Mathematica théorie et pratique
Applications en algèbre Cours et exercices

Sommaire et contenu du livre "Mathematica théorie et pratique - Applications en algèbre Cours et exercices"

Table des matières CHAPITRE 1: ALGEBRE 1. Calculs algébriques et trigonométriques 12 1. Les primitives du système 12 1.1 Syntaxe des fonctions de base12 , 1.2 Calculs dans le corps des complexes 12 1.3 Exemples 13 2. Résolution d'équations, élimination, identification 16 2.1 Syntaxe des fonctions de base 16 2.2 Exemples élémentaires 16 2.3 Résolution d'équations dans le corps des réels 19 II. Polynômes et fractions rationnelles 21 1. Les primitives de base 21 1.1 Primitives structurelles 21 1.2 Primitives fonctionnelles 22 1.3 Cas des fractions rationnelles 22 2. Etude des polynômes 22 . 2.1 Division euclidienne, pgcd 22 2.2 Racines d'un polynôme .. 24 2.3 Fonctions symétriques des racines d'un polynôme 27 2.4 Algorithme de Homer 28 2.5 Nombres algébriques 29 3. Etude des fractions rationnelles 31 3.1 Décomposition en éléments simples: cas usuels 31 3.2 Les limites de la primitive Apart 31 3.3 Applications 33 III. Structures algébriques infinies 37 1. Un package de fonctions-tests 37 1.1 Associativité et commutatitivité 37 1.2 Recherche d'un élément neutre 38 1.3 Etude des éléments symétrisables 38 1.4 Distributivité d'une loi par rapport à une autre 39 2. Structures algébriques usuelles 39 2.1 Structure de groupe 39 2.2 Structure d'anneau 40 2.3 Structure de corps commutatif 40 2.4 Calculs dans un anneau ou un corps 41 3. Les diverses notations des opérateurs 42 3.1 Généralités 42 3.2 Exemple: conjugaison dans C 42 3.3 Notations préfixées et infixées des opérateurs usuels 43 3.4 Remarques 43 IV. Structures algébriques finies 44 1. Sous-ensembles d'un ensemble fini 44 1.1 Première méthode 44 1.2 Définition récursive 45 1.3 Algorithme binaire 46 1.4 Version fonctionnelle 47 2. Relations binaires 47 2.1 Matrice d'une relation binaire 48 2.2 Caractères d'une relation binaire 48 2.3 Relations d'équivalence 50 2.4 . Partitions d'un entier naturel 52 3. Permutations d'un ensemble fini 54 3.1 Construction des permutations 55 3.2 Opérations sur les permutations 56 3.3 Permutations remarquables 57 3.4 Orbites associées à une permutation 59 3.5 Décomposition en cycles 60 3.6 Signature d'une permutation, permutations paires ou impaires 60 3.7 Ordre d'un élément du groupe symétrique Sn 61 4. Etude des groupes finis 63 4.1 Loi de composition interne 63 4.2 Loi de composition commutative 64 4.3 Loi de composition associative 64 4.4 Recherche d'un élément neutre 64 4.5 Etude des éléments symétrisables 65 4.6 Groupe et groupe abélien 65 4.7 Exemples de groupes finis 69 5. Exemples de calculs dans des corps finis 73 5.1 Corps de décomposition du polynôme x2 + 1 dans z.. /7 z.. 73 5.2 Polynômes irréductibles de degré 2 sur z.. / pz.., p premier 76 5.3 Nombre de polynômes irréductibles sur le corps IF p 77 v. Bases de la programmation fonctionnelle 79 1. Les attributs des fonctions 79 1.1 La notion d'attribut 79 1.2 Définir ou supprimer des attributs 79 1.3 Les attributs des primitives du système 79 1.4 Définition de fonctions avec des attributs 80 2. Propriétés de la fonction logarithme en calcul formel 84 2.1 Retour à PowerExpand et la fonction Log 84 2.2 Programmer les propriétés de la fonction Log 85 3. Linéarisation en trigonométrie 86 3.1 Propriétés à programmer 86 3.2 Programmation pour la fonction cosinus 87 3.3 Programmation pour les fonctions cosinus et sinus 88 3.4 Application 90 3.5 Conclusion 90 4. Calcul de puissances dans un monoïde associatif 90 4.1 Algorithme élémentaire 91 4.2 Algorithme par division . 92 4.3 Algorithme dichotomique 94 4.4 La méthode de Legendre 95 VI. Exercices 98 CHAPITRE 2: ALGEBRE LINEAIRE 1. Etude des matrices 148 1. Les fonctions du système 148 1.1 Le type matrice 148 1.2 Constructions et écriture de matrices 148 1.3 Opérations sur les matrices 149 2. Noyau et rang d'un è matrice 150 2.1 La primitive NullSpace 150 2.2 Première définition du rang d'une matrice 150 2.3 Exemples 151 3. Image et rang d'une matrice 152 3.1 La primitive Eliminate 152 3.2 La primitive RowReduce 153 3.3 Autre définition du rang 153 4. Applications 153 4.1 CNS pour que Ker f et lm f soient supplémentaires 153 4.2 Indice d'une application linéaire 155 5. Opérations sur les matrices 157 5.1 Exemple fondamental 157 5.2 Exemples de calculs de puissances 160 5.3 Application à la résolution d'un système différentiel linéaire 161 II. Introduction aux déterminants 163 1. Formes n-linéaires alternées 163 1.1 Déterminants d'ordre 2 163 1.2 Cas des déterminants d'ordre 3 164 1.3 Formes n-linéaires alternées 165 1.4 Produit vectoriel 167 2. Déterminants et inversion de matrices 168 2.1 Matrices de taille déterminée 168 2.2 Matrices de taille variable 169 III. Réduction des matrices 172 1. Les fonctions du système 172 2. Diagonalisation d'une matrice carrée 172 2.1 Exemple 172 2.2 Ecriture d'une fonction-test 173 2.3 Applications 174 3.-Trigonalisation d'une matrice carrée 177 3.1 La primitive JordanDecomposition 177 3.2 Trigonaliser une matrice non diagonalisable 177 4. Applications de la réduction des matrices 179 4.1 Commutant d'une matrice 179 4.2 Racines carrées d'une matrice diagonalisable 180 4.3 Suites récurrentes linéaires 181 5. Sous-espaces caractéristiques 183 5.1 Théorie des sous-espaces caractéristiques 183 5.2 Application à la réduction des matrices 183 5.3 Etude des sous-espaces caractéristiques avec Mathematica 184 6. Etude de matrices blocs 187 6.1 Définition de matrices blocs 187 6.2 Exemples 187 6.3 Applications 188 IV. Algorithmes 193 1. Polynôme caractéristique 193 1.1 Algorithme de Souriau 193 1.2 Calcul du polynôme caractéristique 195 1.3 Inversion d'une matrice carrée 196 1.4 Théorème de Cayley-Hamilton 196 2. Polynôme minimal d'une matrice carrée 197 2.1 Notion de polynôme minimal 197 2.2 Application au calcul de puissances matricielles 199 2.3 Autre méthode de calcul du polynôme minimal 200 V. Exercices 203 CHAPITRE 3: ALGEBRE BILINEAIRE 1. Formes bilinéaires symétriques 252 1. Forme bilinéaire symétrique et forme quadratique 252 1.1 Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique 252 1.2 Forme polaire d'une forme quadratique 252 1.3 Fonction-test sur les formes quadratiques 253 2. Matrice d'une forme quadratique 253 2.1 Généralités 253 2.2 Construction de la matrice d'une forme quadratique 254 2.3 Application 256 3. Réduction d'une forme quadratique 257 3.1 Réduction d'une forme quadratique par la méthode de Gauss 257 3.2 Réduction d'une forme quadratique dans le groupe orthogonal 263 3.3 Application à une étude d'extrema 266 II. Matrices définies positives 268 1. Signature d'une forme quadratique 268 1.1 Loi d'inertie de Sylvester 268 1.2 La signature avec la réduction de Gauss 268 1.3 La signature avec les vecteurs propres 270 1.4 Les pièges du calcul formel 270 2. Matrice définie positive 274 2.1 Une fonction-test 274 2.2 Algorithme 274 2.3 Utilisation des mineurs principaux 277 2.4 Matrices hermitiennes définies positives 278 3. Racine carrée d'une matrice définie positive 278 3.1 Existence et unicité de la racine carrée 278 3.2 Programmation 279 3.3 Les limites de Mathematica 279 3.4 Algorithme itératif de Héron 280 4. Factorisation de Cholesky 281 4.1 Description de l'algorithme 281 4.2 Programmation par règles 281 4.3 Programmation procédurale 282 5. Décomposition de Cartan 283 5.1 Méthode 283 5.2 Le programme 283 5.3 Exemples 283 6. Compléments sur le polymorphisme des opérateurs 284 6.1 Mathematica langage typé et non typé 284 6.2 Exemple: une fonction racine carrée polymorphe 285 III. Endomorphismes remarquables 287 1. Projecteurs orthogonaux 287 1.1 Caractérisation 287 1.2 Définition d'un projecteur orthogonal en calcul formel 287 1.3 Projecteur orthogonal sur une droite vectorielle 287 1.4 Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie 288 1.5 Orthogonalisation d'une famille libre de vecteurs 291 2. Rotations vectorielles 293 2.1 Caractérisation 293 2.2 Définition en calcul formel 293 2.3 Axe et angle en dimension 3 293 2.4 Matrice d'une rotation d'axe et d'angle donnés 294 2.5 Exercice 295 3. Isométries vectorielles négatives 296 3.1 Caractérisation 296 3.2 Définition en calcul formel 296 3.3 Exemple 296 4. Symétries vectorielles orthogonales 297 4.1 Caractérisation 297 4.2 Définition en calcul formel 297 4.3 Cas particulier des réflexions 297 4.4 Lien avec les projecteurs orthogonaux 298 IV. Exercices 299 CHAPITRE 4: ANNEXES 1. Fichiers de commandes 1. Fichier de commandes d'algèbre linéaire 328 1.1 Règles d'écriture d'un package 328 1.2 Contenu du package 328 1.3 Ecriture du package d'algèbre linéaire 329 1.4 Appel et utilisation du package 330 2. Fichier de commandes d'algebre bilinéaire 330 2.1 Composition du fichier 330 2.2 Ecriture du package 331 2.3 Utilisation du package 332 2.4 Remarque importante 332 II. Thèmes d'étude 333 1. Les polynômes en calcul formel 333 1.1 Suites de Sturm 333 1.2 Résultant de deux polynômes 338 2. Matrices à coefficients dans un anneau euclidien 342 2.1 Objectifs 342 2.2 Propriétés préliminaires 342 2.3 Définition des facteurs invariants 343 2.4 Définition des invariants fondamentaux 345 2.5 Les invariants de similitude 345 2.6 Etude avec Mathematica 346 3. Polynômes irréductibles sur un corps fini 353 3.1 Enoncé du problème 353 3.2 Corrigé 356 III. Compléments d'algèbre 364 1. Structure d'algèbre 364 2. Réduction des endomorphismes en dimension finie 364 2.1 Endomorphismes diagonalisables 364 2.2 Endomorphismes trigonalisables 365 2.3 Théorème de Cayley-Hamilton 365 2.4 Sous-espaces caractéristiques 366 3. Bases orthogonales pour une forme quadratique 366 4. Signature d'une forme quadratique 366 5. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie 366 5.1 Projection orthogonale et distance à un sous-espace 366 5.2 Cas particuliers 367 6. Endomorphismes orthogonaux 367 6.1 Caractérisation des endomorphismes orthogonaux 367 6.2 Groupe orthogonal 367 7. Réduction des endomorphismes symétriques 368 7.1 Caractérisation d'un endomorphisme symétrique 368 7.2 Réduction d'un endomorphisme symétrique 368 7.3 Application aux matrices symétriques réelles 368 Bibliographie 369 Index 371