Intégration
Intégrale de Lebesgue et introduction à l'analyse fonctionnelle

Sommaire et contenu du livre "Intégration - Intégrale de Lebesgue et introduction à l'analyse fonctionnelle"

Table des matières 1 Introduction. .................................................... 7 1.1 Rappelssurl'intégralede Riemann.............................. 7 1.2 Insuffisancesdel'intégralede Riemann........................... 8 1.2.1 L'espacen'estpascomplet................................ 8 1.2.2 Passageàlalimite..................................... .. 11 1.2.3 Construction de l'intégrale de Lebesgue .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13 1.3 Rappels...................................................... 15 Problèmes et Exercices 16 2 Espaces mesurables, fonctions mesurables, mesures. ........... .. 19 2.1 Espacesmesurables.......................................... .. 19 2.2 Fonctions mesurables 20 2.3 Mesures...................................................... 24 2.4 Mesure de Lebesgue 28 2.5 Presquepartout............................................. .. 31 2.6 Preuve du théorème de Carathéodory .......................... .. 33 Problèmes et Exercices 38 3 Intégration des fonctions mesurables. .......................... .. 41 3.1 Constructiondel'intégrale.................................... .. 41 3.1.1 Fonctions étagées positives 41 3.1.2 Fonctions mesurables positives .......................... .. 43 3.1.3 Fonctions mesurables. ................................. .. 46 3.1.4 Intégrale et presque partout 48 3.2 L'espace U(X, dJ.L)............................................ 49 3.2.1 Définition.............................................. 49 3.2.2 Passage à lalimite..................................... .. 50 Problèmes et Exercices 57 4 Compléments sur les fonctions intégrables ..................... .. 63 4.1 Intégrales à paramètres. ...................................... .. 63 4.2 Théorèmes de Fubini. ........................................ .. 64 4.3 Changements de variables 66 4.4 Convolution et régularisation 73 4.4.1 Densité de c2 dans LI ...... .................. ......... .. 73 4.4.2 Convolution............................................ 77 4.4.3 Régularisation.......................................... 79 4.5 Espaces LP 81 4.5.1 Définitions............................................. 81 4.5.2 Propriétés fondamentales des espaces LP 83 Problèmes et Exercices 6 Table des matières 5 EspacesdeHilbert............................................. .. 95 5.1 Définitions.................................................... 95 5.1.1 Forme hermitienne 95 5.1.2 Produit scalaire. ...................................... .. 96 5.1.3 Notions de convergence 97 5.1.4 Espace de Hilbert 98 5.2 Orthogonalité;théorèmede projection......................... .. 99 5.2.1 Orthogonalité........................................... 99 5.2.2 Théorèmedeprojection................................ .. 100 5.2.3 Théorème de Riesz 104 5.3 Baseshilbertiennes,sériesde Fourier........................... .. 108 5.3.1 Bases hilbertiennes. ................................... .. 108 5.3.2 ThéorèmedeParseval.................................. .. 110 5.4 Exemple fondamental: fonctions L 2 périodiques 111 5.5 Ce que le cas hilbertien peut nous apprendre sur les espaces de fonctionsintégrables......................................... .. 120 5.5.1 Retour sur la dualité V/V' 120 5.5.2 Le théorème de Radon-Nikodym 128 Problèmes et Exercices 129 6 Transformée de Fourier. ....................................... .. 133 6.1 Transformée de Fourier dans LI (]RN) 133 6.1.1 Définition.............................................. 133 6.1.2 Propriétés élémentaires 135 6.2 Algèbrede Wiener........................................... .. 137 6.2.1 Exemple fondamental et lemme d'approximation 137 6.2.2 AlgèbredeWiener..................................... .. 140 6.3 Transformée de Fourier dans L 2(]RN) 142 6.4 Equationdelachaleur .................................... .. 145 Problèmes et Exercices 149 7 Théorèmes de compacité dans les LP. .......................... .. 153 7.1 Compléments d'analyse fonctionnelle 153 7.2 Compléments de topologie; topologies forte, faible et faible-* 158 7.2.1 Espaces topologiques, espaces métriques, compacité 158 7.2.2 Convergence faible et convergence faible-* 161 7.2.3 Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki 166 7.3 Critère de compacité faible dans les espaces LP .................. .. 169 7.3.1 Les cas 1 < p :::; 00 169 7.3.2 Le cas p = 1 : théorème de Dunford-Pettis 171 7.3.3 Critère pratique 176 7.4 Equicontinuité et compacité 178 7.5 Compacité forte dans LP 182 7.6 Applications: convergences faible, forte et presque partout; produits 186 Bibliographie...................................................... .. 189 lQl