Sommaire et contenu du livre "Mathématiques PCSI-PTSI - Calculer, raisonner, rechercher, modéliser, comprendre"
1.
Ensembles -Applications
.
f:; L'essentiel du cours........................................................................ 14
Exercices corrigés
1.
Sur les notations ensemblistes 18
i.
Vocabulairesurlesapplications ........... ............... ..... .... ....... .......... .... 19
3.
Image directe. Image réciproque , .. , ,............... 21
4.
InJection. Surjection. Bijection: exemples .. , .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. ... .. 23
5.
Injection, surjection, bijection: exercices théoriques ,............................... 26
6.
Unrésultatthéoriquesurlesclassesd'équlvalence .., ' , '......,.....'., 28
7.
Étude de relations d'équivalence ., ,., ,.' ,', ,..,.,........... 29
2.
Nombres complexes et trigonométrie
.
;::; L'essentielducours.......................... ............................. ..... .... ........ 35
Exercices corrigés
1.
Écriturealgébrique etécrituretrigonométrique ..'., , ' , ,..,.. 44
i.
Calculsdepuissances , , , , ,,..... ........ 45
3.
Équations du second degré ,...................................................... 46
4.
Racines n-Ièmes , , ,...... 47
5.
Équationsdans iC.,..•.,..•..,...•....•.•....•.•.....,•......•....•.•......•.......,... 48
6.
Unéarlsatlon .. , , , , , , ,...... 50
7.
Déllnéarisatlon ,.. .... .... ..... .. .. .......... .... ... ..... 51
8.
Sommes trigonométriques , , , ,... 52
9.
Sur les racines n-ièmes de l'unlté .. ,.' ,.. , , ,....... 54
10.
La fonction exponentielle complexe ,..,................ 55
11.
Géométrie élémentaire et complexes ,........ 55
1i.
Transformations du plan et complexes , , ' 56
13.
Géométrieclassique etcomplexes.., , ,. .... ........ .......... ..... 58
14.
Relationstrigonométriques , ,..,......•..' ,..,........ 59
15.
Équationsetinéquationstrigonométriques, ,.., ,.., ' , ,.. 61
16.
Transformation de sommes en produits , ,....... 65
3.
Calculs algébriques -Arithmétique
:fJ L'essentiel du cours ,.,., .. ,., , , , , ,.. ,.. , ,........ 68
Exercices corrigés
1.
Manipulation du symbole L 72
i.
Calculs de sommes , ,.... 73
3.
Autour des sommes géométriques ,................................................ 76
4.
Sur la factorielle , , , , ,......................... 77
5.
Sur les coefficients binomiaux et la formule du binôme , ,.............. 78
6.
Calculs de sommes doubles............................................................ 81
7.
Calculs de produits.................................................................... 84
8.
Divisibilité............ ......... ..... .......... ................... ......... ....... ...... 86
9.
Division euclidienne 87
10.
Sur les nombres premiers 89
11.
Sur la décomposition en produit de facteurs premiers . . . .. . . .. . . .. . .. . .. .. . .. . .. 90
11.
Calcul de PGCD, PPCM .......................................•......................... 91
13.
Calcul du PGCD de 2m -1 et de 2n -1 94
4.
Ensemble IR : inégalités
.
~ L'essentielducours........... ......... ....... ....... .............. ....... ....... ....... ... 95
Exercices corrigés
1.
Manipulation d'inégalités 98
1.
Recherched'inégalitésoud'encadrements....... ......... .... ...... ........ ...... ..... 98
3.
Différents encadrements d'une même quantité 102
4.
Inéquations................................. ....... ........ ............. .............. 104
5.
Valeur absolue 106
6.
Partieentièred'unnombreréel .... ........... ..... ........... ......... ..... 109
7.
MaJorant, minorant... 111
5.
Fonctions de la variable réelle à valeurs dans IR ou iC
<.l
L'essentielducours.............. .......................................................... 115
Exercices corrigés
1.
Ëléments de symétrie 126
1.
Calcul de dérivées 129
3.
Bijectionréciproque .... ............ ....... .......... ..... ... 132
4.
Fonctions maJorées, minorées, bornées 137
5.
Position, courbe et tangente en un point 139
6.
Des Inégalités 140
7.
Résolutions d'équations et d'Inéquations.............................................. 144
8.
Ëtude de fonctions 149
9.
Formules sur les fonctions circulaires réciproques 154
'0.
cos(Arccos(x» et Arccos(cos(x» 155
n.
Des égalités classiques 157
6.
Primitives
L'essentiel du cours........................................................................ 158
Exercices corrigés
1.
Primitives de fonctions du type u' x f' (u) ........•......•......•...................... 162
1.
Primitivesde«fonctionstrigonométriques' ................... ...... .... .... ...... ..... 164
3.
Primitives de fonctions du type x P(x) cos(ax) ou x P(x) sin(ax) avec P fonction
polynomiale et a réel 167
4.
Primitives de fonctions du type x P(x)eax avec P fonction polynomiale et a réel 168
5.
Primitives de fonctions du type x P(x) In(x) avec P fonction polynomiale 169
7.
Primitives de fonctions du type : X ax ....... e cos(bx) ou x ....... e ax sin(bx) avec a, b réels ... 172
1
8.
Primitives de fonctions du type : x....... ax2 + bx + C ...•...•.•......•••....•.•.•..•••.•• 172
9.
Changement de variable (1) . 176
10.
Changement de variable (2) . 179
11.
Calculs d'intégrales . 181
7.
Équations différentielles
:l:i L'essentiel du cours. ........ .. .... ..... .. ............ ..... .. .......... .. .. ............ .. ... 184
Exercices corrigés
1.
Équation différentielle linéaire d'ordre 1 188
i.
Résolution d'équations différentielles linéaire d'ordre 1 sur un Intervalle où a s'annule.. 190
3.
Équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants 194
Il. Équation différentielle avec paramètre................................................. 198
5.
Équation différentielle du premier ordre à coefficients constants 199
6.
Uneéquationfonctionnelle ............................ .................... 200
7.
Un système différentiel ...........................................................•.... 201
8.
Changement de fonction Inconnue 203
8.
Suites
l
:l L'essentiel du cours. ...... .... ................. .... ... .... ....... ..... ..... .............. .. '204
Exercices corrigés
1.
Monotonie d'une suite 210
i.
Suites majorées, minorées... 213
3.
Suites et relation d'ordre 216
Il. Étude d'une suite à l'aide d'une suite auxiliaire......................................... 218
5.
Suites arithmétlco-géométrlque 218
6.
Étude de suites récurrentes linéaires d'ordre 2 220
7.
Exemples de suites divergentes 221
8.
Sur des suites monotones 222
9.
Utilisation des suites extraites. Suites adjacentes 224
10.
Étude d'une suite définie Implicitement 225
11.
Étudedesuites «Imbriquées.......................................................... 227
1'2. Généralitéssur lessuitesrécurrentes ............. .... ..... ....... ............... ....... 228
13.
Étude d'un suite récurrente: exemple 1 231
14.
Étude d'un suite récurrente : exemple 2 233
15.
Étude d'une suite complexe ..........................................................• 235
9.
ümites -Continuité
.
}:~ L'essentiel du cours. .... ...... .. ............. .............. .............. .................. '236
Exercices corrigés
1.
Recherche de limites 244
i.
Ordre et limites 249
• Sommaire
sin x
3.
Autour de --250
x
4.
Fonctions ne possédant pas de limite en a (a désignant un réel ou -00 ou +00) 254
5.
Ëtude de la continuité 255
6.
Ëtude de la continuité ou du prolongement par continuité en ..o ,................. 257
7.
Fonctions continues sur un segment , , , .. ,., , ,., 259
8.
Théorème des valeurs intermédiaires , .. ' .. ' .. , .. ' '.' .. ' ,'', , 261
9.
À propos du théorème de la bijection , .. ',.'., ... ''.,.''' ... , .. '.'.''' .. ' 263
10.
Ëtude d'une équation fonctionnelle ''',.'.,',.'''',.. ,',.,','' .. ,., ... ,.,'.' 266
n. Ëtuded'unefamille defonctions .., , ,..,. ................ 267
10.
Dérivabilité
'j L'cssentlelducours , , , , ,, , ,........ ...... 271
Exercices corrigés
1.
Utilisation de la notion de dérivabilité , ,.,.' , ,..,', ,........... 277
Il. Étudedeladérivabilitéd'unefonction .,,, , ,,., , , ,, ,.., 279
3.
Dérivée et sens de variations , , , , , .. . .. .. 281
4.
Bijection réciproque et dérivabilité .,' .. , ' ,.........•.,'.' , ,.. 282
5.
À propos du théorème de Rolle ,..................... 284
6.
À propos du théorème et de j'inégalité des accroissements finis '.' ,' ,' ,,. 287
7.
Théorème des accroissements finis généralisés ' ,.,................. 290
8.
Sur le Théorème de limite de la dérivée , ,., ..........•... ,.,......... 291
9.
Recherche de dérivée nème .••..••..•,', , ,.••.•. ,.. , , '.. 296
10.
Fonctions à valeurs complexes et dérivation , , , . , , 301
11.
Analyse asymptotique
~ L'cssentlelducours..,,, ,..,,,., ,, ..,,., , , ,, ,., ..,.,,,, ..,.... 303
Exerciccs corrigés
1.
Recherche d'équivalents de suites ' ,.,',.' , .. ,', ,.,.,.,.,......... 309
Il. Quelques résultats théoriques sur les équivalents et applications , ,......... 315
3.
Ëtudesdelimites.........''................. ....... ...... .. ........ ......... 318
4.
Ëtude d'une suite définie Implicitement , ,.' , ,', , ,.' ,.. 320
5.
Développement asymptotique d'une suite définie Implicitement , , , .. , , . , , . , . . 323
6.
Ëqulvalent d'une suite définie par récurrence , .. , ,... 325
7.
Recherche d'un équivalent d'une suite définie à 'aide d'une Intégrale , , ,',.... 327
8.
Recherche d'équivalents de fonctions , , , , 328
9.
Recherche de limites ' , ,.,', ,.', ,',., , ' .. ,. 332
10.
Ëtude locale de fonctions de la forme u(x)v(K) ........•.•. , ..•......•.•. , ,.',. 334
n. Premiers calculs de DL , , , , . .. . 337
12.
Quotientsde DL ..,.,,,,., ,,.,, , ,.,,, .., ,,,,,,, .., ,,........ 340
13.
Composition de DL 343
14.
Recherche de DL en a t= 0 346
15.
Recherche d'équivalents et de limites , , , , , , . , , 350
16.
Ëtude locale d'une fonction ' , ,.'., '., , ' .. '. 351
17.
Ëtude de la vitesse de convergence de suites ,, .. ,, .. ,, .. ,., .. ,.. ,,,.,, ,.,,. 355
12.
Intégration
:1:1 L'essentielducours.... ........... ......... ......... ........ ..... ....... ....... ....... ..... 358
Exercices corrigés
1.
Intégrale des fonctions en escalier 362
2.
Calculs d'Intégraies 362
3.
Sommes de Riemann.................................................................. 367
4.
Aire et calcul intégral ...............................................•.................. 370
5.
Suite définie par une Intégrale (1) 372
6.
Suite définie par une Intégrale (2) : Intégrales de Wallis 374
7.
Suite définie par une Intégrale (3) 377
8.
Intégrale et limite: lim lbfn(t) dt........... .............. . .. .... 378
n-+oo a
9.
Fonction définie par une Intégrale (1) 381
10.
Fonction définie par une Intégrale (2) : Étude complète.. . . .. . .. .. .. . .. . .. .. . 382
11.
Formule de Taylor avec reste Intégral .........................•........................ 385
12.
À propos de la nullité d'une Intégrale 386
13.
Égalité de la moyenne 390
13.
Séries numériques '!:I L'essentiel du cours . 39'2 Exercices corrigés
1.
Calculsdesommesdesériesconvergentes ............. ....... .... ... .... ..... ......... 396
i.
Étude de la nature de séries 400
3.
Étude de la nature de séries 404
4.
SériesdeBertrand ............................................................ 406
5.
Série harmonique et lien entre suites et séries 410
6.
Autour de la série I: ~ 411
7.
Autour de la série I:;!Y 413
8.
Sériecomplexe ................ ................ .... .... ........... ......... .. .... .. .... 414
9.
Utilisation de comparaisons avec des séries géométriques 415
10.
Étude de séries dont le terme général est défini par récurrence 417
11.
Étude d'une série dont le terme général est défini par une Intégrale ........•......•.... 419
12.
Étude d'une série dont le terme général est défini à l'aided'unesomme........•. ...... 421
13.
Étude d'une série dont le terme général est le reste d'une série convergente 422
14.
Systèmes linéaires ~,:J L'essentielducours............ .... ...... .........•..... ...... ... ......... ..... ....... ..... 4'23 Exercices corrigés
1.
Étude de systèmes échelonnés 426
2.
Résolutionsdesystèmespardeux méthodes........ ....... ....... .... ... ....... ..... .. 431
3.
Système à deux Inconnues et géométrie plane 438
4.
Système à trois inconnues et géométrie dans l'espace 440
5.
Système et système homogène associé 444
15.
Calcul matricel
>r.!
L'essentiel du cours . 446
Exercices corrigés
1.
Calculs avec des matrices 454
2.
Puissance n-ième d'une matrice carrée 457
3.
Inverse d'une matrice carrée 460
4.
Calcul de An avecdlagonalisatlon ............. .... .............. .... ...... .......... ... 466
5.
Lien entre matrices et systèmes , , , ,......... 467
6.
Réduction à une matrice échelonnée réduite ,.. , , ,.. , , , 468
7.
Matrices élémentaires ,.............. 469
8.
Étude d'une famille de matrices , ,.. , ,.. ,.. , ,.. , ,..... 471
9.
Matrices symétriques ' , , ,................ 472
10.
Trace d'une matrice carrée , , , , , ,....... 473
16.
Géométrie élémentaire du plan: PTSI
.
• L'essentiel du cours, , , ' ,., , , 475
Exercices corrigés
1.
Coordonnées polaires , , ' .. , ,.. , , ,.......... 482
2.
Propriétés algébriques du produit scalaire et du produit mixte 483
3.
Équationscartésiennesdedroites etdecercles , , , ,. ....... 485
4.
Distance d'un point à une droite ' .. , , ,., ,.......... 488
5.
Droites parallèles , , ,.' ,.. , ' ,., ,., 491
6.
Équation cartésienne d'un cercle-Tangentes à un cercle , ,...... 492
7.
Intersectionsdedroites etdecercles .. .... ........ ....... ..... ...... ....... 493
8.
Bases orthonormales ,......................................................... 496
9.
Lignes de niveau , , , ,..... 497
10.
Transformations du plan , , ,................. 498
11.
Problèmederéglonnement ' ..,•....., , ' ..,.., ,., ,.•... 502
17.
Géométrie élémentaire de l'espace: PTSI
~, L'essentiel du cours , , , .. 505
Exercices corrigés
1.
Propriétés algébriques du produit scalaire et du produit vectoriel:
Propriétésdestétraèdres.,
,....... .......... .. 513
2.
Construction d'une base orthonormale et changement de repères .. ,.. , ,.......... 514
3.
Équations cartésiennes de plans -Intersection de deux plans .. , , ,.. 515
4.
Système d'équations cartésiennes d'une droite de E -Droites coplanaires. . . . . . .. .. 517
5.
Droites et plans parallèles , ,..,........ 519
6.
Orthogonalité d'une droite et d'un plan -Perpendicularité de deux plans ,... 521
7.
Perpendiculaire commune à deux droites .. ' '.' , , ,......... 521
8.
Distance d'un point à un plan .., ,........................ 524
9.
Distance d'un point à une droite , , ,.. 526
10.
Équation cartésienne d'une sphère , '.,.,......................... 528
11.
Intersectionsphèreplan .... .... .... ........... ............... ......... ....... ......... 530
12.
Symétries orthogonales ,.
13.
Rotations.............................................................................. 536
14.
Plan médiateur, sphère circonscrite 540
18.
Polynômes
,I~ L'essentiel du cours. ...... .. ............................................................... 542
Exercices corrigés
1.
Ëtude du degré et du coefficient dominant d'un polynôme 547
2.
Reste d'une division euclidienne 549
3.
Une propriété du reste dans une division euclidienne 550
4.
Racines multiples d'un polynôme 550
5.
Divisibilité et racines d'un polynôme 551
6.
Factorisations dans C[X] 552
7.
Factorisations dans IR[X] 553
8.
Nullité d'un polynôme -Ëgallté de polynômes .................•....................... 555
9.
Ëquatlons polynomiales 556
10.
Relations coefficients-racines 557
11.
Sur la formule de Taylor 558
12.
Polynômes Interpolateurs de Lagrange 559
19.
Espaces vectoriels
li~ L'essentiel du cours........................................................................ 561
Exercices corrigés
1.
Espaces vectoriels -Sous-espaces vectoriels 567
2.
Sous-espaces vectoriels engendrés.................................................... 570
3.
Familles libres de n vecteurs 573
4.
Familles libres -Familles liées ...................•...................................... 573
5.
Recherche de bases................................................................... 576
6.
Exemples de bases de IRn [X] 578
7.
Sous-espaces vectoriels supplémentaires 580
8.
Sommes et sommes directes 584
9.
Rangd'unefamille devecteurs .... ..... ....... .... ... ....... ....... ......... ... 586
20.
Applications linéaires
'Ij L'essentiel du cours. ....................................................................... 589
Exercices corrigés
1.
Recherche d'une famille génératrice de Imf 594
2.
Applications de IRn dans IRP ...................•.....•......•.••....••..•.•......•.•.. 594
3.
Applications linéaires sur IR n [X] 600
4.
Applications linéaires sur ...H'n(lK) 604
5.
Une application linéaire sur IRN 606
6.
Une application linéaire sur IR!!l 607
7.
Surlesprojecteursetlessymétries ....... ..... .... ..... .... ................... 608
8.
Exempled'unendomorphismeinjectif etnonsurjectif .......................... 612
9.
Ëtude d'un ensemble de suites récurrentes linéaires d'ordre 3 ...............•.......... 613
10.
Polynôme annulateur d'un endomorphisme ,.................. 615
11.
Modes de définition d'une application linéaire ,,., ,.. ,................. 617
11.
Quelques résultats théoriques concernant le noyau et l'Image d'une application linéaire 619
13.
Un résultat théorique sur le rang d'une application linéaire .. , , ' ,... 621
21.
Matrices
..
L'essentielducours ,.,,, ,,.,, ,., ..•., , ,, ,....•., ,..,....•,.. 622
Exercices corrigés
1.
Matrice d'une application linéaire , , , .. '................ 626
l, Étude d'un endomorphisme canoniquement associé à une matricel changement de bases
et applications... ., ,., , .. , '.'.................. 630
3.
Endomorphisme de IRn [X] et matrice... 634
4.
Projection, symétrie et matrice.' ,.,', .. , ....•... , ,',............... 637
5.
Rang d'une matrice , .. ' , .. , , , , ,........... 641
6.
Noyau1 Image et rang d'une matrice , , , ,...... 645
7.
Application de la recherche du rang d'une matrice , , , , , . . 646
8.
Une résultat théorique sur le rang d'une matrice ' ,., ,......... 648
22.
Déterminants: PCSI + PTSI option PSI
,;. L'essentielducours,
'.,', , ,.' ,.., ,.,., ,..,.... 649
Exercices corrigés
1.
Calculs de déterminants 3 x 3 , .. , .. '.' , .. '.'.' .. , , .. , .. '', .. ,. 652
1.
Calculs de déterminants par opérations élémentaires ., , .. , .. , . . . . . . . . . . . . . 653
3.
Utilisation de la définition du déterminant . .. . . .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. 654
4.
Calculs de déterminants par une relation de récurrence , , ,........ 655
5.
Utilisation des déterminants 659
6.
Déterminants avec paramètres , .. ' .. , .. , , ....•. , ,.' , , ,.. 661
7.
Calculs d'aires et de volumes ,., ,............. 663
8.
Déterminant de Vandermonde , , , , .. , , , '. 664
9.
Calcul du déterminant d'un endomorphisme '., , ,............ 667
10.
Utilisation du déterminant d'un endomorphisme .. , , '., , , 668
23.
Produit scalaire -Espaces euclidiens: PCSI
V,
L'essentiel du cours , , ,............ 670
Exercices corrigés
1.
Généralités sur norme et produit scalaire , , ,.' , ,.... 675
1.
Étude d'un produit scalaire sur IR2 [X) , ,................................ 677
3.
Sous-espaces orthogonaux -Orthogonal d'un sous-espace vectoriel '' '., ,.... 680
4.
Construction de bases orthonormées , ,..... 682
5.
Travail sur un produit scalaire dans (([a, bD '., , , ,'',.'., , ,.. 686
6.
Un produit scalaire sur IR[X] ' ,', ,'' .. ,',.' , ,' '., ,... 691
7.
Travail sur le produit scalaire canonique dans IR3 , ,., ,.', .. , .. ,',...... 693
8.
À propos des équations linéaires .' ,.,''''.',.. , .. , .. ,',.,'',., ' .. , 695
9.
Caractérisation des projections orthogonales , .. ' '.,''', ,... 696
10.
Projections orthogonales de 1R2 '0.,
11.
Projections orthogonales de 1R3 699
111.
Étude d'une transformation de IR) 703
24.
Dénombrement
i~! L'essentielducours.......... ...... ....... ... ......... ....... ......... ..... ....... ....... .. 705
Exercices corrigés
1.
Avec ou sans ordre? Avec ou sans répétition? 707
li. Système d'Immatriculation des Véhicules .............................................•. 709
3.
Tirages dans une urne et dénombrement.............................................. 710
4.
Tirages de cartes et dénombrement .. ' ' ' ,', , ,' 713
S.
Des permutations au service des étudiants! ' ,............... 715
6.
Exemples d'obtention par le dénombrement de formules avec des coefficients binomiaux 718
7.
Exemples de dénombrements par bijection............................................ 721
8.
Exemplesdedénombrementd'unepartied'unproduitcartésien ...,................... 724
9.
Dénombrement par récurrence ..... ,.................................................. 725
25.
Probabilités sur un univers fini
'1 L'essentielducours
,, , , ,, , ,......... ...... 7'1.7
Exercices corrigés
1.
Dénombrementetpropriétésd'une probabilité......... ..................... ...•...... 732
li. Formules des probabilités composées, des probabllltés totales, de Bayes............... 737
3.
Encore plus de probabilités totales , ,.................. 741
4.
Indépendance et conditionnement .. , ,.............. 749
26.
Variables aléatoires
';i L'essentiel du cours.,''', , ' : , .. , ,', , 755
Exercices corrigés
1.
Variablesaléatoiresetévénements....... .... .... .... .... ............ ....... ....... .... 760
li. Détermination de 101 de probabilités................................................... 760
3.
Autour de la loi uniforme , ,', ,., , ,.,.'................ 768
4.
Autour de la loi de Bernoulli 773
S.
Autour de la loi binomiale 775
6.
Quelques modélisations............................................................... 781
27.
Couples de variables aléatoires
;;;J L'essentielducours.......... ....... ...... .... ..... ............. .............. ............. 787
Exercices corrigés
1.
Lois conjointes et marginales ,.'.' , ,' ,............. 791
li. Avec lesloisconditionnelles , ,. ............ 798
3.
Autour de l'Indépendance 804
4.
Suites finies de variables aléatoires..................................................... 810
28.
Logique-Raisonnements
i:
L'essentiel du cours........................................................................ 815
Exercices corrigés
1.
Quantificateurs -Négation............................................................ 818
lL Implication -Contraposée -Réciproque 821
3.
Conditionnécessaire etsuffisante.. .... ............. ........ .... ..... ....... ....... 824
4.
Quelques modes de raisonnement: en arithmétique 826
5.
Quelques modes de raisonnement: sur les réels 828
6.
Quelques modes de raisonnement: sur les suites 831
7.
Quelques modes de raisonnement: sur les équations . . .. . .. . . . . . .. . . .. .. . . . . .. 833
8.
Quelques modes de raisonnement: en algèbre 837
9.
Uneéquationfonctionnelle ........... ......... ...... ....... ........ .... .......... 839
10.
Lecture de propriétés de cours 840
Index des notations 842
Index 844