Mathematica théorie et pratique
Applications en arithmétique Cours et exercices

Sommaire et contenu du livre "Mathematica théorie et pratique - Applications en arithmétique Cours et exercices"

Table des matières CHAPITRE 1: LA MAITRISE DE MATHEMATICA Introduction 10 1. Les notions de base 12 1. Les diverses notions d'égalité en calcul formel 12 1.1 L'affectation 12 1.2 La comparaison 12 2. Les règles de substitution 13 2.1 Généralités sur les règles de substitution 13 2.2 Les primitives ReplaceAll et ReplaceRepeated 14 2.3 Conversion de règles 15 3. Listes et expressions 16 3.1 Etude des listes 16 3.2 Etude des expressions 28 4. Les fonctions 30 4.1 Généralités sur les fonctions 30 4.2 Définition d'une fonction avec conditions 33 4.3 Définition d'une fonction avec variables locales 35 4.4 Les fonctions pures 36 4.5 Les fonctions à mémoire et la récursivité 37 4.6 Compilation d'une fonction 38 4.7 Compléments sur les fonctions 40 5. Simplifier en calcul formel 41 5.1 La problématique de la simplification 41 5.2 Les primitives fondamentales de simplification 41 5.3 Exemples de simplification d'expressions 42 6. Le filtrage et la reconnaissance des formes 44 6.1 Les primitives de reconnaissance des formes 44 6.2 Exemples élémentaires 44 6.3 Les fonctions-tests 45 6.4 Fonctions-tests et fonctions pures 48 6.5 Les formes 49 7. Les fichiers de commandes 54 7.1 Généralités sur les packages 54 7.2 Charger un fichier de commandes 54 7.3 Ecrire un package 55 II. Initiation à la programmation 56 1. Les instructions conditionnelles 56 1.1 Le test If 56 1.2 La primitive Which 57 1.3 La primitive Switch 57 1.4 Les règles de réécriture 58 2. Les boucles 59 2.1 Les boucles en programmation procédurale 59 2.2 Les boucles dans le pur style Mathematica 62 3. Les différents styles de programmation 64 3.1 En quoi consiste la programmation 64 3.2 La programmation procédurale 64 3.3 La programmation par reconnaissance de formes 65 3.4 La programmation fonctionnelle 66 3.5 La programmation par règles de réécriture 67 4. Conseils de programmation 68 4.1 Maîtriser la syntaxe 68 4.2 Choisir des identificateurs explicites 69 4.3 Diviser le programme en fonctions élémentaires 69 4.4 Eviter la programmation procédurale 69 4.5 Purger la mémoire fréquemment 70 4.6 Exploiter messages d'erreur et avertissements 70 4.7 Utiliser l'aide du menu Help 70 4.8 Compléments 71 III. Mathematica en action 72 1. Exemple en arithmétique 72 1.1 Résolution en calcul formel 72 1.2 Solution arithmétique : neurones en action 73 2. Rang d'une famille de fonctions itérées 74 2.1 Résolution pas à pas 74 2.2 Généralisation 75 3. Résolution d'une équation intégrale 76 3.1 Analyse: recherche des solutions possibles 76 3.2 Vérification 78 4. Exemple en géométrie: recherche d'un ensemble de points 78 4.1 Solution Mathematica 78 4.2 Solution théorique 80 IV. Exercices 81 CHAPITRE 2: ARITHMETIQUE 1. Les fonctions du système 134 1. Division euclidienne, pgcd, ppcm 134 2. Décomposition d'un entier en facteurs premiers 134 3. Nombres premiers 135 II. Divisibilité et nombres premiers 136 1. Division euclidienne 136 I.1 Algorithme de la division euclidienne par soustractions 136 1.2 Programmation fonctionnelle 136 1.3 Programmation récursive 139 2. Diviseurs d'un entier 141 2.1 Recherche des diviseurs d'un entier 141 2.2 Nombre de diviseurs d'un entier 142 2.3 Nombres parfaits, amiables et nombres d'Euclide 143 3. PGCD et PPCM d'entiers naturels 146 3.1 Algorithme d'Euclide 146 3.2 Calcul du pgcd d'une liste entiers naturels 148 3.3 Algorithme d'Euclide étendu 149 3.4 La fonction indicateur d'Euler et la fonction de Môbius 151 4. Applications 154 4.1 Nombres dont le pgcd et le ppcm sont donnés 154 4.2 Entiers dont le pgcd et la somme des carrés sont fixés 156 4.3 Entiers dont le ppcm et la somme des carrés sont fixés 157 4.4 Equation diophantienne du type ax + b y =c 158 5. Les nombres premiers 160 5.1 Le crible d'Erathostène 160 5.2 Algorithme de Meissel-Lehmer 163 6. Les nombres de Fermat 164 6.1 Présentation des nombres de Fermat 164 6.2 Primalité des nombres de Fermat 165 6.3 Limites de la décomposition en facteurs premiers 166 6.4 Remarques 166 6.5 Le test de Pépin 167 6.6 Nombre de chiffres des nombres de Fermat 168 6.7 Conclusion 169 6.8 Questions d'arithmétique sur les nombres de Fermat 169 7. Les nombres de Mersenne 170 7.1 Présentation des nombres de Mersenne 170 7.2 Diviseurs des nombres de Mersenne 170 7.3 Le test de primalité de Lucas 171 7.4 Une alternative: le petit théorème de Fermat 173 7.5 Les nombres pseudo-premiers 175 8. Méthodes de factorisation des grands entiers 176 8.1 La factorisation p de Pollard 176 8.2 Algorithme de Dixon 179 III. Arithmétique modulaire 184 1. L'anneau Z / n Z 184 1.1 La relation de congruence dans Z 184 1.2 Exemples de congruences 184 2. Eléments inversibles de l'anneau Z / n Z 189 2.1 Définition du groupe des unités 189 2.2 Détermination des unités 189 2.3 Théorème d'Euler et petit théorème de Fermat 190 3. Le théorème des restes chinois 191 3.1 Exemple 192 3.2 Programmation par passage au crible 192 3.3 Le théorème des restes chinois version algébrique 193 3.4 Enoncé du théorème 193 3.5 Algorithme de résolution 194 3.6 Le programme 194 3.7 Le théorème des restes chinois version Mathematica 195 4. Application à la cryptographie 195 4.1 Le codage RSA 195 4.2 Théorie arithmétique 196 4.3 La programmation 196 4.4 Authentification des auteurs de messages 197 IV. Etude des résidus quadratiques 198 1. Symbole de Legendre et de Jacobi 198 1.1 Résidus quadratiques 198 1.2 Définition du symbole de Legendre 199 1.3 Formule d'Euler 199 1.4 Symbole de Jacobi 200 2. Loi de réciprocité quadratique 201 2.1 Enoncé de la loi 201 2.2 Vérification expérimentale 201 3. Racines primitives de l'unité 202 3.1 Notion de racine primitive 202 3.2 Recherche des racines primitives 203 4. Test probabiliste de Soloway Strassen 204 4.1 Résultats théoriques 204 4.2 Témoins de non primalité 204 4.3 Nombres probablement premiers 20S S. Test de Miller-Rabin 206 5.1 Témoins de Miller 207 S.2 Nombres premiers probables 207 V. Les entiers de Gauss 208 1. L'anneau euclidien des entiers de Gauss 208 1.1 Définition d'un anneau euclidien 208 1.2 Anneau des entiers de Gauss 208 1.3 Calcul de pgcd d'entiers de Gauss 209 1.4 Décomposition en facteurs irréductibles 210 I.S Décomposition en facteurs irréductibles sous Mathematica 211 2. Décomposition d'un entier en somme de deux carrés 213 2.1 Généralités 213 2.2 Cas d'un nombre premier congru à 1 modulo 4 214 2.3 Cas d'un entier naturel quelconque 216 2.4 Un autre algorithme de décomposition d'un nombre premier 218 VI. Exercices 221 CHAPITRE 3: ANNEXES 1. Notions avancées 280 1. Définition d'une fonction à options 280 2. Définition d'une fonction avec variables optionnelles 281 2.1 Sélection dans une liste 281 2.2 Sélection dans une liste d'une sous-liste de longueur donnée 282 2.3 Sélection avec argument optionnel 283 3. Définition d'un fichier de commandes 284 3.1 Généralités 284 3.2 Ecriture d'un package de fonctions 284 3.3 Appel et utilisation du package 285 II. Thèmes d'étude 287 1. Problème du monnayeur, le système monétaire européen 287 1.1 Thème 287 1.2 Enoncé 287 1.3 Solution Mathematica 289 2. Le Mastermind 293 2.1 Parties de Mastermind 293 2.2 Règles 293 2.3 Mathematica codeur 293 2.4 Mathematica décodeur 297 2.5 Mathematica joue seul 299 2.6 Parties longues, parties courtes 304 2.7 Parties bien jouées, parties mal jouées 305 2.8 Questions proposées 307 3. Le critère de Lucas 307 3.1 Enoncé du problème (ENS) 307 3.2 Corrigé détaillé 309 III. Compléments d'algèbre 316 1. Structure de groupe 316 1.1 Notion de groupe, sous-groupe d'un groupe 316 1.2 Morphisme de groupes, noyau et image 316 1.3 Groupe fini, ordre d'un élément 316 1.4 Groupe cyclique 317 1.5 Le groupe symétrique d'ordre n 317 2. Structure d'anneau 317 2.1 Notion d'anneau 317 2.2 Groupe des éléments inversibles d'un anneau 318 2.3 Sous-anneau, idéal d'un anneau 318 2.4 Formule du binôme de Newton 318 2.5 Anneau intègre et anneau principal 318 2.6 PGCD et relation de Bézout dans un anneau principal 319 3. Structure de corps 319 3.1 Définition d'un corps 319 3.2 Caractéristique d'un corps 319 3.3 Propriétés 319 Bibliographie 321 Index 323