Mathématiques pour l'ingénieur Tome 3
Analyse fonctionnelle, Probabilité et Statistique

Sommaire et contenu du livre "Mathématiques pour l'ingénieur Tome 3 - Analyse fonctionnelle, Probabilité et Statistique"

Table des matières


1 Analyse fonctionnelle 1

1 Topologie générale 3

1.1
Topologiesur unensemble.................. .. 3

1.2
Topologie induite et topologie engendrée . 4

1.3
Valeur d'adhérence, fermeture ou adhérence d'un ensemble 5

lA Suite et espace topologique ... 5

1.5
Base dénombrable de voisinage . 6

1.6
Application continue 7

1.7
Homéomorphisme 9

2 Espace métrique 11

2.1
Notiongénérale ......... . Il

2.2
Suite dans un espace métrique . 12

2.3
Application continue dans espace métrique 13

3 Espace métrique connexe 15

3.1
Notion générale . 15

3.2
Image d'un connexe par une application continue. 16

3.3
La connéxité dans le produit d'espaces. 17

3.4
La connexité par arc . 18

4 Espace métrique compact 19

4.1
Notion générale . 19

4.2
Suite dans un espace métrique compact 20

4.3
Application continue et compacité . 21

404 Espace produit d'espaces compacts. 22

5 Espace métrique complet 23

5.1
Suite de Cauchy dans un espace métrique 23

5.2
Propriétés . 23

5.3
Théorème de Bai
6 Espace vectoriel normé 27

6.1
Notiongénérale .......... 27

6.2
Quelques espaces normés usuels 28

6.3
Normes équivalentes . . . . . . . 28

604 Espace de Banach et applications linéaires. 30

6.5
Séries dans les espaces de Banach 37

7 Espace de Hilbert 39

7.1
Notion générale: Cas réel 39

7.2
Notion générale: Cas complexe. 41

7.3
L'orthogonalité........... 43

7A Projection orthogonale . . . . . . . 46

7.5
Deux théorèmes autour des espaces de Hilbert 49

7.6
Baseshilbertiennes............ 52

7.7
Convergence faible et convergence forte 54

8 Espaces LP 57

8.1
Ensembles........... 57

8.2
Tribu.............. 57

8.3
Mesure positive sur une tribu 59

804 Espaces LP 62

8.5
Espace L 2 et séries de Fourier. 65

9 Polynômes orthogonaux 67

9.1
Polynômes de Legendre 67

9.2
Polynômes d'Hermite . 69

9.3
Polynômes de Laguerre 70

10 Distributions 71

10.1
Notion de Fonctionnelle 71

10.2
Distributions. . . . . . . 72

10.3
Distribution à support borné. 73

1004 Convergence dans D' ..... 74

10.5
Valeur principale de Cauchy et partie finie . 76

10.6
Quelques équations aux dérivées partielles au sens des distributions: 78

10.7
Transformation de Fourier d'une distribution .. . 79

10.8
Distributions tempérées et transformée de Fourier 79

II Probabilité 83

11 Evénement et variable aléatoire 85

Il.1
Notion générale . . . . 85

Il.2
Mesure de probabilité 86

11.3
Fréquence . 86

liA Suite d'événements. 87

Il.5
Exemple 00

Il.6
Règles de calcul. . 88

Il.7
Mesure de probabilité unifonne sur une partie de lR 89

12 Probabilité conditionnelle 91

12.1
Définition et notation. 91

12.2Exemple
....... 91

12.3
Probabilités Totales. 92

13 Variable aléatoire 93

13.1
notation et définition . 93

13.2Exemple
.......... . 93

13.3
Fonction de répartition d'une v.a.r 94

13.4
Densité d'une variable aléatoire. 95

14 Variable aléatoire discrète 97

14.1
Définition et notation. 97

14.2
La loi conjointe .... 97

14.3
Loi marginale . . . . . 97

14.4
Lois conditionnelles et loi conjointe pour une variable aléatoire continue. 98

15 Famille de distributions continues 99

15.1
La loi nonnale. . 99

15.2
Loi log-nonnale .102

15.3
Loi t de Sudent .102

15.4
Loi du khi-deux . · 104

15.5
F-distribution ou de Fisher-Snédécor · .105

15.6
Loi exponentielle. · .106

15.7
Loi de Weibull · .106

15.8
Loi gamma .. .107

15.9
Loi bêta .... · 108

15.IOLoi de Cauchy. .110

15.11
Loi unifonne . .110

15.12Lois
de Pareto . .110

16 Famille de distributions discrètes 113

16.1
Loi Binomiale . · 113

16.2
Loi de Poisson . · 114

16.3
Loi Hypergéométrique · 114

17 Convergence des variables aléatoires 115

17.1
Définition et notation . · 115

17.2
Moments et variance . · 115

17.3
Covariance et coefficient de corrélation linéaire. · 120

17.4
Lois conditionnelles ... .121

17.5
Espérance conditionnelle. · 122

17.6
Variance conditionnelIe · 123

17.7
Fonction caractéristique· 124

,
17.8
Quelques fonctions caractéristiques usuelles: . · . 124

17.9
Théorème de la limite centrale ..... · 125

17.IOExemple
sur le théorème limite centrale · . 126

17.11
Vecteur gaussien . · 127

18 Simulation de lois non uniformes 129

18.1
Méthode de la fonction de répartition . · 129

18.2
Méthode de rejet . · 130

18.3
Méthode de Monte-Carlo et chaînes de Markov. · 131

19 Chaîne de Markov 133

19.1
Ergodicité . · 133

19.2
Accessibilité et irréductibilité · . 134

19.3
Périodicité . · 136

19.4
Transience et récurrence ... · 137

20 Algorithme de Hastings-Metropolis 143

20.1
Méthode de Monte-Carlo · . 143

20.2
Implémentation . · . 146

III Statistique 159

21 L'estimation 161

21.1
Définition . .161

21.2
Estimateur sans biais et asymptotiquement sans biais. .162

21.3
Risquequadratique . . . . . . . . . . · 162

21.4
Comparaison d'estimateurs . · . 163

21.5
Estimateur de variance uniformément minimum sans biais · 163

21.6
La statistique X .. .164

21.7
La statistique 3 2. .164

21.8
La statistique Tn-l . .164

21.9
Estimation de la moyenne d'une variable de Laplace-Gauss .165

21.IOEstimation
de la variance d'une variable de Laplace-Gauss · 165

22 L'exhaustivité 167

22.1
Définition ........... ·167

22.2
Exemples .. · 167

22.3
Théorème de Rao-Blackwell · 168

22.4
Statistique complète . · 168

22.5
Information de Fisher .. · . 169

22.6
Exemple .......... ·169

22.7
La condition de Darmois . .169

22.8
Inégalité de Frechet-Darmois-Cramer-Rao . · 170

22.9
Exemple . .170

22.lOLa
distance ou variation de Hellinger entre deux lois .170

22.11
Information de Kullback de p sur Q par rapport à une probabilité v : · 171

22.12La méthode du maximum de vraissemblance
23 Inférence bayesienne
23.1
Estimation ponctuelle bayesienne .
23.2
Estimateurs Bayésiens
23.3
Exemple .........

23.4
Estimateur de Pitman .
24 les tests en statistique
24.1
Définition et exemple .
24.2
Notions générales sur les tests. . .
24.3
La méthode de Neyman et Pearson
24.4
Application .
24.5
Test du X2 ..............

24.6
Un exemple d'utilisation du Khi-deux
24.7
Conclusion .
24.8
Le test d'ajustement de Kolmogorov .
24.9
Test des variances de Fisher-Snedecor :

24.IOAnalyse
de la variance à un facteur .

24.11
Test de Wilcoxon . . .

24.12Test
de Shapiro-Wilk ...

25 Regression et modèle linéaire
25.1
Ajustement linéaire en dimension deux
25.2
Exemple ................

25.3
Regression linéaire en dimension p ..
IV Annexe: Tables statistiques
A Table statistique de la distribution normale
B Table statistique de la distribution binomiale p =~
C Table statistique du X2
D Table statistique de Shapiro
D.I
Table des coefficients de Shapiro
D.2
Table de Shapiro de W .
E Table statistique de la loi de Student
F Table statistique de la loi de Fischer
· . 171
173

· 175

.
177
· . 177

.
178

179

.
179
· . 180

· . 181

· . 182

· . 182

· 183

· . 186

· . 186

· . 190
.
190

.
192
· 193

195

· . 195

· 196

· . 196

207

209

211

213

217
· .
217

· .
221

223


225
231

V Mathématiciens du tome 1
267

VI Mathématiciens du tome II

Index
30S
Bibliographie
Table des figures

13.1 Loibinomiale ................................... .. 95

15.1 Loi normale 101

25.1 Données ........................................ 197

25.2 Regressionlinéaire .................................. 198