4.c
Nombre fini de fentes infiniment fines . . 286

12.4.d
Nombre fini de fentes de dimension finie 288

12.4.e
Pupillecirculaire .............. 290

12.5
Limitations de l'analyse de Fourier et ondelettes 291

Exercices ........................... 293

13 Transformation de Laplace 299

13.1
Définition et sommabilité 299

13.
La Définition..... 300

13.
Lb Sommabilité.... 301

13.1.c
Propriétés de la transformée. 303

13.2
Inversion................ 304

13.3
Propriétés élémentaires et exemples de transformées de Laplace 305

13.3.a
Translation 305


13.3.b Convolution .
13.3.c Dérivation et intégration
13.3.d Exemples .
13.4 Transformation de Laplace des distributions
13.4.a Définition
13.4.b Propriétés .
13.4.c Exemples .
13.4.d Transformée en z
13.4.e Lien entre transformées de Laplace et de Fourier.
13.5 Applications physiques; problème de Cauchy.
13.5.a Importance du problème de Cauchy .
13.5.b Un exemple simple .
13.5.c Évolution libre du champ électromagnétique. Exercices .
14 Applications physiques de la transformée de Fourier
14.1 Justification de l'analyse en régime sinusoïdal.
14.2 Champs longitudinaux et champs transverses.
14.3 Relations d'incertitude de Heisenberg .
14.4 Signaux analytiques .
14.5 Autocorrélation d'une fonction d'énergie finie
14.5.a Défmition .
14.5.b Propriétés .
14.5.c Intercorrélation .
14.6 Fonctions de puissance finie.
14.6.a Définitions .
14.6.b Autocorrélation .
14.7 Application à l'optique: théorème de Wiener-Khintchine. Exercices .
15 Bras, kets et toutes ces sortes de choses
15.1 Rappels de dimension finie .
15.l.a Produit scalaire et théorème de représentation
15.l.b Adjoint .
15.l.c Endomorphismes symétriques ou hermitiens .
15.2 Kets et Bras .....
15.2.a Kets I15.2.b Bras (15.2.c Bras généralisés
15.2.d Kets généralisés
15.2.e « Id = L Irpn) (rpnl '
15.2.f Bases généralisées
15.3 Opérateurs linéaires.
15.3.a Opérateurs .
15.3.b Adjoint .
15.3.c Opérateurs bornés, fermés, fermables
15.3.d Spectre discret et spectre continu ...
15.4 Opérateurs hermitiens; opérateurs auto-adjoints
15.4.a Définitions .
15.4.b Éléments propres .
15.4.c Vecteurs propres généralisés .
15.4.d Représentation « matricielle'
15.4.e Résumé des propriétés des opérateurs P et X

306
306
308
309
309
309

310
311
311

312
312
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319
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330
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332
332
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339
339
340
340
341
341
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344
344
346
346
348
348
350
351
352
354
354
356
357
358
361

Exercices .
TABLE DES MATIÈRES
16 Fonctions de Green 367
16.1 Généralités sur les fonctions de Green . . . . . . . . 367
16.2 Un exemple pédagogique: l'oscillateur harmonique 369
16.2.a Utilisation de la transformation de Laplace. 370
16.2.b Utilisation de la transformation de Fourier. 370

16.3 Électromagnétisme et opérateur de d'Alembert . . . 373
16.3.a Calcul des fonctions de Green avancée et retardée. 373
16.3.b Potentiels retardés 377
16.3.c Écriture covariante des fonctions de Green avancée et retardée. 380
16.3.d Rayonnement..... 380

16.4 Équation de la chaleur . . . . 381
16.4.a Cas unidimensionnel 381
16.4.b Cas tridimensionnel 384
16.5 Mécanique quantique. . . . 385 16.6 Équation de Klein-Gordon. 387 Exercices ............... 390
17 Tenseurs 391
17.1 Tenseurs dans un espace affine 391
17.l.a Vecteurs .... . . . . . 392
17.1.b Convention d'Einstein. 393
17.l.c Formes linéaires .... 394
17.l.d Applications linéaires . 396
17.l.e Transformations de Lorentz. 396

17.2 Produit tensoriel d'espaces. Tenseurs 397
17.2.a Existence du produit tensoriel de deux espaces. 397
17.2.b Produit tensoriel de deux formes linéaires: tenseurs d'ordre m 398
17.2.c Produit tensoriel de deux vecteurs: tenseurs d'ordre (~) 400
17.2.d Applications linéaires: tenseurs d'ordre G) 401
17.2.e Tenseurs d'ordre (~) .......... 403


17.3 La métrique: monter et descendre les indices 404
17.3.a Métrique et pseudo-métrique . . . . . 404
17.3.b Dualité naturelle par la métrique. . . 405
17.3.c Gymnastique: élever et abaisser des indices. 407

17.4 Opérations sur les tenseurs. . . . 409
17.5 Changements de coordonnées . . 411
17.5.a Coordonnées curvilignes 411
17.5.b Vecteurs de base. . . . . . 412
17.5.c Transformation des vecteurs physiques 414
17.5.d Transformation des formes linéaires. . 415
17.5.e Transformation d'un champ de tenseurs quelconque 415
17.5.f Brèveconclusion ..................... 415

18 Formes différentielles 417
18.1 Algèbre extérieure . . . . . . 417
18.l.a 1-formes....... 417

18.l.b 2-formes extérieures 418
18.l.c k-formes extérieures 419
18.l.d Produit extérieur . . 420

18.2 Formes différentielles sur un espace vectoriel 422
18.2.a Définition..... 422



18.2.b Dérivée extérieure. . . . . . . . . . . . 422 18.3 Intégration des formes différentielles . 423
18.4 Théorème de Poincaré . 426
18.5 Lien avec le calcul vectoriel: gradient, divergence, rotationnel 428
18.5.a Formes différentielles en dimension 3 ..... 428
18.5.b Existence du potentiel scalaire électrostatique. 429
18.5.c Existence du potentiel vecteur . 430
18.5.d Monopôles magnétiques . 431

18.6 L'électromagnétisme dans le langage des formes différentielles 431 Encadré: Intégration des formes difJérentielles . 438


19 Groupes et représentations de groupes 439
19.1 Groupes . 439
19.2 Représentations linéaires des groupes. 440
19.3 Le groupe SO(3) et les vecteurs . 442
19.4 Le groupe SU(2) et les spineurs . 446 Encadré: Double connexité de SO(3) et tour de magie 450
19.5 Sphère de Riemann et spin 453 Exercices . 454


20 Introduction aux probabilités 455
20.1 Introduction . 456
20.2 Le mystérieux univers st 457
20.3 Définitions élémentaires 458
20.3.a Événements . 459
20.3.b Probabilités . 461
20.3.c Formule de Poincaré 462

20.4 Probabilités conditionnelles 463
20.5 Événements indépendants 465 Exercices . 466


21 Variables aléatoires 469
21.1 Q!1'est-ce qu'une variable aléatoire? . 469
21.2 Lois, fonctions de répartition, densité . 470
21.2.a Loi de probabilité, fonction de répartition 470
21.2.b Variables aléatoires discrètes . 473
21.2.c Variables aléatoires (absolument) continues. 474
21.2.d Lois classiques . 475

21.3 Espérance et variance . 478
21.3.a Espérance; cas discret . 478
21.3.b Espérance; cas continu et généralisation 480
21.3.c Variance et écart-type ..... 481
21.3.d Moments d'ordres supérieurs 483
21.3.e Moyenne et médiane. 483

21.4 Vecteurs aléatoires . 484
21.4.a Couples discrets . 484
21.4.b Couples absolument continus 485
21.4.c Covariance .... 487
21.4.d Vecteurs aléatoires . 490

21.5 Indépendance . 490
21.5.a Indépendance de deux variables aléatoires. 490
Encadré: Propriétés des variables indépendantes ...... 492
21.5.b Cas particuliers . 493

21.5.c Indépendance de n variables aléatoires. 493
TABLE DES MATIÈRES XVII

21.6 Image d'une variable aléatoire . 494
21.6.a Loi et densité . 494
21.6.b Fonction caractéristique 495
21.6.c Fonction génératrice .. 496
21.6.d Image d'un vecteur aléatoire 496

21.7 Somme et produit de variables aléatoires. 497
21.7.a Somme de variables aléatoires ... 497
21.7.b Produit et quotient de variables aléatoires. 498
21.7.c Exemples de stabilité: lois de Poisson et lois normales 499 Exercices . 500 Encadré: Intégrale de Riemann-Stieltjes ................... 506
22 Théorèmes limites en probabilités 507
22.1 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . 507
22.2 Loi de Poisson comme limite de loi binomiale .. 510
22.3 Convergences en probabilité, presque sûre, en loi. 5Il
22.4 La loi des grands nombres . 513
22.5 Le théorème central limite . 515
22.6 Approximations normales de lois discrètes . 519
22.6.a Approximation d'une loi binomiale par une loi normale. 519
22.6.b Approximation d'une loi de Poisson par une loi normale 520 Exercices . 522



Annexes
A Rappels sur la topologie et les e.v.n. 529
1.1 Topologie, espace topologique 529
1.2 Espaces vectoriels normés . . . 532
A.2.a Normes, semi-normes 532
A.2.b Boules et topologie .. 533
A.2.c Comparaison de suites. 535
A.2.d Théorèmes de Bolzano-Weierstrass 535
A.2.e Comparaison des normes 535
A.2.f Norme linéaire 537 Exercice ... 537
B Rappels élémentaires sur le calcul différentiel 539
2.1 Différentielle d'une application à valeurs réelles 539
B.1.a Fonction réelle de la variable réelle ... 539
B.1.b Différentielle d'une fonction f : IRn -> IR. 540
B.1.c Notations tensorielles . 540

2.2 Différentielle d'une application à valeurs dans IRP . 541
2.3 Méthode des multiplicateurs de Lagrange. 542
C Représentation matricielle 545
3.1 Dualité . 545
3.2 Application à la représentation matricielle 546
C.2.a Matrice d'une famiJie de vecteurs 546
C.2.b Matrice d'une application linéaire 546
C.2.c Matrice de changement de base .. 547
C.2.d Formules de changement de bases 547



C.2.e Cas des bases orthonormées. 548
D Quelques démonstrations 549


Tables
Table des transformées de Fourier-& de Laplace 558 Table des lois usuelles 563 Table de la loi normale 564 Bibliographie 565
Références 568 Liste alphabétique des portraits 573 Index 574