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Ce volume regroupe douze des Leçons de Mathématiques d'Aujourd'hui données à Bordeaux depuis 1993 par des experts de renommée internationale dans le but de constituer un panorama largement accessible des mathématiques contemporaines.Il s'adresse à tous ceux, mathématiciens, physiciens, ingénieurs, professeurs, étudiants, qui sont intéressés par la recherche en [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Leçons de mathématiques d'aujourd'hui - Volume 1"
Ce volume regroupe douze des Leçons de Mathématiques d'Aujourd'hui données à Bordeaux depuis 1993 par des experts de renommée internationale dans le but de constituer un panorama largement accessible des mathématiques contemporaines.
Il s'adresse à tous ceux, mathématiciens, physiciens, ingénieurs, professeurs, étudiants, qui sont intéressés par la recherche en mathématiques et curieux d'en avoir une vue de l'intérieur.
Auteurs :
Les douze auteurs sont tous des mathématiciens (français, russes, anglais...) de réputation internationale, extrêmement connues pour certains, ce qui peut expliquer le succès inattendu de cet ouvrage.
Sommaire
Sommaire et contenu du livre "Leçons de mathématiques d'aujourd'hui - Volume 1"
Préface xlii
Auteurs et rédacteurs xv
Leçon 1. Jean-Pierre Kahane. Le théorème de Pythagore, l'analyse multifractale et le mouvement brownien 1
Pythagoreetsonthéorème Un autre aspect de la courbe de P61ya . Il
........... 1
La courbe de P6lya, et l'analyse multifractale . 5
Le mouvement brownien 13
Discussion . . 18
Bibliographie 25
Leçon 2. Pierre Cartier. l!intégrale de chemins de Feynman :
d'une vue intuitive à un cadre rigoureux 27
Première partie: les intégrales de Daniell et de Wiener . La mesure et l'intégrand, ou le mathématicien et le
27
L'intégrale de Daniell . . 27
Les chaînes de Markov. 31
L'intégrale de Wiener. . 33
La notation de Feynman 37
Seconde partie: l'intégrale de Feynman. 40
L'équation de la chaleur et l'intégrale de Wiener. 41
La formule de Feynman-Kac 42
mécanicien 46
L'intégrale de chemins de Feynman 47
Un cadre axiomatique 52
Discussion . . 56
Bibliographie 57
Leçon 3. Vladimir 1. Arnold. Nombres d'Euler, de Bernoulli et
de Springer pour les groupes de Coxeter et les espaces de
morsification
: le calcul des serpents 59
Première partie: la suite classique d'Euler-Bernoulli 59
Le triangle d'Euler-Bernoulli 59
Table des matières
Le calcul des serpents 62
Morsification 66
Seconde partie: les nombres d'Euler-Bernoulli des groupes
deCoxeter ......... 74
LesgroupesdeCoxeter. ............... 74
LesnombresdeSpringer. .............. 77
Comment mettre les serpents dans les chambres 82
Le cas des autres groupes de Coxeter 87
Discussion . . 93
Bibliographie 95
Leçon 4. Don Zagier. Quelques conséquences surprenantes de la
cohomologie de SLz (l:) 97
Premier exemple: valeurs de «(2n) ..... 98
Deuxième exemple: fonction cotangente. 100
Troisième exemple: fonctions thêta 101
Le groupe SL2(l:) et sa cohomologie 102
Les « relations de périodes» . . . 104
Formesmodulaires .......... 106
Périodes des formes modulaires . . 108
La fonction CT (X, Y;T) et les périodes 111
Fonctions zêta doubles. . . . . . . . . 113
Les périodes des formes modulaires de Maass 117
Autres applications 118
Bibliographie 120
Leçon 5. Haïm Brézis. Tourbillons de Ginzburg-Landau, énergie
renormalisée et effets de quantification 123
Unproblèmeimpossible. .................. 123
L'énergie de Ginzburg-Landau et la question de Matano 127
Unanaloguetridimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . 129
Retour à la dimension 2
: conversation avec un physicien 132
Solution du « problèmeimpossible». . . . . . . . . . . . . 134
Première méthode de renormalisation 134
Autres méthodes de renormalisation
: comment elles
s'éclairent mutuellement 136
Un phénomène de quantification 138
Discussion . . 139
Bibliographie 140
Leçon 6. Bernanl Malgrange. Monodromie, phase stationnaire et
polynôme de Bernstein-Sato 143
IntroductionLa définition de la monodromie. Le théorème de mono............ 143
Le polynôme de Bernstein-Sato 143
Monodromie............ 149
Premier ingrédient: homologie singulière 150
Deuxième ingrédient: la construction de Milnor 154
dromie ....................... 156
« Idée» de la démonstration. Connexion de Gauss-Manin 160
Questions 165
Bibliographie 166
Leçon 7. John Coates. Courbes elliptiques 169
Les nombres congruents . 169
Courbeselliptiques ............. 172
Quelques séries formelles . . . . . . . . . 175
Cohomologie de la courbe elliptique ED 176
Arithmétique des courbes elliptiques . . 179
Le carré symétrique d'une courbe elliptique 181
Les fonctions L 185
Bibliographie 188
Leçon 8. Yves Meyer. Approximation par ondelettes et approximation non-linéaire 191
Définition des espaces de Besov. Analyse de Littlewood-
Un problème d'actualité: la schématisation d'une image par
Motivation ............. 191
Compression/restauration 191
Débruitage.......... 192
Exemple historique en dimension 1 193
LepointdevuedePeller....... 195
Signification du théorème de Peller 196
Paley ..................... 196
Lecontextedeladimension2.
. . . . . . . . . . . . . . . . .. 200
La généralisation du théorème de Peller par De Vore . . . .. 203
un petit nombre de contours (Mumford-Shah, Blake....) 209
Le théorème de Peller en dimension n. ......... 211
Les cadres L2 et LP 212
Théorème de Yuri Netrusov pour l'algèbre des bosses 214
Table des matières
Définition de l'espace BMü (Bounded mean oscillation) 214
Définition de l'algèbre des bosses . 214
Le débruitage optimal de David Donoho 216
Discussion . . 217
Appendice .................. 218
Bibliographie 219
Leçon 9. Henry Helson. Et les séries de Fourier devinrent Analyse
harmonique 221
De Fréchet à Hartman. . . . . . 221
De Beurling à Kahane. . . . . . 224
Angle entre le passé et le futur 231
Bibliographie 233
Leçon 10. Yves Colin de Verdière. Réseaux électriques planaires 235
Preuve de l'existence de chemins entre un graphe et un
Preuve que la réponse impose la classe d'équivalence
Introduction.....:............... 235
Première partie. Réseaux électriques généraux. 236
Notations et définitions ' . . . . . 236
Réponse du réseau électrique. . . . 238
Propriétés spéciales de la matrice L 239
Deuxième partie. Réseaux planaires . . . 242
Les réseaux planaires et leurs réponses 242
Le problème inverse, le problème de l'équivalence 246
Transformations électriques élémentaires ..... 247
Troisième partie. Grandes lignes de la preuve du théorème 2 251
La stratégie......................... .. 251
Legraphemédial ..................... .. 255
grapheminimal .................. .. 258
combinatoire . . . . . 264
Graphes médiaux électriques 268
L'injectivité de <1>r l 270
Discussion . . 272
Bibliographie 274
Leçon Il. Frédéric Pham. Caustiques: aspects géométriques
et ondulatoires 275
Introduction. . . . . . 275
Premier exemple 275
Deuxièmeexemple . . . . . . . .
Première partie: aspect géométrique
Troisième exemple .
Quatrième exemple .
Enveloppes et généricité ..
Caustiques et catastrophes
Seconde partie: aspect ondulatoire
Le principe de Huygens-Fresnel
La géométrie et l'onde exacte
Résurgence.
Discussion . .
Bibliographie ..
Leçon 12. Pierre-Louis Uons. Problèmes mathématiques de la mécanique des fluides compressibles
Introduction, modèles, historique
Introduction
Modèles '
Historique .
Remarques.
Euler .
De Leonhard Euler à Peter La:x
Résultats pour N = 1.
Compacité par compensation.
Formulation cinétique Et les dimensions 2, 3, Équations de Navier-Stokes Généralités ..... Perte de régularité Existence globale Compacité .... Résumé et conclusion Questions .. Bibliographie .....
. ? Spéculations
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