Sommaire et contenu du livre "Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces"
TABLE DES MATIÈRES
INTRODUCTION.............................................................. V
AVANT-PROPOS......... .....•.•.•.••........•••.•.....•..••........••.•.... 5
Chapitre O. Rappels et compléments.......................................... 7
0.0
Notations. Rappels 7
O.1
Algèbreextérieure :.................... 9
o.2
Calcul différentiel 15
0.3
Formes différentielles sur un ouvert d'un espace vectoriel 24
o.4
Intégration................................................... 32
0.5
Exercices..................................................... 35
Chapitre 1. Equations différentielles 36
1.1
Généralités................................................... 37
1.2
Equations différentielles indépendantes du temps : existence de solutions locales 39
1.3
Etudedel'unicitéglobale.Couléeglobale......................... 45
1.4
Champs de vecteurs dépendant du temps, champs de vecteurs dépendantd'unparamètre......................................... 49
1.5
Unicité et coulée globale pour les champs de vecteurs dépendant du
temps.... .................................................. 51
1.6
Cultureetéquationslinéaires.................................... 52
Chapitre 2. Variétés différentielles 55
2.1
Sous-variétésdeRn............................................ 56
2.2
Variétés abstraites .......................... 62
2.3
Morphismes.................................................. 70
2.4
Revêtements,quotients......................................... 76
2.
5 Espaces tangents 84
2.6
Sous-variétés, immersions, submersions, plongements 96
2.7
Fibrésnormaux, unitaires;tubes.............................. .. 101
2.8
Exercices..................................................... 107
Chapitre3. Partitionsdel'unité.Densités.Courbes........................... .. 114
3.1
Plongement des variétés compactes 115
3.2
Partitionsdel'unité.......................................... .. 117
3.3
Densitéssurune variété...................................... .. 121
3.4
Classification des variétés connexes de dimension un .. 127
3.5
Champs de vecteups et équations différentielles sur les variétés. . . . . .. 131
3.6
Exercices................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138
O1apitre 4. Points critiques 141
4.
1 Définitions, exemples 141
4.2
Points critiques non dégénérés d'une fonction numérique. Réduction de
Morse..................................................... 145
4.3
ThéorèmedeSard............................................. 157
4 .
4 Exercices..................................................... 160
Chapitre5. Calculdifférentielsurlesvariétés.................................. 162
5.1
Le fibré ArT·X. ............................................. .. 163
5.2
Formesdifférentiellessurunevariété............................. 164
5.3
Formes de degré maximum et orientation 172
5.4
Groupesdede Rham........................................ .. 187
5.5
DérivéedeLie ................................... .. 192
5.6
Ouverts étoilés; lemme de Poincaré. ............................. 196
5.7
Groupes de de Rham des sphères et des projectifs 198
5.8
Groupes de de Rham des tores ',' . . . . .. 202
5.9
Exercices..................................................... 205
Chapitre 6. Calcul intégral sur les variétés 209
6.1
Intégrale d'une d-forme sur une variété orientée de dimension d .... .. 210
6.2
Théorème de Stokes........................................... 216
6.3
Premières applications du théorème de Stokes. .................. .. 221
6.4
Forme volume canonique d'une sous-variété orientée d'un espace euclidien 226
6.5
Volume d'une sous-variété orientée d'un espace euclidien . . .. 230
6.6
Densité canonique d'une sous-variété d'un espace euclidien . . . . . . . .. 239
6.7
Volume des tubes 1: compléments sur les formes volumes ' 243
6.8
Volume des tubes Il 253
6.9
Volume des tubes III 259
6.10
Exercices ' 265
Chapitre7. Théoriedudegré.............................................. .. 272
7.
1 Lemmes préliminaires ; . . . . .. 273
7.2
Détermination de R'(X) ' 280
7.3
Degré........................................................ 283
7.4
Invariance du degré par homotopie. Applications. . . . . . . . . . . . . . . . .. 287
7.5
Volume des tubes (fin) et formule de Gauss-Bonnet 294
7.6
Degré des applications appartenant à CO(SI ; SI) .. 299
7.7
Indice d'un champ de vecteurs sur une variété abstraite 303
7.8
Exercices..................................................... 306
Chapitre8. Courbes.Théorie locale.... ......... .............. ............... 310
8.0
Introduction.................................................. 311
8.1
Définitions 312
8.2
Invariants affines: tangente, plan osculateur, concavité............. 317
8.3
Longueur, 1. a. paramétrisations d'une courbe d'un espace euclidien .. 323
8.4
Courbure d'une courbe d'un espace euclidien 326
8.5
Courbure algébrique d'une courbe plane orientée dans un plan orienté
euclidien 331
8.6
Torsion des courbes birégulières d'un espace euclidien de dimension 3 . 334
8 .
7 Exercices................................................. 342
Chapitre 9. Coorbes planes. Théorie globale ' 352
9.1
Définitions................................................. .. 353
9.2
Théorème de Jordan ' , ' 357
9.3
L'inégalité isopérimétrique ' 363
9.4
Nombre d'enroulement d'une courbe plane 366
9.5
Turning tangent theorem ou Umlaufsatz 371
9.6
Convexité globale 375
9.7
Théorème des quatre sommets 379
9.8
La formule de Fabricius-Bjerre-Halpern 382
9.9
Exercices..................................................... 390
Chapitre 10. Petit guide pour la théorie locale des surfaces de R3 . .. 393
10.
1 Définitions.................................................. 394
10.2
Exemples 395
10.3
Les deux formes fondamentales d'une surface. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 416
10.4
Ce que l'on peut faire avec la première fonne fondamentale (géométrie
riemannienne en dimension 2) 418
10.5
La courbure de Gauss ' 429
10.6
La deuxième forme fondamentale et ce que l'on peut faire avec.. 436
10.7
Relations entre les deux formes fondamentales d'une surface 448
10.8
A propos des hypersurfaces de R'+l 450
Chapitre 11. Petit guide pour la théorie globale des surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 451
PREMIÈRE PARTIE: VARIÉTÉS RII!MANNII!NNI!S GLOBALES DE DIMENSION 2 . . . .. 453
Il . 1 Le problème global du plus court chemin 453
Il.2
Les surfaces à courbure constante........................... .. 455
Il .
3 Propriétés métriques : formules des variations première et seconde 457
Il.4
Unicité des plus courts chemins et rayon d'injectivité 459
11.5
Variétés à K ~ k............................................. 462
11 .
6 Variétés à K ~ k. .................................... .. .... .. 465
Il.7
Formules de Gauss-Bonnet et de Hopf.,.................... .. 466
Il .
8 L'inégalité isopérimétrique sur les surfaces 468
Il .
9 Les géodésiques périodiques et les inégalités isosystoliques . . . . . .. 469
Il.10
Les surfaces à géodésiques toutes périodiques 471
Il . 11 Transition entre les deux parties: problèmes de plongement et d'immersion...................................................... 472
DEUXIÈME PARTIE
: SURFACES PLONGÉES ou IMMERGÉES DANS Ra . . . . . . . . . . . 474
11.12
Les surfaces à courbure nulle...... ... ...... ..... ...... 474
11.13
Les surfaces à courbure positive ou nulle.. .. .. . .. . .. .. .. . .. 475
Il.14
Résultats d'unicité et de rigidité 476
Il.15
Les surfaces à K <0 ... . ... . 477
Il . 16 Les surfaces à courbure moyenne nulle, alias surfaces minima 478
Il . 17 Les surfaces à courbure moyenne constante, alias bulles de savon 480
Il.18
Les surfaces de VVeingarten 482
11 . 19 Les surfaces comme enveloppes de plans: formulaire et applications .. 484
Il .
20 Les inégalités isopérimétriques poùr les surfaces 487
Il.21
Bouquet: propriétés caractéristiques de la sphère et des cyclides de
Dupin 487
Bibliographie 493
Index terminologique . . . .. .. . . ... . . . . . ... .. .. . .. .. . .. . . ... . .. . . . . .. . . . .. 499
Index des notations .. .. . .. . . . . .. .. .. . . .. . . ... . .. . ... . . ... .. .. . . . .. . . . .. 509