La construction des nombres

Sommaire et contenu du livre "La construction des nombres"

Table des matières CHAPITRE 1. UNE ACTIVITÉ FONDATRICE DES MATHÉMATIQUES: LA REPRÉSENTATION 13 1.1 Le défi majeur 13 1.2 La représentation: une activité fondamentale de l'être vivant 14 1.3 Le nombre en tant que représentation 17 lA Conséquences de la conception spatiale du nombre 21 Chapitre Il. LES NOMBRES NATURELS 27 Il.1 Aperçu historique 27 Il.2 Construction des entiers naturels par extension 33 Il.3 Premiers commentaires sur cette construction 33 lIA Quelques aspects fonctionnels et sémantiques du nombre naturel 34 11.5 Présence des moyennes pythagoriciennes 37 Il.6 Une classe de problèmes modernes issus de la sémantique géométrique des pythagoriciens 42 Il.7 Autour de la divisibilité 46 Chapitre III. LES NOMBRES ENTIERS 55 111.1 Faisons le point 55 III.2 Le poids du symbole dans la représentation 56 III.3 Construction des entiers par extension fonctionnelle 59 IlIA Construction des entiers par symétrie 60 I1I.5 Les entiers en tant que couples d'entiers naturels 62 I1I.6 Commentaire sur la démarche précédente: classer 63 I1I.7 Le statut des nombres entiers 65 111.8 Comparaison des procédés de construction 76 Chapitre IV. LES NOMBRES RATIONNELS 79 IV.1 Aperçu historique , 79 IV.2 Introduction à la notion de transfonnation : la multiplication et le point de vue dynamique 83 IV.3 Construction des rationnels par extension fonctionnelle et ensembliste 86 IVA Représentations numériques des rationnels 88 IV.5 Diviser. .. pour (essayer de) régner 90 Chapitre V. DES NOMBRES IRRATIONNELS À L'INFINI 95 V.1 Définitions numérique et algébrique des nombres irrationnels et réels 95 V.2 Aperçu historique 97 V.3 Les nombres et l'infinité mathématique 115 VA Un concept structurel: l'ordre 120 V.5 Quelques aspects de l'évolution des mathématiques 130 V.6 Retour à la géométrie 134 Chapitre VI. INTERMÈDE 137 Chapitre VII. LES NOMBRES COMPLEXES 141 VII.1 Premiers pas: les nombres étranges de Chuquet-Cardan 141 VII.2 L'extension de la multiplication et les logarithmes 144 VII.3 Le rôle joué par la prise en compte des objets en mouvement: la trigonométrie 145 VIlA Une controverse utile 150 VII.5 Quand les fruits finissent par mûrir 159 VII.6 Les nombres complexes de Chuquet-Cardan: le point de vue algébrique 165 VII.7 Les représentations géométriques des nombres complexes , 172 VII.8 Interprétations dynamiques des nombres réels et complexes 177 VII.9 Conclusion 184 Chapitre VIII. QUELQUES EXTENSIONS 187 VIII. 1 Généralités 187 VIII.2 La théorie de Galois et ses prolongements 189 VIII.3 Généralités sur les travaux de l'école anglaise 195 VIllA Hamilton et la structure des espaces vectoriels 196 VIII.5 Peut-on multiplier entre· eux deux vecteurs? Produit extérieur, produit vectoriel, produit scalaire, produit tensoriel: les apports de Grassmann 198 VIII.6 Les quaternions ou nombres de Hamilton 203 VIII.7 Les octonions 210 VIII.8 Les ensembles de nombres précédents en tant qu'algèbres 211 VIII.9 Les algèbres (des nombres) de Clifford 212 Chapitre lX. CONCLUSION: QU'EST-CE QU'UN NOMBRE ? 215 BIBLIOGRAPHIE SOMMAIRE 225 INDEX TERMINOLOGIQUE 231 INDEX DES NOMS PROPRES 233