Introduction à la théorie des groupes de Lie réels
Niveau M1 - M2.

Sommaire et contenu du livre "Introduction à la théorie des groupes de Lie réels - Niveau M1 - M2."

Table des matières 1 Généralités sur les groupes de Lie 1 1 Définitions.......... 2 2 Exemples de groupes de Lie ... 6 II Algèbre de Lie et représentation adjointe 21 1 L'algèbre de Lie des champs de vecteurs sur une variété . 21 2 Première forme de la définition de l'algèbre de Lie 24 3 Secondeformedeladéfinition . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Remarques........................ 26 5 Algèbres de Lie des sous-groupes de Lie et des groupes produit. 27 6 La représentation coadjointe . . . . . . . . . . . . . 29 7 Exemples d'algèbres de Lie . 30 8 Calcul formel en coordonnées dans un groupe de Lie . 34 9 Algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie d'un groupe. 38 III Formes différentielles de Maurer-Cartan 43 1 Définitiondesformesdroiteet gauche . . . . . . . . . . . . . . . 43 2 Parallélisations des fibrés tangent et cotangent d'un groupe de Lie 46 3 Différentielles droites et gauches . . . 47 4 Mesures de Haar sur un groupe de Lie . . . . . 50 IV L'application exponentielle d'un groupe de Lie 55 1 Sous-groupes à un paramètre et champs de vecteurs invariants 55 2 Définition de l'exponentielle . . . . . . . . . . . . 57 3 Application exponentielle d'un sous-groupe de Lie 59 4 Exemples d'applications exponentielles . 60 5 Formule de Taylor dans un groupe de Lie . 64 6 Différentielles droite et gauche et dérivées de Lie 65 7 Différentielles de la représentation adjointe ... 65 8 Différentielles droite et gauche de l'exponentielle 68 9 Coordonnées canoniques . . . . . . . . . 73 10 Formule de Campbell-Hausdorff-Dynkin ... 74 V Opération d'un groupe de Lie sur une variété 79 1 Généralités sur les opérations de groupes. . . . . . . . . . 79 2 Groupe de Lie opérant une variété, champs fondamentaux. 81 3 ActiondeGsurlesfonctions . . . . . . . . . . . . . . . 87 4 Interprétation cinématique . 88 5 Action d'un groupe de Lie sur une variété symplectique. 89 6 Fibrés principaux Q4 6.1. Construction d'un fibré principal par recolement de fibrés triviaux. 98 6.2. Construction d'un fibré principal à partir d'un cocycle . 99 6.3. Théorème d'existence de la structure de fibré principal. . 100 VI Homomorphismes et représentations 103 1 Homomorphismes de groupes de Lie . 103 2 Représentations linéaires . . . . . . . 106 3 Quelquesexemples . . . . . . . . . . 108 4 Représentations des groupes compacts: compléments . 114 VII Produits semi-directs 119 1 Produits semi-directs, aspects algébriques 119 2 Produit semi-direct de groupes de Lie 120 3 Exemples de produits semi-directs .... 122 VIII Espaces tangent et cotangent d'un groupe de Lie 125 1 Groupetangent d'ungroupede Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2 Second groupe tangent d'un groupe de Lie. . . . . . . . . . . . . 126 3 Structure symplectique de l'espace cotangent d'un groupe de Lie. 128 4 Systèmes hamiltoniens sur T*G 130 IX Relations entre sous-groupes et sous-algèbres de Lie 135 1 Introduction . . . . . . 135 2 Sous-groupes intégraux . . . . . 137 3 Sous-groupes fermés . . . . . . 140 4 Normalisateurs et centralisateurs 143 5 Groupe adjoint d'un groupe de Lie 145 6 Groupe des commutateurs d'un groupe de Lie connexe 146 7 Série dérivée et série centrale d'un groupe de Lie connexe. 148 8 Un critère de différentiabilité des homomorphismes 150 X Quotients, espaces homogènes 151 1 Structure différentielle d'un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2 Décomposition canonique des homomorphismes de groupes de Lie. 158 3 Structuredifférentielledesorbites . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4 Structure symplectique des orbites de la représentation coadjointe 162 5 Complément: structure de Poisson sur g* . . . . . . . . . . . . . 165 XI Le groupe de Poincaré d'un groupe de Lie connexe 167 1 Groupe de Poincaré d'un espace topologique, rappels 167 2 Commutativité du groupe de Poincaré d'un groupe de Lie. 169 3 Prolongement des homomorphismes locaux . . . . . . . . 172 XII Revêtements des groupes de Lie 177 1 Généralités sur les revêtements 177 2 CasdesgroupesdeLie . . . . . 181 XIII Groupe des automorphismes d'un groupe de Lie 189 1 Relation entre Aut(G) et Aut(G) . 189 2 Relations Aut(G) et Aut(g), structure de Aut(G) 190 3 Application aux produits semi-directs 191 4 Compléments ................... 194 XIV Connexions linéaires invariantes sur un groupe de Lie 195 1 Généralités sur la notion de connexion 195 2 Connexionscanoniques ................. 197 3 Connexions bi-invariantes . 202 4 Connexion de Levi-Civita associée à une structure riemanienne invariante 203 5 Structures pseudo-riemanniennes bi-invariantes 206 6 Théorème de H. Weyl . 209 XV Aperçu sur quelques types de groupes de Lie 211 1 Détermination des groupes de Lie commutatifs connexes 211 2 Groupes de Lie nilpotents et résolubles. 211 2.1. Groupes de Lie nilpotents . 212 2.2. Groupes de Lie résolubles . 216 2.3. Complément: radical d'un groupe de Lie 217 3 Groupes de Lie seITÙ-simples . . . . . . . . . . . 218 4 Groupes de Lie compacts: tores maximaux . . . 220 4.1. Tores maximaux d'un groupe de Lie compact. . 221 4.2. Théorème de conjugaison des tores maximaux 222 4.3. Centralisateur et normalisateur d'un tore .. 225 5 Groupes de Lie seITÙ-simples et groupes compacts . 228 XVI Géométrie différentielle des fibrés principaux 233 1 Champs de vecteurs fondamentaux d'un fibré principal 233 2 Connexions dans un fibré principal . . . . . . . . . . . 234 2.1. Champs de vecteurs horizontaux, relèvements . 236 2.2. Courbure d'une connexion principale 238 2.3. Expressions locales d'une connexion 239 3 Fibré des repères et connexions linéaires . 240 3.1. Dérivation covariante .... 243 3.2. Parallèlisme et géodésiques 248 XVII Note historique 249 1 La notion de groupe . 249 2 Sophus Lie . 250 2.1. La collaboration entre Lie et Klein . 251 2.2. L'influence des travaux de Jacobi . 252 2.3. Naissance de la théorie des groupes continus 254 3 Les travaux de Killing sur la classification des algèbres de Lie 257 4 Les travaux d'Elie Cartan sur les algèbres de Lie . 259 5 Autres travaux sur les algèbres de Lie . 260 6 Delathéorielocale àlathéorieglobale . . . . . . . . . . . . 261 7 Lie et les mathématiciens de Paris du début du XXème siècle 263 8 Travaux sur les fibrés principaux et physique. . . . . . . . . . 264 A Généralités sur les algèbres de Lie 265 1 Définitions....................... 265 2 Série centrale et série dérivée d'une algèbre de Lie . 269 3 Extension du corps des scalaires d'une algèbre de Lie 271 4 Formes réelles d'une algèbre de Lie complexe. . . . 273 5 Représentations linéaires d'algèbres de Lie ..... 274 6 Formes bilinéaires invariantes sur une algèbre de Lie, forme de Killing. 277 7 Algèbres de Lie semi-simples. . . . . 279 8 Représentations semi-simples. . . . . 283 9 Produit semi-direct d'algèbres de Lie. 283 10 Théorèmes de Levi-Maltsev et d' Ado 284 Il Algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie 285 B Généralités sur les groupes topologiques 287 Définitions.............. 287 1.1. Sous-groupes topologiques. . . . 288 1.2. Groupes quotients 289 2 Groupe topologique opérant continûment 290 3 Groupe localement compact opérant proprement. 291 4 Sous-groupes et groupes quotients du groupe ]Rn 294 4.1. Sous-groupes discrets de ]Rn 294 4.2. Sous-groupes fermés de]Rn . 296 4.3. Sous-groupes de zn ..... 297 4.4. Sous-groupes associés de]Rn . 299 4.5. Structure des groupes quotient de ]Rn et de '[n . 300 4.6. Image dans '[n d'un sous-espace vectoriel de ]Rn 302 C Variétés différentielles 303 1 Fonctions analytiques . 303 2 Variétés différentielles 307 3 Fibrés vectoriels . . . . 308 4 Subimmersions, immersions, submersions 312 4.1. Structure locale des subirnmersions 313 4.2. Deux critères de différentiabilité . 314 5 Sous-variétés et sous-variétés immergées. 315 6 Théorème du plongement . . . . 318 7 Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . 320 7.1. Théorème de Frobenius. . . . . . 320 7.2. Structure des intégrales d'une distribution involutive 323 7.3. Un critère de différentiabilité. . . . . . . . . . . . . 325 Exercices 327 Bibliographie 365 Index 367