Leçons de mathématiques d'aujourd'hui Vol 4

Sommaire et contenu du livre "Leçons de mathématiques d'aujourd'hui Vol 4"

Préface vii Auteurs et rédacteurs xv Leçon 1. Michèle Audin. Systèmes hamiltoniens intégrables 1 Les équations d'Euler-Poisson (équations du mouve- Comment montrer qu'un système hamiltonien est ou n'est Motivation: Euler, Lagrange, Kowalevski, le solide et l'at- Introduction: l'exemple de la toupie 1 Rotation,précession,nutation . . . . . . . . . . . . . . 1 mentdusolide) . . . . . . 4 Une courbe elliptique 6 Systèmes hamiltoniens, intégrabilité '' 9 Définitjon d'un système hamiltonien 9 Définition d'un système hamiltonien intégrable . 11 Exemples. ...... 12 LethéorèmedeLiouville................ 14 Énoncégéométrique ............... 14 Version algébrique du théorème de Liouville. 16 pasintégrable? ...................... .. 19 . tjtude d'unsatellite................ .. 20 La théorie de Galois et le théorème de Morales-Ramis. 22 Application: non-intégrabilité de l'attitude d'un satellite 26 Questions .. 31 Bibliographie 31 Leçon 2. Alain Gulchardet. La méthode des orbites: historique, principes, résultats 33 Introduction . . . . . 33 Petite chronologie . 38 Quelques généralités 41 Orbites coadjointes et représentations Tf(T) 41 Caractères des représentations Tf(T) .... 42 Cas des groupes nilpotents . . 45 Cas des groupes résolubles . . 46 Cas des groupes semi-simples compacts 47 Cas des groupes semi-simples non compacts 49 Exemples. ..................... 49 Exemple 1 : groupe de Heisenberg (nilpotent, simple­ment connexe) 50 Exemple 2 : groupe euclidien du plan (résoluble) 51 Exemple 3 : groupe SU(2) (simple, compact, simplement connexe) .......... 53 Exemple 4 :groupe G =SL(2,~) . 54 Bibliographie 57 Leçon 3. Philippe Diane. Matrices aléatoires : propriétés spec­trales et convolution libre 61 Introduction: spectre probable d'une somme de grandes ma­triceshermitiennes.............. 61 Des algèbres de von Neumann au produit libre 65 Algèbres de von Neumann et facteurs . . . . . . . . . 65 Algèbre de von Neumann d'un groupe dénombrable 67 Algèbre de von Neumann d'un produit libre de groupes 68 Probabilités libres. . . . . . . . 71 Trace et espérance 71 Familles d'algèbres libres 72 Convolution libre et transformée de Fourier libre 73 Théorème limite central libre . . . . . . . . . . 75 Liberté asymptotique des matrices aléatoires. 77 La combinatoire de la liberté 79 Questions .. 81 Bibliographie 82 Leçon 4. André Galligo. Factorisation absolue de polynômes à plusieurs variables 85 Introduction........................ 85 Stratégie pour une factorisation 86 Se ramener de plusieurs variables à 1ou 2 variables. 89 Factorisation absolue des polynômes à 2 variables 91 Bibliographie 102 Leçon 5. Ilia Itenberg. Géométrie tropicale et dénombrement de courbes 107 Convergence d'amibes complexes vers des amibes non archi- Introduction............ 107 Amibes de variétés algébriques . 107 Amibes complexes . . . . . 107 Amibes non archimédiennes III médiennes . 115 Variétés tropicales ... 116 Le monde tropical 116 Dualité et pondération . 117 Éléments de géométrie tropicale 119 Applications à la géométrie énumérative 121 Géométrie énumérative complexe 121 Géométrie énumérative réelle 122 Bibliographie 124 Leçon 6. Jean-Éric Pin. Automates réversibles: combinatoire, algèbre et topologie 127 Lesautomates. ........... 128 Mots, langages et automates 128 Automates déterministes 129 Langages rationnels ..... 131 L'approche algébrique . . . . . . . 132 Automates déterministes et monoïdes de transition 132 Reconnaissance par morphisme 134 Monoïde syntactique. . 136 Automates réversibles . . . . . . . . . 138 Définition et exemples. . . . . . 138 Une première description des langages réversibles 140 Une première condition nécessaire 143 Le groupe libre o.................. 143 Définition o.................. 143 Automates réversibles dans le groupe libre 144 Sous-groupes rationnels du groupe libre 145 Parties réversibles du groupe libre 148 Retour au monoïde libre. 149 Topologie pro-groupe . . . . . . . . . . 150 Caractérisation algébrique 155 Synthèse des résultats . . . 159 Pour aller plus loin . 161 Sur la topologie du groupe libre. 161 Problèmes ouverts 162 Bibliographie . 165 Leçon 7. Bruno Courcelle. Structuration des graphes et logique 167 Extension aux graphes de la théorie des langages formels. 167 Grammaires . 168 Automates ...................... 170 Transductions .................... 171 Composition de graphes, largeur arborescente. 172 Grammairesdegraphes .............. 177 Algorithmes polynomiaux pour des problèmes NP-complets 179 Algorithmes polynomiaux; problèmes NP et NP-complets 179 Problèmes restreints à des graphes de largeur arbores­cente bornée; exemple du 3-coloriage 181 Logique du second ordre monadique . . . . . . . . . .. 183 Configurations interdites et théorie des mineurs de graphes. 189 Décidabilité de la logique du second ordre monadique . 192 Conclusion. . 193 Bibliographie 193 Leçon 8. David Ruelle. La théorie ergodique des systèmes dyna­miques d'Anosov 195 Systèmes de spins sur un réseau 196 Premières définitions . . . . 196 Notions ergodiques. . . . . 199 Mesure d'équilibre et mesure de Gibbs 201 Théorème DLR 203 Réseau à une dimension . . . 204 Commentaires et références. 207 Dynamique hyperbolique . . . . . 208 Ensemble hyperbolique, variétés stable et instable 208 Difféomorphismes d'Anosov et axiome A 210 Commentaires et références. 213 Dynamiquesymbolique. . . . . . . . . . . . . 213 Partition de Markov ... 215 Représentation symbolique 217 Mesure de Gibbs et mesure SRB 220 Commentaires et références. . . 221 Opérateurs de transfert . 222 Outils pour le formalisme thermodynamique 222 Références 224 Questions .. 224 Bibliographie . 225 Leçon 9. François Laudenbach. De la transversalité de Thom au h-principe de Gromov 227 LatransversalitédeSardà Thom . . . . . . . . . 227 La transversalité sous contrainte ~ c COO(M, N) 234 Leh-principedeGromov ............. 241 Le théorème d'approximation d'Eliashberg-Mishachev 247 Le retournement de la sphère. 251 Bibliographie 257 Leçon 10. Patrick Dehornoy. Le problème d'isotopie des tresses 259 Une solution au problème d'isotopie des tresses. 259 Leproblème .............. 260 À quoi bon résoudre ce problème? . 262 Une première remarque . . . . . . . 264 Desinvariants naïfs. . . . . . . . . . 264 Première étape: introduire une structure de groupe 267 Deuxième étape: trouver une présentation. 269 Troisième étape: passer au monoïde ..... 272 Quatrième étape: introduire la tresse t:.. n ... 273 Cinquième étape: utiliser le théorème de Ore 275 Des solutions au problème d'isotopie des tresses 277 La représentation d'Artin .. 277 Les représentations linéaires . 280 La forme normale gloutonne . 283 Le retournement de sous-mot 286 La réduction des poignées. . . 289 Les coordonnées de Dynnikov 291 La forme normale de Fromentin 296 Conclusion............ 299 Bibliographie 299 Leçon Il. CédÂcVillanl. Transport optimal 301 Les débuts du transport optimal 301 Monge 301 Kantorovich .......... 304 La redécouverte des années 1980 . 307 Brenier 308 Cullen.............. 312 Mather ............. 314 Un théorème typique de la théorie. 316 Le transport optimal pour démontrer des inégalités 318 Une inégalité isopérimétrique 318 D'autres inégalités 320 Le transport optimal et la courbure de Ricci 321 Philosophie 321 PourquoiRicci? .............. 322 rapproche par la formule de Bochner. 325 rapproche par le transport optimal 326 Pourquoi faire cela? .... 329 Quoi de neuf depuis la leçon? . 337 Bibliographie 338 Leçon 12. Étienne Ghys. Géodésiques sur les surfaces à courbure négative 339 Hadamard et Poincaré: la découverte du chaos . 339 Morse et Thue : la combinatoire des mots infinis 345 Anosov et la stabilité structurelle . . . . . . . 348 Gromov et les groupes hyperboliques . . . . 350 Les réseaux dans le plan et le flot modulaire 351 Lorenzet sonpapillon . . . . . . . . . . . 358 Nœuds de Lorenz et nœuds modulaires. 361 Bibliographie 365