Mathématiques des sciences appliquées Calcul scientifique Transformation de Fourier, espaces de Hilbert, équations aux dérivées partielles
L'ouvrage : niveau B (IUP - Licence)Les sciences appliquées et les techniques de l'ingénieur font constamment appel à des outils mathématiques sophistiqués. Pour les étudiants ou élèves ingénieurs et les professionnels désirant compléter leurs connaissances, ce livre en détaille trois parmi les plus courants : la transformation de [...] [lire le résumé du livre]
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L'ouvrage : niveau B (IUP - Licence)
Les sciences appliquées et les techniques de l'ingénieur font constamment appel à des outils mathématiques sophistiqués. Pour les étudiants ou élèves ingénieurs et les professionnels désirant compléter leurs connaissances, ce livre en détaille trois parmi les plus courants : la transformation de Fourier, l'algèbre appliquée à la mécanique quantique et les équations aux dérivées partielles.
Clairement rédigé, le texte met l'accent sur la relation entre ces outils et leurs applications. Pour faciliter la compréhension des concepts, il propose des exemples, des illustrations et des calculs simples, tandis que les développements purement mathématiques sont réduits à l'essentiel. Loin de la structure traditionnelle théorème/ démonstration, l'ouvrage met en avant une présentation limpide, sans notations mathématiques obscures, qui privilégie la discussion des résultats.
À la fin de chaque partie, des applications dans des domaines variés sont systématiquement traitées optique, diffusion, traitement du signal, information quantique... Ces exemples ne demandent aucune connaissance préalable même pour les plus récents comme la cryptographie quantique. Des exercices variés et corrigés sont également proposés.
Auteurs :
Philippe Goldner, ingénieur de l'Ecole Centrale Paris, est Directeur de recherche au CNRS. Il enseigne les mathématiques à l'Ecole Nationale Supérieure de Chimie de Paris et il étudie des matériaux destinés au traitement quantique de l'Information.
Sommaire et contenu du livre "Mathématiques des sciences appliquées Calcul scientifique - Transformation de Fourier, espaces de Hilbert, équations aux dérivées partielles"
Table des mati?s
A Transformation de Fourier
1 Signaux et spectres
1.1 TransformationdeFourier ................
1.1.1 D?nitions.....................
1.1.2 Fonctions admettant une transform?de Fourier
1.1.3 Propri?s ?mentaires
1.1.4 S?esdeFourier . . . . . . . .
1.2 Quelques signaux courants .
1.2.1 Cr?au ou fonction rectangle
1.2.2 Fonction triangle .
1.2.3 Gaussienne...........
1.2.4 Echelon ou fonction de Heaviside
1.2.5 Sinus cardinal .
1.3 Impulsions et fonction de Dirac
1.3.1 Ph?m?s ponctuels. .
1.3.2 Fonction de Dirac . . . .
1.3.3 Propri?s de la fonction de Dirac
1.3.4 Autres fonctions impulsionnelles
II Transform? de Fourier usuelles
II.1 Propri?s g?rales . . . . . . . .
11.2 Calcul des transform? de Fourier.
11.2.1 Int?ales convergentes ...
II.2.2 Int?ales non convergentes et fonctions de Dirac
III Propri?s fondamentales
111.1 Changements d'?elle
111.2 Produit de convolution .
III.2.1 D?nition.....
111.2.2 Transform?de Fourier
111.2.3 Application aux syst?s lin?res et invariants .
III.3 Corr?tion .....
IliA Puissance,?rgie ..........
111.5 D?vation..............
111.6 Transformation en dimension 2 et 3
IV Applications
IV.l Mesures .....................
IV.1.1 Largeurs effectives et d'auto-corr?tion
Il
12
13
13
16
19
23
25
25
26
26
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30
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46
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50
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52
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60
62
64
64
64
IV.1.2 Largeur et ?rt-type 68
IV.2 1faitement du signal . 74
IV.2.1 Filtres . 75
IV.2.2 D?ction synchrone et modulation. 79
IV.3 Optique . 82
IV.3.1 Ouvertures . 82
IV.3.2 Spectrom?e ?ransform?de Fourier, apodisation 86
V M?odes num?ques 90
V.1 Echantillonnage . 90
V.2 1fansformation de Fourier discr?. 93
Exercices 98
B Alg?e et m?nique quantique 101
VI Espaces de Hilbert 102
VI. 1 D?nitions et propri?s 103 VU.1 Espaces de Hilbert 103
VI. 1.2 Produit scalaire 104 VU.3 Bases . . . 105
VI.2 Op?teurs . 108 V1.2.1 D?nition . 108 V1.2.2 Kets et valeurs propres 111 V1.2.3 Produit ext?eur et projecteurs 112 V1.2.4 Op?teurs et produit scalaire 116
VI.3 Produit tensoriel . 124
VII Applications en m?nique quantique 129
VII.1 Postulats de la m?nique quantique 129
VII.2 Etats et mesure . . . . . 136
VII.2.1 Phase . 136
VII.2.2 Etats discernables 138
VII.2.3 Valeur moyenne . 138
VII.2.4 Variance et ?rt-type 139
VII.2.5 Espaces produits tensoriels 141
VII.2.6 Espaces de fonctions . . . . 146
VII.3 Information quantique . 146
VII.3.1 Bits quantiques et op?teurs 147
VII.3.2 Cryptographie quantique .. 150
VII.3.3 Duplication ou clonage de qubits 156
VII.3.4 T?portation. . . . . . . . . . . 157
Exercices 162
TABLE DES MATI?ES
C Equations aux d?v? partielles 164
VIII D?nitions et classification 165
VIII.1 Notations . 165
VIII.2 Equations aux d?v? partielles usuelles 168
VIII.3 Classification . 168 VIllA Conditions initiales et aux limites 170 VIIIA.1 Unicit?es solutions. 171
IX M?odes de r?lution 172
IX.1 Solutions g?rales . . 172
IX.l.1 Propagation . . 172
IX.2 S?ration des variables 173
IX.2.1 Diffusion . . . . . 174
IX.2.2 Equation de Laplace. 178
IX.3 Fonctions propres . . . . . . 183
IX.3.1 Diffusion avec terme source ou puits 184 IXA Transformations int?ales . . . . . . . . . 187 IXA.1 Diffusion dans un milieu infini -transformation de Fourier. 187 IXA.2 Diffusion dans un milieu serni-infini -transformation de Laplace 189
Exercices 193
Annexes 195
1 Transformation de Laplace 195
2 Corrig?des exercices 197
Table des figures 206
Liste des tables 209
Index 210
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