Mathématiques ECE-1

Sommaire et contenu du livre "Mathématiques ECE-1"

Table des matières 1 Analyse 3 1 Révisions 5 1 Rappels . 5 1.1 Quotients 5 1.2 Puissances. 6 1.3 Propriétés des inégalités dans JR . 6 1.4 Inégalités, carrés et inverses 7 1.5 Valeur absolue 7 1.6 Racinescarrées . . . . . . . 7 1.7 Partieentière........ 8 1.8 La fonction trinôme du second degré 8 1.9 Signe d'un produit; d'une somme. 8 1.10 Fonction logarithme népérien .... 9 1.11 Fonction exponentielle de base e . . 9 1.12 Fonction exponentielle et fonction puissance . 9 2 Calculer avec des quotients .... 10 3 Calculer avec des puissances . . . . 11 4 Calculer avec des valeurs absolues. 12 5 Calculer avec des radicaux . . . . . 13 6 Résoudre des (in)équations avec des radicaux 14 7 Démontrer avec des parties entières . . 15 8 Résoudre des équations de degré ~ 2. 16 9 Résoudre des inéquations de degré ~ 2 17 10 Résoudre une équation avec ln ou exp 18 Il Résoudre une inéquation avec ln ou exp 19 12 Etude de fonctions . 20 13 Exercices . 21 13.1 Exercices d'entraînement 21 13.2 Exercices de perfectionnement 35 2 Récurrence 39 1 Rappels . 39 1.1 Le raisonnement par récurrence . 39 1.2 Calcul de sommes ..... 41 1.3 Propriétés des sommes . . . . . 41 1.4 Transformation des sommes . . 41 2 Le raisonnement par récurrence faible 42 3 Des récurrences et des sommes ..... 43 4 Le raisonnement par récurrence double. 44 5 Le raisonnement par récurrence forte 45 6 Calcul de sommes simples 46 7 Calcul de sommes doubles . . . . 47 8 Exercices . 48 8.1 Exercices d'entraînement 48 8.2 Exercices de perfectionnement 61 3 Suites 65 1 Rappels . 65 1.1 Définitions 65 1.2 Quelques résultats 65 1.3 Théorèmes sur les limites 66 1.4 Suites particulières . 66 1.5 Théorèmes . 67 1.6 Comparaison des suites 67 1.7 Factorielles....... 67 2 Montrer qu'une suite est croissante 68 3 Déterminer la limite de (un) .... 69 4 Montrer qu'une suite u converge 70 5 Montrer que u et v sont adjacentes 71 6 Utiliser une suite auxiliaire .... 72 7 Etudier une suite récurrente linéaire d'ordre 2 73 8 Etudier une suite définie par une équation 74 9 Exercices................ 75 9.1 Exercices d'entraînement 75 9.2 Exercices de perfectionnement 86 4 Dérivabilité 95 1 Rappels . 95 1.1 Limites et continuité en un point 95 1.2 Relations de comparaison 96 1.3 Continuité sur un intervalle 97 1.4 Dérivabilité . 97 1.5 Les nouveaux théorèmes 98 1.6 Dérivée n-ième 98 1.7 Convexité ... 98 1.8 Asymptotes .. 98 2 Déterminer des limites 99 3 Déterminer un équivalent de f en Xo 100 4 Montrer qu'une fonction f est continue en Xo 101 5 Montrer que f est dérivable en Xo . 102 6 Montrer que l'équation f(x)=O a une solution 103 7 Montrer que f réalise une bijection . . . . 104 8 Utiliser l'inégalité des accroissements finis 105 9 Calculer la dérivée nième . 106 10 Détermination des asymptotes 'obliques' . 107 11 Etudier la position d'une courbe ..... 108 12 Etudier la fonction f . 109 13 Montrer que la fonction f est convexe sur 1 . 110 14 Exercices . 111 14.1 Exercices d'entraînement 111 14.2 Exercices de perfectionnement 132 5 Intégration 137 1 Rappels . 137 1.1 Propriétés................ 137 2 Calculer une intégrale par une primitive de f. 139 3 Faire une intégration par parties . 140 4 Utiliser un changement de variable . 141 5 Calculer une intégrale de fonction rationnelle 142 6 Prouver des inégalités entre intégrales . 143 7 Etudier une suite d'intégrales . 144 8 Etudier une fonction définie par une intégrale 145 9 Limite de sommes et intégrales . 146 10 Exercices . 147 10.1 Exercices d'entraînement 147 10.2 Exercices de perfectionnement 157 6 Séries 169 1 Rappels . 169 1.1 Définitions et théorèmes . . . . . 169 1.2 Séries à termes de signe variable 169 1.3 Séries à termes positifs . 170 1.4 Séries particulières . . . . . . . . 170 2 Calculer la somme de séries convergentes . 171 2.1 0 btenir une somme classique par factorisation 171 2.2 Des sommes classiques par décomposition en somme 172 3 Etudier la convergence d'une série . 173 3.1 Etude de la convergence de la somme partielle (Sn) . 173 3.2 Spécial séries à termes positifs 174 4 Séries à termes de signe variable 175 5 Exercices................ 176 5.1 Exercices d'entraînement 176 5.2 Exercices de perfectionnement 186 7 Fonction de deux variables 197 1 Rappels . 197 1.1 L'ensemble]R2 .. 197 1.2 Graphes . 197 1.3 Limite; Continuité 198 1.4 Dérivabilité .... 198 2 Déterminer l'ensemble de définition de f 199 3 Etudier l'existence d'une limite L en (a, b) 200 4 Déterminer les dérivées partielles . 201 5 Etudier l'existence d'un extremum 202 6 Exercices.............. 203 6.1 Exercices d'entraînement 203 6.2 Exercices de perfectionnement 215 8 Polynômes 221 1 Rappels . 221 1.1 Définitions...... 221 1.2 Racine d'un polynôme 222 1.3 Dérivation. . . . . . . 222 1.4 1'espaœ vectoriel des polynômes 222 2 Factoriser un polynôme . 223 2.1 En utilisant des identités remarquables. 223 2.2 Quand on connaît une racine .. 224 3 Déterminer P vérifiant une propriété Pl 225 4 Exercices................ 226 4.1 Exercices d'entraînement 226 4.2 Exercices de perfectionnement 232 II Algèbre 235 9 Systèmes 237 1 Rappels . 237 1.1 Les opérations élémentaires sur les systèmes . 237 1.2 Système de n équations à n inconnues . . 238 1.3 Plus d'équations que d'inconnues: n > p. 238 1.4 Plus d'inconnues que d'équations: n < p. 238 2 Autant d'équations que d'inconnues 239 3 Plus d'équations que d'inconnues . 240 4 Plus d'inconnues que d'équations . 241 5 Résoudre un système paramétrique 242 6 Exercices.............. 243 6.1 Exercices d'entraînement 243 6.2 Exercices de perfectionnement 250 10 Matrices 253 1 Rappels . 253 1.1 Définitions 253 1.2 Matrices carrées 254 1.3 Systèmes et matrices . 254 2 Calculer avec des matrices explicitées. 255 3 Résoudre une équation dans Mn(lR).. 256 4 Calculer avec des matrices non explicitées 257 5 Calculer AP pour pEN et A E Mn(lR) 258 5.1 Quelques cas particuliers . 258 5.2 Conjecture puis récurrence 259 5.3 Utilisation de la formule du binôme 260 5.4 Utilisation de suites . 261 5.5 Utilisation d'une matrice diagonale. 262 6 Résoudre un système en utilisant une matrice 263 7 Déterminer l'inverse d'une matrice A inversible . 264 7.1 Cas où on dispose d'une relation du type P(A) = 0 . 264 7.2 Calcul de l'inverse par résolution d'un système 265 7.3 Calcul de l'inverse par la méthode du pivot 266 8 Exercices . 267 8.1 Entraînement.. 267 8.2 Perfectionnement 282 Il Espaces vectoriels 291 1 Rappels . 291 1.1 Définitions.................. 291 2 Montrer que u est combinaison linéaire de Ul, .. , Un 294 3 Montrer que F est un espace vectoriel . 295 4 La famille F = (el, e2, , en) est-elle libre ou liée? 296 5 La famille F = (el, e2, ,en) engendre-t-elle E? 297 6 F= (el,e2, ...,ep ) est-elle une base de E? 298 7 Déterminer une base de F . . . . 299 8 Exercices............. 300 8.1 Exercices d'entraînement 300 8.2 Perfectionnement ..... 307 12 Applications linéaires 313 1 Rappels . 313 1.1 Applications linéaires 313 1.2 Noyau et image .... 314 1.3 Image d'une famille de vecteurs 314 1.4 Endimensionfinie . . . . . . . . 314 1.5 Matrice d'une application linéaire. 314 1.6 Matrice d'un endomorphisme .. 315 2 Montrer qu'une application est linéaire . 316 3 Déterminer Ker(f) et Im(f) . 317 3.1 E n'est pas de dimension finie .. 317 3.2 E est de dimension finie . . . . . 318 4 Déterminer le rang d'une application linéaire 319 5 Montrer que f est isomorphisme de E dans F 320 5.1 Cas où la dimension n'est pas finie .. 320 5.2 En dimension finie avec dim(E) = dim(F) = n. 321 6 Démontrer que A est inclus dans B . . . . 322 7 Prouver une implication, une équivalence 323 8 Exercices............. 324 8.1 Exercices d'entraînement 324 8.2 Perfectionnement ..... 337 III Probabilités 345 13 Dénombrement 341 1 Rappels ... 347 1.1 Ensembles. 347 1.2 Applications . 348 1.3 Calcul . 348 2 Calculer une somme contenant des combinaisons 349 3 Résoudre un exercice de dénombrement 350 4 Déterminer le nombre d'applications 351 5 Exercices . 352 5.1 Exercices d'entraînement . 352 5.2 Exercices de perfectionnement 360 14 Probabilités 365 1 Rappels . 365 1.1 Le langage des probabilités 365 1.2 Propriétés importantes. . . 366 1.3 Probabilité conditionnelle . 367 2 Calculer une probabilité par le dénombrement . 368 3 Calculer une probabilité grâce aux axiomes 369 4 Utiliser les probabilités conditionnelles ... 370 5 Utiliser le théorème des probabilités totales 371 6 Exercices................ 372 6.1 Exercices d'entraînement ... 372 6.2 Exercices de perfectionnement 386 15 Variable aléatoire 391 1 Rappels . 391 1.1 Définitions.......... 391 1.2 Loi de probabilité d'une v.a.. 391 1.3 Espérance d'une v.a . 392 1.4 Moment d'ordre r . 392 1.5 Variance d'une v.a. discrète X . 393 1.6 Lois classiques . 393 2 Déterminer la loi d'une v.a. finie . 394 3 Utiliser le théorème des probabilités totales 395 4 Calculer P(X=k), E(X) ou V(X) : cas fini . 396 5 Calculer P(X=k), E(X) ou V(X) : cas infini 397 6 Etudier une variable classique . . 398 7 Exercices................ 399 7.1 Exercices d'entraînement ... 399 7.2 Exercices de perfectionnement 413 16 Couples de variables aléatoires 419 1 Rappels . 419 1.1 Définitions : les variables sont supposées discrètes. 419 1.2 Indépendance de deux v.a. 419 1.3 Fonction de deux v.a. . . 420 1.4 Covariance.............. 420 2 Représenter la loi conjointe dans un tableau 421 3 Donner la loi conjointe puis les lois de X et Y 422 4 Déterminer les lois de X et de Y . 423 5 Déterminer la loi de X+Y,XY, . 424 6 Exercices . 425 6.1 Exercices d'entraînement . 425 6.2 Exercices de perfectionnement 437