Vous savez votre cours, mais vous n'arrivez pas à l'appliquer.Vous séchez devant les énoncés tandis que vous avez passé beaucoup de temps à réviser.Vous avez des difficultés à proposer des pistes en colle.Riches de nombreuses méthodes et d'exercices de difficulté progressive (issus des concours ou choisis pour leur [...] [lire le résumé du livre]
Vous savez votre cours, mais vous n'arrivez pas à l'appliquer.
Vous séchez devant les énoncés tandis que vous avez passé beaucoup de temps à réviser. Vous avez des difficultés à proposer des pistes en colle. Riches de nombreuses méthodes et d'exercices de difficulté progressive (issus des concours ou choisis pour leur intérêt pédagogique), Les Recettes de PRÉPAS vous permettront d'avoir les idées claires pour passer du cours aux exercices.
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Sommaire
Sommaire et contenu du livre "Mathématiques ECE-1"
Table des matières
1 Analyse 3
1 Révisions 5
1
Rappels . 5
1.1
Quotients 5
1.2
Puissances. 6
1.3
Propriétés des inégalités dans JR . 6
1.4
Inégalités, carrés et inverses 7
1.5
Valeur absolue 7
1.6
Racinescarrées . . . . . . . 7
1.7
Partieentière........ 8
1.8
La fonction trinôme du second degré 8
1.9
Signe d'un produit; d'une somme. 8
1.10
Fonction logarithme népérien .... 9
1.11
Fonction exponentielle de base e . . 9
1.12
Fonction exponentielle et fonction puissance . 9
2
Calculer avec des quotients .... 10
3
Calculer avec des puissances . . . . 11
4
Calculer avec des valeurs absolues. 12
5
Calculer avec des radicaux . . . . . 13
6
Résoudre des (in)équations avec des radicaux 14
7
Démontrer avec des parties entières . . 15
8
Résoudre des équations de degré ~ 2. 16
9
Résoudre des inéquations de degré ~ 2 17
10 Résoudre une équation avec ln ou exp 18
Il Résoudre une inéquation avec ln ou exp 19
12 Etude de fonctions . 20
13 Exercices . 21
13.1
Exercices d'entraînement 21
13.2
Exercices de perfectionnement 35
2 Récurrence 39
1
Rappels . 39
1.1
Le raisonnement par récurrence . 39
1.2
Calcul de sommes ..... 41
1.3
Propriétés des sommes . . . . . 41
1.4
Transformation des sommes . . 41
2
Le raisonnement par récurrence faible 42
3
Des récurrences et des sommes ..... 43
4
Le raisonnement par récurrence double. 44
5
Le raisonnement par récurrence forte 45
6
Calcul de sommes simples 46
7
Calcul de sommes doubles . . . . 47
8
Exercices . 48
8.1
Exercices d'entraînement 48
8.2
Exercices de perfectionnement 61
3 Suites 65
1
Rappels . 65
1.1
Définitions 65
1.2
Quelques résultats 65
1.3
Théorèmes sur les limites 66
1.4
Suites particulières . 66
1.5
Théorèmes . 67
1.6
Comparaison des suites 67
1.7
Factorielles....... 67
2
Montrer qu'une suite est croissante 68
3
Déterminer la limite de (un) .... 69
4
Montrer qu'une suite u converge 70
5
Montrer que u et v sont adjacentes 71
6
Utiliser une suite auxiliaire .... 72
7
Etudier une suite récurrente linéaire d'ordre 2 73
8
Etudier une suite définie par une équation 74
9
Exercices................ 75
9.1
Exercices d'entraînement 75
9.2
Exercices de perfectionnement 86
4 Dérivabilité 95
1
Rappels . 95
1.1
Limites et continuité en un point 95
1.2
Relations de comparaison 96
1.3
Continuité sur un intervalle 97
1.4
Dérivabilité . 97
1.5
Les nouveaux théorèmes 98
1.6
Dérivée n-ième 98
1.7
Convexité ... 98
1.8
Asymptotes .. 98
2
Déterminer des limites 99
3
Déterminer un équivalent de f en Xo 100
4
Montrer qu'une fonction f est continue en Xo 101
5
Montrer que f est dérivable en Xo . 102
6
Montrer que l'équation f(x)=O a une solution 103
7
Montrer que f réalise une bijection . . . . 104
8
Utiliser l'inégalité des accroissements finis 105
9
Calculer la dérivée nième . 106
10 Détermination des asymptotes 'obliques' . 107
11 Etudier la position d'une courbe ..... 108
12 Etudier la fonction f . 109
13 Montrer que la fonction f est convexe sur 1 . 110
14 Exercices . 111
14.1
Exercices d'entraînement 111
14.2
Exercices de perfectionnement 132
5 Intégration 137
1
Rappels . 137
1.1
Propriétés................ 137
2
Calculer une intégrale par une primitive de f. 139
3
Faire une intégration par parties . 140
4
Utiliser un changement de variable . 141
5
Calculer une intégrale de fonction rationnelle 142
6
Prouver des inégalités entre intégrales . 143
7
Etudier une suite d'intégrales . 144
8
Etudier une fonction définie par une intégrale 145
9
Limite de sommes et intégrales . 146
10 Exercices . 147
10.1
Exercices d'entraînement 147
10.2
Exercices de perfectionnement 157
6 Séries 169
1
Rappels . 169
1.1
Définitions et théorèmes . . . . . 169
1.2
Séries à termes de signe variable 169
1.3
Séries à termes positifs . 170
1.4
Séries particulières . . . . . . . . 170
2
Calculer la somme de séries convergentes . 171
2.1
0 btenir une somme classique par factorisation 171
2.2
Des sommes classiques par décomposition en somme 172
3
Etudier la convergence d'une série . 173
3.1
Etude de la convergence de la somme partielle (Sn) . 173
3.2
Spécial séries à termes positifs 174
4
Séries à termes de signe variable 175
5
Exercices................ 176
5.1
Exercices d'entraînement 176
5.2
Exercices de perfectionnement 186
7 Fonction de deux variables 197
1
Rappels . 197
1.1
L'ensemble]R2 .. 197
1.2
Graphes . 197
1.3
Limite; Continuité 198
1.4
Dérivabilité .... 198
2
Déterminer l'ensemble de définition de f 199
3
Etudier l'existence d'une limite L en (a, b) 200
4
Déterminer les dérivées partielles . 201
5
Etudier l'existence d'un extremum 202
6
Exercices.............. 203
6.1
Exercices d'entraînement 203
6.2
Exercices de perfectionnement 215
8 Polynômes 221
1
Rappels . 221
1.1
Définitions...... 221
1.2
Racine d'un polynôme 222
1.3
Dérivation. . . . . . . 222
1.4
1'espaœ vectoriel des polynômes 222
2
Factoriser un polynôme . 223
2.1
En utilisant des identités remarquables. 223
2.2
Quand on connaît une racine .. 224
3
Déterminer P vérifiant une propriété Pl 225
4
Exercices................ 226
4.1
Exercices d'entraînement 226
4.2
Exercices de perfectionnement 232
II Algèbre 235
9 Systèmes 237
1
Rappels . 237
1.1
Les opérations élémentaires sur les systèmes . 237
1.2
Système de n équations à n inconnues . . 238
1.3
Plus d'équations que d'inconnues: n > p. 238
1.4
Plus d'inconnues que d'équations: n < p. 238
2
Autant d'équations que d'inconnues 239
3
Plus d'équations que d'inconnues . 240
4
Plus d'inconnues que d'équations . 241
5
Résoudre un système paramétrique 242
6
Exercices.............. 243
6.1
Exercices d'entraînement 243
6.2
Exercices de perfectionnement 250
10 Matrices 253
1
Rappels . 253
1.1
Définitions 253
1.2
Matrices carrées 254
1.3
Systèmes et matrices . 254
2
Calculer avec des matrices explicitées. 255
3
Résoudre une équation dans Mn(lR).. 256
4
Calculer avec des matrices non explicitées 257
5
Calculer AP pour pEN et A E Mn(lR) 258
5.1
Quelques cas particuliers . 258
5.2
Conjecture puis récurrence 259
5.3
Utilisation de la formule du binôme 260
5.4
Utilisation de suites . 261
5.5
Utilisation d'une matrice diagonale. 262
6
Résoudre un système en utilisant une matrice 263
7 Déterminer l'inverse d'une matrice A inversible . 264
7.1 Cas où on dispose d'une relation du type P(A) = 0 . 264
7.2 Calcul de l'inverse par résolution d'un système 265
7.3 Calcul de l'inverse par la méthode du pivot 266 8 Exercices . 267
8.1 Entraînement.. 267
8.2 Perfectionnement 282
Il Espaces vectoriels 291 1 Rappels . 291
1.1 Définitions.................. 291 2 Montrer que u est combinaison linéaire de Ul, .. , Un 294 3 Montrer que F est un espace vectoriel . 295 4 La famille F = (el, e2, , en) est-elle libre ou liée? 296 5 La famille F = (el, e2, ,en) engendre-t-elle E? 297 6 F= (el,e2, ...,ep ) est-elle une base de E? 298 7 Déterminer une base de F . . . . 299 8 Exercices............. 300
8.1 Exercices d'entraînement 300
8.2 Perfectionnement ..... 307
12 Applications linéaires 313 1 Rappels . 313
1.1 Applications linéaires 313
1.2 Noyau et image .... 314
1.3 Image d'une famille de vecteurs 314
1.4 Endimensionfinie . . . . . . . . 314
1.5 Matrice d'une application linéaire. 314
1.6 Matrice d'un endomorphisme .. 315 2 Montrer qu'une application est linéaire . 316 3 Déterminer Ker(f) et Im(f) . 317
3.1 E n'est pas de dimension finie .. 317
3.2 E est de dimension finie . . . . . 318 4 Déterminer le rang d'une application linéaire 319 5 Montrer que f est isomorphisme de E dans F 320
5.1 Cas où la dimension n'est pas finie .. 320
5.2 En dimension finie avec dim(E) = dim(F) = n. 321 6 Démontrer que A est inclus dans B . . . . 322 7 Prouver une implication, une équivalence 323 8 Exercices............. 324
8.1 Exercices d'entraînement 324
8.2 Perfectionnement ..... 337
III Probabilités 345
13 Dénombrement 341 1 Rappels ... 347
1.1 Ensembles. 347
1.2
Applications . 348
1.3
Calcul . 348
2
Calculer une somme contenant des combinaisons 349
3
Résoudre un exercice de dénombrement 350
4
Déterminer le nombre d'applications 351
5
Exercices . 352
5.1
Exercices d'entraînement . 352
5.2
Exercices de perfectionnement 360
14 Probabilités 365
1
Rappels . 365
1.1
Le langage des probabilités 365
1.2
Propriétés importantes. . . 366
1.3
Probabilité conditionnelle . 367
2
Calculer une probabilité par le dénombrement . 368
3
Calculer une probabilité grâce aux axiomes 369
4
Utiliser les probabilités conditionnelles ... 370
5
Utiliser le théorème des probabilités totales 371
6
Exercices................ 372
6.1
Exercices d'entraînement ... 372
6.2
Exercices de perfectionnement 386
15 Variable aléatoire 391
1
Rappels . 391
1.1
Définitions.......... 391
1.2
Loi de probabilité d'une v.a.. 391
1.3
Espérance d'une v.a . 392
1.4
Moment d'ordre r . 392
1.5
Variance d'une v.a. discrète X . 393
1.6
Lois classiques . 393
2
Déterminer la loi d'une v.a. finie . 394
3
Utiliser le théorème des probabilités totales 395
4 Calculer P(X=k), E(X) ou V(X)
: cas fini . 396
5 Calculer P(X=k), E(X) ou V(X)
: cas infini 397
6
Etudier une variable classique . . 398
7
Exercices................ 399
7.1
Exercices d'entraînement ... 399
7.2
Exercices de perfectionnement 413
16 Couples de variables aléatoires 419
1
Rappels . 419
1.1
Définitions : les variables sont supposées discrètes. 419
1.2
Indépendance de deux v.a. 419
1.3
Fonction de deux v.a. . . 420
1.4
Covariance.............. 420
2
Représenter la loi conjointe dans un tableau 421
3
Donner la loi conjointe puis les lois de X et Y 422
4
Déterminer les lois de X et de Y . 423
5
Déterminer la loi de X+Y,XY, . 424
6
Exercices . 425
6.1
Exercices d'entraînement . 425
6.2
Exercices de perfectionnement 437
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