Incontournables en maths concours ECE
Prépa commerciale - Voie économique

Sommaire et contenu du livre "Incontournables en maths concours ECE - Prépa commerciale - Voie économique"

Table des matières O. Préliminaires. 9 .. 0 1. Encadrement de x -x (1-x) sur [0,11 . 9 .. 0 2. Produit d'entiers consécutifs, pairs, impairs , . .. 9 3. Autour de la formule du binOme de Newton .. la 4. Inégalités de Cauchy.Schwarz ... 13 •5. Inégalité de Bernoulli .... 15 *•6. Inégalités triangulaires .. 17 *•7. Formule d'inversion de Pascal ...... 20 8. Applications injectives, surjectives, bijectives -Images directes et images réciproques, . 23 *• 1. Calcul matriciel -Espaces vectoriels -Applications linéaires 35 1. Familles libres, génératrices, bases et applications linéaires . 35 ~ o 2. Matrices inversibles, vecteurs ligne et vecteurs colonne.. ........... 38 ~ o 3. Propriétés du rang 40 ~ 4. Bases de R'IX) .. 41 *5. Familles libres de fonctions .. 44 • 6. Noyaux et images itérés d'un endomorphisme .. 48 * 2. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. 52 ~ 0 1. Les propriétés fondamentales ...... 52 * 02. Trace cl 'une matrice .. 56 *•3. Convergence de suites matricielles... .. .. 59 *•4. Localisation des valeurs propres d'une matrice, théorèmes de Hadamard et de Gerschgorin 62 ..5. Étude de quelques matrices particulières . 65 ..6. Matrices stochastiques .. .. .. 68 7. Matrices tridiagonales 72 ... 3. Suites. 75 ~ 0 1. Suites monotones, suites bornées et convergence., 75 0 2. Compatibilité de la limite avec la relation d'ordre. 76 * 3. Propriétés autour de la limite de suites 77 * 0 4. Propriétés des équivalents .. 78 * 5. Suites extraites.. .. .. 80 *• 6. Suites récurrentes du type ''+l = f(n'). Théorème du point fIxe ..... 85 * 7. Suites implicites .. 88 * .. 8. Limites classiques et équivalent de t .!. . 90 k=l k 9. Équivalent de L: f(k) lorsque f est une fonction continue, positive, décroissante... 96 *• .. 10. La suite [t i--In n] et la constante 'Y d'Euler 99 k=1 nEPlr 11. Théorème de Cesàro 101 * • 12. Méthode de la partie principale. 109 * 4. Séries . 111 ~ 0 1. Convergence, positivité et croissance du reste de séries convergentes . 111 * * * * *• * *• *• * * •• •0 ... • •0 • * o 1. ~ 2. ~ o 3. * 4. * 5.*o6. • 7. *• 8. ** •••• 9. * 10. * Il. *• 12. 13. ~ 0 •* •• *• * • *• 2. Séries de Bertrand...... . . 3. Théorème de Pringsheim pour les séries 4. Théorème des séries alternées 5. Règles de D'Alembert . 6. Règles de Cauchy 7. Règles de Raabe-DuhameL . 8. Règle d'Abel . 9. Produit de Cauchy de deux séries à termes positifs.. . 10. Groupement de termes......................... 11. Séries et relations de comparaison, 12. Les séries de Mengoli 13. Les séries L:: p~7) . (-1)' 14. Les sérIes L::-­ an +b n x 15. Les séries L:: -;;-. 16. La formule du binôme négatif et les séries L:: _k_'­ (k-r)! 17. Dérivation d'une série de fonctions' .. 5. Fonctions: limites, continuité, dérivabilité. Premières propriétés Fonctions monotones, fonctions bornées et limites . Compatibilité de la limite avec la relation d'ordre Propriétés des équivalents .. Autour de la notion de continuité .. Dérivées classiques Sens de variation de fonctions dérivables Formule de Leibniz Théorème de Rolle et des accroissements finis Généralisations du théorème de Rolle Généralisation du théorème de prolongement de la dérivée Propriétés des fonctions convexes .. Inégalités de Holder et de Minkowski 6. Intégration sur un segment -Formules de Taylor ­ 1. Les propriétés fondamentales .. 2. Primitives classiques .. , 3. Formule d'intégration par parties itérée ... 4. Théorème et formules de la moyenne..... 5. Dérivée symétrique.. . .. q*-' . . . 113 . 115 .. 116 117 . 119 120 124 .. 125 . . 127 .. 131 . . 142 142 144 146 . 148 151 153 . 153 160 .. 163 164 166 169 171 175 . 176 176 180 163 100 Développements limités 193 193 195 198 199 202 6. Les intégrales [J.'(t-a)P(t-b)'dtl····································· . 204 7. Dérivation sous le signe intégral . 206 7. Intégrales impropres ... 209 1. Les propriétés fondamentales 209 ~ 2. Intégrales impropres et suites 214 ~ 3. Intégrales de Bertrand 219*4. Autres intégrales de référence 220 * D *•5. Intégrales impropres et relations de comparaison. 223 *•6. Théorème de Pringsheim intégral, ''''.''.' '''' 234 7. La fonction r (Gamma).' ''''''.,,''. 235 ... 8. Dérivation sous le signe intégral 242 *• 8. Fonctions de deux variables .'.,.'.245 *•1. Dérivée d'une fonction directionnelle '.' 245 *•2. Théorème des accroissements finis '.'''''''.''.,.,,.,,'. 248 3. Condition suffisante pour l'existence d'un extremum global 249 *• 9. Dénombrement, 252 .. 1. Formule de Pascal itérée (ou formule des colonnes) 252 2. Calcul de I:: [2:] et t [2nk+ 1].' k~ *=0 '''.'''.''.,,,, .. 252 .. 0 3. Formules sommatoires obtenues par décomposition de coefficients binomiaw< 254 .. 0 4. Calcul de t k(k -I)(k ­2) ... (k -i + 1) et t k(k + l)(k + 2) ...(k + i -1) .... 258 k-i '''0 .. o 5. Calcul de ~ [:] [: =:] 259 .. o 6. Calcul de ~ (_1)'[:][:] ''''.''.,,'.. '.', 260 .. .. . 7. 8 Formule de Vandermonde.. Calcul de ~ [:W ~ l 261 262 * *• *• *• * * * *• *• * *• 9. p-liBtes strictement croissantes et croissantes d'un ensemble de cardinal n 264 10. Trous de Kaplansky .... '''.....''... 265 11. p-liBtes (x;) . telles que ,!-.. x; = n. Combinaisons avec répétitions, 267 1::5I:$p ~ i=l 12. Chemins monotones ' 268 13. Permutations laissant k points fIXes, Dérangements.. '''.''.''.''.'''.,,,,. 271 14. Surjections d'un ensemble de cardinal p sur un ensemble de cardinal n 273 15. p-listes (A;) . de parties de E telles que U' A; = E 275 1:5I:$p ,-1 16. p-partages d'un ensemble de cardinal n .... 277 17. p-partitions et partitions d'un ensemble: nombres de Stirling et nombres de Bell 278 18. Partitions d'un ensemble de cardinal np en classes de cardinal p' .'..' ... ''',,.,,'. 281 19. Partitions d'un entier .. 1O. Probabilités classiques .. * J. Inégalités de Boole • 2. Lemmes de Borel-Cantelli .... ..*•3. Les modèles de tirages de boules dans une urne, 11, Variables aléatoires discrètes',.. J. Caractérisation d'une variable aléatoire .. *• 2. Moments d'une variable aléatoire en fonction de son anti·fonction de répartition' * 3. Fonction générat.rice d'une variable aléatoire A valeurs dans [O,n] 0 * 4. Fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans N '.''''''',,.,,''.' *.. 5. Temps d'attente d'un r.... succés : loi de Pascal et loi binomiale négative. .. 6. Temps d'attente d'un r trot 6uccès lors de tirages sans remise • 282 287 287 288 291 295 295 298 . 305 307 311 . 316 12. Couples et suites de variables aléatoires discrètes . .. .. 321 1. Fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires discrètes ........ ......... 321 *2. Minimum et maximum de variables aléatoires (lors d'une suite de tirages de boules) . 322 + + 3. Cbalnes de Markov......... . . . ...... 334 13. Variables aléatoires à densité '' .. 338 14. Convergences et approximations ... .. * * * * - * *• + + + - + +­ * *­ 15. Estimation +­ +­ Index 2. Stabilité de la loi normale par transformation affine . 3. Indépendance de fonctions de variables aléatoires indépendantes.. 4. Espérance d'une variable aléatoire à densité en fonction de son anti-fonction de répartition.. 5. Statistiques d'ordre 6. Fonctions de variables aléatoires à densité 7. La loi r (Gamma) 8. La loi du khi-deux.. 9. La loi de Laplace . 10. La loi de Pareto .. Il. La loi de Weibull .... 1. Inégalités de Markov ........ 2. Convergence en probabilité et convergence en loi .. .. .. .. . ...... . 373 .. 375 ...................... 379 ........... 338 .......... 339 340 341 343 .. ... 345 .............. 352 ........... 354 ... 356 ...... 362 365 373 1. Estimation par intervalle du paramètre d'une variable de Bernoulli . ................... 379 2. Estimation par intervalle de l'espérance d'une loi normale d'écart-type donné .. ........ 381 ... 383