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Introduction à la mécanique analytique - Niveau M1 M2. - ellipses - 9782729836696 - Livre - Unitheque.com
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Introduction à la mécanique analytique Niveau M1 M2.
Cet ouvrage est une initiation aux principes de mécanique classique. La première partie présente les notions indispensables de la cinématique et de la dynamique, ainsi que les problèmes et le formalisme mathématique qui leurs sont étroitement associés. De nombreuses applications sont abordées (pendule de Foucault, problème de Kepler, [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Introduction à la mécanique analytique"
Cet ouvrage est une initiation aux principes de mécanique classique.
La première partie présente les notions indispensables de la cinématique et de la dynamique, ainsi que les problèmes et le formalisme mathématique qui leurs sont étroitement associés. De nombreuses applications sont abordées (pendule de Foucault, problème de Kepler, etc.).
Dans la deuxième partie, nous aborderons les méthodes de la mécanique lagrangienne, hamiltonienne, etc. Une introduction aux systèmes continus et à la théorie des champs est présentée dans la dernière partie. L'exposé est assorti de nombreux exemples. Des exercices, avec des indications de solutions, sont également proposés.
Ce livre est basé sur un cours dispensé aux étudiants de physique au Centre universitaire de Mascara. Il s'adresse aux étudiants de Master.
Boucif Abdesselam est professeur de physique théorique au Centre universitaire de Mascara (Algérie) et directeur du laboratoire de physique quantique de la matière et de modélisations mathématiques (LPQ3M).
Auteurs :
Boucif Abdesselam est professeur de physique théorique ou Centre universitaire de Mascara (Algérie) et directeur du laboratoire de physique quantique de la matière et de modélisations mathématiques (LPQ3M).
Sommaire et contenu du livre "Introduction à la mécanique analytique - Niveau M1 M2."
Table des Matières
Avant-propos
1 Principes de la Mécanique 1
1.1
Mouvement mécanique .. 1
1.2
Représentations mathématiques . . 4
1.3
Lois intégrales et lois différentielles 5
1.4
Lois fondamentales du mouvement 5
1.4.1
Force; Première loi de Newton 5
1.4.2
Seconde loi de Newton . 6
1.4.3
Troisième loi de Newton . 7
1.4.4
Principe de relativité de Galilée . 7
1.5
La mécanique analytique. . . . ..... 8
1.6
Conceptions de la mécanique classique 10
1.6.1
Les grandeurs physiques et leurs continuités . 10
1.6.2
Déterminisme Laplacien .. 10
1.6.3
Méthode Analytique . . .. 11
1.7
Au delà de la mécanique classique 11
2 Mécanique du Point Matériel 13
2.1
Cinématique du point matériel . 13
2.1.1
Trajectoire, vitesse et accélération 13
2.1.2
Mouvement curviligne .. 14
2.2
Dynamique du point matériel .. 18
2.3
Dynamique d'une masse variable 20
2.4
Principes et théorèmes de base 21
2.4.1
Moment et couple .... 21
2.4.2
Travail et théorème des forces vives . 21
2.4.3
Energie mécanique ou intégrale des forces vives 22
2.5
Mouvement lié . 24
2.5.1
Mouvement sur une surface . 24
2.5.2
Mouvement sur une ligne . 28
2.6
Positions d'équilibre stables et instables 29
2.7
Intégration des équations du mouvement. 30
2.7.1
Lois du mouvement 30
2.7.2
Diagrammes de potentiels 31
2.7.3
Théorie des perturbations 32
2.8
Transformations du mouvement . 34
2.8.1
Mouvement absolu, relatif et d'entraînement 34
2.8.2
Mouvement dans un repère mobile . . . . . . . . . . 37
2.8.3
Théorème des forces vives pour le mouvement relatif 38
2.8.4
Chute d'un point matériel sur la terre 38
2.8.5
Le pendule de Foucault . 40
3 Mécanique des Systèmes 43
3.1
Mouvements simples d'un solide. . . . . . . . . . . . . 43
3.2
Distribution des vitesses dans un solide en mouvement 45
3.3
Forces extérieures, intérieures, actives et de réaction . 46
3.4
Dynamiquedes systèmes................. 47
3.4.1
Centre de masse; Mouvement du centre de masse. 47
3.4.2
Mouvement par rapport au centre de masse . . . . 49
3.4.3
Momentangulaire .................. 49
3.4.4
Loi fondamentale de la dynamique du mouvement de rotation. 49
3.4.5
Théorème des forces vives; Conservation de l'énergie mécanique 50
3.5
Mouvement d'un système lié. . . . . . . . . . 51
3.6
Solidesindéformables. ............. 53
3.6.1
Moment d'inertie et rayon de giration 53
3.6.2
Théorème des axes perpendiculaires . 54
3.6.3
ThéorèmedeHuygens . . . . . . . . . 55
3.6.4
Produits d'inertie et ellipsoïde d'inertie 56
3.6.5
Moment angulaire du solide . . . . . . . 57
3.6.6
Energie cinétique de rotation du solide . 58
3.6.7
Axes principaux d'inertie . 59
3.7
Les angles d'Euler 61
3.8
Les équations dynamiques d'Euler 64
3.9
Toupie symétrique en l'absence de force extérieure 65
3.10Mouvementd'Euler................. 67
3.10.1
Interprétation de Poinsot 68
3.10.2
Intégration des équations du mouvement. 70
4 Champ Central et Mécanique Céleste 75
4.1
Problème à N corps 76
4.1.1
N = 2............ 76
4.1.2
N> 2 ............ 77
4.2
Champ et potentiel gravitationnels 78
4.2.1
Théorème de Gauss .... 80
4.2.2
Les équations de Poisson et de Laplace. 82
4.2.3
Calcul du champ gravitationnel créé par une distribution de masses 82
4.2.4
Champ gravitationnel créé par une sphère homogène 82
4.2.5
Méthode de résolution de l'équation de Laplace 85
4.2.6
Energie potentielle d'une distribution de masse 94
4.3
Mouvement dans un champ central 96
4.3.1
Loi des aires '96
4.3.2
Potentiel effectif . . . . . . 97
4.3.3
Condition de stabilité . . . 98
4.3.4
Trajectoire dans un champ central 98
4.4
Problème de Kepler ..........., . 100
4.4.1
Champ de gravitation newtonien . . 100
4.4,2
Perturbation du mouvement des planètes . 104
4.4.3
Champrépulsif .............
4.5
Vecteur de Laplace-Runge-Lenz .
4.6
Théorème de Bertrand sur les orbites fermées
4.7
Problème de diffusion élastique des particules
5 Mécanique d'Euler-Lagrange
5.1
Liaisons mécaniques; Degrés de Libertés .
5.1.1
Types de liaisons .
5.1.2
Méthode de Lagrange de définition des liaisons
5.1.3
Extension aux systèmes non-holonômes
5.2
Espace de configuration du système lié
5.2.1
Interprétation géométrique
5.2.2
Extension en vitesses .
5.3
Déplacements virtuels . . . . . . . . .
5.3.1
Liaisons parfaites et principe des déplacements virtuels
5.3.2
Méthodederésolution . . . . . . . . . . .
5.3.3
Equations d'équilibre avec multiplicateurs
5.4
Principe d'Euler-Lagrange .
5.4.1
Principe de d'Alembert .
5.4.2
Equation générale de la dynamique .
5.4.3
Equations de la dynamique avec multiplicateurs
5.5
Equations d'Euler-Lagrange .
5.5.1
Forces généralisées j Systèmes holonômes .
5.5.2
Conditions d'équilibre en coordonnées généralisées
5.5.3
Dérivation des équations d'Euler-Lagrange.
5.5.4
Extension aux systèmes non-holonômes
5.5.5
Méthode de résolution .
5.6
Mouvement dans un champ électromagnétique
5.7
Fonction dissipative de Rayleigh .
5.8
VibrationsMécaniques ..............
5.8.1
Stabilité d'un système au voisinage d'une position d'équilibre
5.8.2
Stabilité au voisinage d'un état stationnaire
5.8.3
Système à un seul degré de liberté .
5.8.4
Système à plusieurs degrés de liberté
6 Principe Variationnel
6.1
Calcul des variations .
6.2
Exemples simples de calcul des variations
6.2.1
Problème de Bernoulli . . . . . . .
6.2.2
Surface maximale (contraintes intégrales)
6.3
Action d'Hamilton .
6.4
Propriétés de la fonction de Lagrange
6.5
RelativitédeGalilée . . . . . . . . . .
6.5.1
Point matériel libre .
6.5.2
Système de points matériels et système non-fermé
6.6
Principe de moindre temps .
6.7
Formulation lagrangienne de la relativité restreinte .
6.7.1
Les principes fondamentaux de la relativité restreinte
6.7.2
Notion d'intervalle .....
6.7.3
Transformation de Lorentz .
373
.
106
.
107
.
108
.
109
113
.
113
.
114
· 115
.
115
.
116
.
117
.
117
.
119
.
119
· 120
· 121
· 125
· 125
· 126
· 126
· 129
· 129
· 131
· 132
· 134
· 135
· 138
· 141
· 142
· 142
· 144
· 144
· 149
153
· 153
· 156
· 156
· 157
· 158
· 160
· 162
· 162
· 163
· 164
· 165
· 166
· 167
.
168
6.7.4
Quadrivecteur et produit scalaire
6.7.5
Temps propre .
6.7.6
Transformation des vitesses
6.7.7
Lagrangien relativiste ...
6.8
Impulsions généralisées. . . . . . .
6.9
Mouvement dans un référentiel non-galiléen
7 Lois de symétrie et intégrales du mouvement
7.1
Conservation de l'énergie
7.2
Conservation de l'impulsion ....
7.3
Conservation du moment angulaire
7.4
Théorèmes de Noether .
7.4.1
Premier théorème de Noether
7.4.2
Deuxième théorème de Noether
7.4.3
Exemples .
8 Mécanique d'Hamilton
8.1
Transformation de Legendre.
8.1.1
Fonction à deux variables
8.1.2
Fonction à 2n variables .
8.2
Hamiltonien; Equations d'Hamilton
8.3
Forme symplectique des équations d'Hamilton.
8.4
Equations d'Hamilton par un principe variationnel
8.5
Coordonnées cycliques et méthode de Lagrange
8.6
Méthode de réduction de Routh .
8.7
Principe de Maupertuis '
9 Transformations canoniques
9.1
Transformations de coordonnées
9.2
Equations de transformations canoniques
9.2.1
Transformations du type l ..
9.2.2
Transformations du type II .
9.2.3
Transformations du type III .
9.2.4
Transformations du type IV .
9.3
Propriétés des transformations canoniques
9.4
Approche symplectique .
9.5
Quelques applications des transformations canoniques
9.6
Temps comme une variable dynamique .
9.7
Fonction génératrice d'une rotation infinitésimale
9.8
Transformations infinitésimales ou de contacts.
9.9
Rôle de la fonction d'action S
9.10
Théorème de Poincaré .
9.11
Théorème de Liouville .
9.12
Equation de Liouville: lien avec la physique statistique.
9.12.1
Densité d'état .
9.12.2
Equation de Liouville .
9.12.3
Equation de continuité dans l'espace
9.13
Analogie entre la mécanique et l'optique ..
9.13.1
Propagation des ondes électromagnétiques .
9.13.2
Mécaniques des ondes .
.
170
.
170
· 170
.
171
.
173
· 175
177
· 177
.
180
· 182
.
184
· 186
· 187
.
187
191
· 191
· 192
· 193
· 194
.
197
· 198
.
200
.
202
.
204
209
.
209
.
210
· 212
.
213
.
215
.
216
.
217
.
220
.
224
.
230
.
232
.
233
.
236
.
240
.
241
.
242
.
242
.
242
.
244
.
245
.
245
.
247
9.13.3 Au delà de la mécanique. .248
9.13.4 Equation de Schr6dinger . .249
9.14 Perturbation des systèmes hamiltoniens .250
9.14.1 Méthode de Lagrange . .250
9.14.2 Méthode de Poincaré . .253
9.14.3 Exemple: Problème à trois corps .254
9.14.4 Méthode mixte . .258
10 Systèmes à Grand Nombre de Particules 259
10.1 Distribution de Maxwell .. .259
10.2 Fonction de distribution .. . 261
10.3 Distribution de Boltzmann .261
10.4 Théorème du viriel ..... .263
10.5 Approximation du champ moyen .265
10.6 Distribution de Gibbs . .265
10.6.1 Energie libre; Intégrale des états .267
10.6.2 Equation d'état . .267
10.6.3 Equation de Gibbs-Helmhotz .268
10.6.4 Entropie et sens statistique . .268
10.6.5 Loi des gaz parfaits ..... .268
10.7 Théorème de l'équipartition de l'énergie cinétique. .269
10.8 Hiérarchie BBGKY . .271
10.8.1 Equations d'évolution . .272
10.8.2 Equation de Vlasov . .274
10.8.3 Equations locales de conservation de la masse .274
Il Crochets de Poisson et Invariants canoniques 277
11.1 Crochets de Poisson . .277
11.1.1 Définition .............. .277
11.1.2 Invariance des crochets de Poisson .279
11.1.3 Propriétés des crochets de Poisson .280 Il.1.4 Crochet de Poisson de champs de vecteurs . .282
11.2 Equations du mouvement . . . . . . . . .284
11.3 Structure de Poisson généralisée. . . . . . . . . .287
11.4 Propriétés des intégrales du mouvement .... .288 Il.5 Lien entre invariants et propriétés de symétrie . .290
11.6 Forces centrales et crochets de Poisson .292
11.7 Crochets de Lagrange . .294 Il.8 Invariants Intégraux de Poincaré .296
11.9 Théorème d'Arnold-Liouville .297
12 Théorie d'Hamilton-Jacobi 299
12.1 Equation d'Hamilton-Jacobi. .299
12.1.1 Représentation en coordonnées .299
12.1.2 Représentation en impulsions .302
12.1.3 Exemples . .302
12.1.4 Problème inverse . . . . . . . . .307
12.2 Les systèmes conservatifs et action de Maupertuis. .307
12.3 Séparation des variables dans l'équation d'Hamilton-Jacobi .311
12.3.1 Définitions . .311
12.3.2
Quelques techniques de séparation des variables . .312
12.3.3
Théorème de Liouville . .314
12.3.4
Conditions de Staeckel . .314
12.3.5
Mouvement en coordonnées cartésiennes .316
12.3.6
Mouvement en coordonnées polaires .. .317
12.3.7
Mouvement en coordonnées sphériques . .320
12.3.8
Mouvement en coordonnées paraboliques .323
12.3.9
Mouvement en coordonnées elliptiques .. .325
12.3.10
Oscillateur harmonique avec une fréquence ~ .327
12.3.11
Chaîne de Toda . .328
12.4
Variables canoniques angles-actions . . . . . . . . .. .330
12.4.1
Variables action-angle dans les systèmes à seul degré de liberté .330
12.4.2
Exemples . .333
12.4.3
Variables action-angle pour les systèmes séparables . .334
12.4.4
Mouvement quasi-périodique ..... .335
12.5
Problème de Kepler -Variables Action-Angle .337
12.6
Quantification des variables d'action ..... .340
13 Introduction aux milieux continus et champs 341
13.1
Exemple de passage d'un système discret vers un système continu: Vibration
dans solide unidimensionnel . . . . . . . . . . . .341
13.2
Méthode de résolution des équations d'onde .. .343
13.3
Formulation lagrangienne des milieux continus .344
13.4
Equations d'Euler-Lagrange pour les champs .344
13.5
Transformation de jauge . . .347
13.6
Dérivées fonctionnelles . . . . . . . . . .347
13.7
Electrodynamique classique . .349
13.8
Tenseur impulsion-énergie d'un champ .352
13.9
Fonctionnelle de Rayleigh . .354
13.lOHamiltonien fonctionnelle . . . . . . .356
13.11Equations
d'Hamilton fonctionnelles .357
13.12Crochets
de Poisson . .359
Liste des figures 361
Bibliographie 363
Index 365
Avis clients
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