Mathématiques des sciences appliquées Calcul scientifique
Transformation de Fourier, espaces de Hilbert, équations aux dérivées partielles

Sommaire et contenu du livre "Mathématiques des sciences appliquées Calcul scientifique - Transformation de Fourier, espaces de Hilbert, équations aux dérivées partielles"

Table des mati?s A Transformation de Fourier 1 Signaux et spectres 1.1 TransformationdeFourier ................ 1.1.1 D?nitions..................... 1.1.2 Fonctions admettant une transform?de Fourier 1.1.3 Propri?s ?mentaires 1.1.4 S?esdeFourier . . . . . . . . 1.2 Quelques signaux courants . 1.2.1 Cr?au ou fonction rectangle 1.2.2 Fonction triangle . 1.2.3 Gaussienne........... 1.2.4 Echelon ou fonction de Heaviside 1.2.5 Sinus cardinal . 1.3 Impulsions et fonction de Dirac 1.3.1 Ph?m?s ponctuels. . 1.3.2 Fonction de Dirac . . . . 1.3.3 Propri?s de la fonction de Dirac 1.3.4 Autres fonctions impulsionnelles II Transform? de Fourier usuelles II.1 Propri?s g?rales . . . . . . . . 11.2 Calcul des transform? de Fourier. 11.2.1 Int?ales convergentes ... II.2.2 Int?ales non convergentes et fonctions de Dirac III Propri?s fondamentales 111.1 Changements d'?elle 111.2 Produit de convolution . III.2.1 D?nition..... 111.2.2 Transform?de Fourier 111.2.3 Application aux syst?s lin?res et invariants . III.3 Corr?tion ..... IliA Puissance,?rgie .......... 111.5 D?vation.............. 111.6 Transformation en dimension 2 et 3 IV Applications IV.l Mesures ..................... IV.1.1 Largeurs effectives et d'auto-corr?tion Il 12 13 13 16 19 23 25 25 26 26 28 29 30 30 31 34 36 41 45 46 46 47 50 50 52 52 54 55 57 59 60 62 64 64 64 IV.1.2 Largeur et ?rt-type 68 IV.2 1faitement du signal . 74 IV.2.1 Filtres . 75 IV.2.2 D?ction synchrone et modulation. 79 IV.3 Optique . 82 IV.3.1 Ouvertures . 82 IV.3.2 Spectrom?e ?ransform?de Fourier, apodisation 86 V M?odes num?ques 90 V.1 Echantillonnage . 90 V.2 1fansformation de Fourier discr?. 93 Exercices 98 B Alg?e et m?nique quantique 101 VI Espaces de Hilbert 102 VI. 1 D?nitions et propri?s 103 VU.1 Espaces de Hilbert 103 VI. 1.2 Produit scalaire 104 VU.3 Bases . . . 105 VI.2 Op?teurs . 108 V1.2.1 D?nition . 108 V1.2.2 Kets et valeurs propres 111 V1.2.3 Produit ext?eur et projecteurs 112 V1.2.4 Op?teurs et produit scalaire 116 VI.3 Produit tensoriel . 124 VII Applications en m?nique quantique 129 VII.1 Postulats de la m?nique quantique 129 VII.2 Etats et mesure . . . . . 136 VII.2.1 Phase . 136 VII.2.2 Etats discernables 138 VII.2.3 Valeur moyenne . 138 VII.2.4 Variance et ?rt-type 139 VII.2.5 Espaces produits tensoriels 141 VII.2.6 Espaces de fonctions . . . . 146 VII.3 Information quantique . 146 VII.3.1 Bits quantiques et op?teurs 147 VII.3.2 Cryptographie quantique .. 150 VII.3.3 Duplication ou clonage de qubits 156 VII.3.4 T?portation. . . . . . . . . . . 157 Exercices 162 TABLE DES MATI?ES C Equations aux d?v? partielles 164 VIII D?nitions et classification 165 VIII.1 Notations . 165 VIII.2 Equations aux d?v? partielles usuelles 168 VIII.3 Classification . 168 VIllA Conditions initiales et aux limites 170 VIIIA.1 Unicit?es solutions. 171 IX M?odes de r?lution 172 IX.1 Solutions g?rales . . 172 IX.l.1 Propagation . . 172 IX.2 S?ration des variables 173 IX.2.1 Diffusion . . . . . 174 IX.2.2 Equation de Laplace. 178 IX.3 Fonctions propres . . . . . . 183 IX.3.1 Diffusion avec terme source ou puits 184 IXA Transformations int?ales . . . . . . . . . 187 IXA.1 Diffusion dans un milieu infini -transformation de Fourier. 187 IXA.2 Diffusion dans un milieu serni-infini -transformation de Laplace 189 Exercices 193 Annexes 195 1 Transformation de Laplace 195 2 Corrig?des exercices 197 Table des figures 206 Liste des tables 209 Index 210