La collection Mathématiques 2e cycle se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant` l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Éléments d'intégration et d'analyse fonctionnelle"
La collection Mathématiques 2e cycle se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant` l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels et de nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur.
L'analyse fonctionnelle, qui a connu un développement spectaculaire depuis le début du siècle, est devenue un outil indispensable en mathématiques. Outre son objet premier, qui est l'étude des espaces fonctionnels et de leurs opérateurs, ses applications sont diverses dans beaucoup de branches : équations aux dérivées partielles, analyse complexe, analyse globale, théorie des représentations...
Le but de ce livre, destiné aux étudiants de Licence et de Maîtrise de Mathématiques, est d'en exposer les éléments de base : mesure et intégration et espaces fonctionnels associés, théorème de l'application ouverte, théorème de Hahn-Banach sous ses versions analytique et géométrique, dualité dans les espaces normés, espace de Hilbert, opérateurs bornés et théorie spectrale illustrée par des applications au problème de Sturm-Liouville.
D'autres thèmes, proposés sous forme d'exercices et de problèmes corrigés, en complètent le contenu.
Sommaire et contenu du livre "Éléments d'intégration et d'analyse fonctionnelle - Cours et exercices corrigés."
TABLE DES MATIÈRES
QUELQUES RAPPELS DE TOPOLOGIE
1.
Quelques définitions 1
2.
Quelques théorèmes 6
3.
Exercices 8
1.
ESPACES MESURABLES
1.
Algèbres de Boole 9
2.
Motivation probabiliste 11
3.
La notion de tribu 12
4.
Applications mesurables 13
5.
Applications mesurables réelles 14
6.
Exercices 18
II.
ESPACES MESURÉS
1.
Définitions et exemples '' 19
2.
Propriétés des mesures 21
3.
Le théorème de prolongement 25
4.
Propriétés vérifiées presque partout 32
5.
Exercices 33
III.
INTÉGRALE DE LEBESGUE
1.
Intégrale supérieure 35
2.
Intégrale d'une fonction mesurable 39
3.
Propriétés de l'intégrale 41
4.
Le théorème de Lebesgue 43
5.
Applications du théorème de Lebesgue 46
6.
Exercices 48
IV.
MESURES PRODUIT, MESURES IMAGES ET DENSITÉS
1.
Le théorème de Fubini 51
2.
Mesure image et transfert. ' ' 54
3.
Mesures à densité 55
4.
Le théorème de Radon-Nikodym 57
5.
Exemples 62
6.
Exercices 65
V.
ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES
1.
Généralités 67
2.
E.V.T. localement convexes 69
3.
Séries et familles sommables 72
4.
Quelques exemples concrets d'E.V.T 76
5.
Exercices 78
VI.
APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES
1.
Généralités 81
2.
Quelques théorèmes importants 84
3. Le Théorème de Hahn-Banach
4. Exemples
5. Exercices
VII. DUALITÉ DANS LES ESPACES NORMÉS
1. Notations et définitions
2. Réflexivité :
3. Transposition
4. Exercices
VIII. ESPACES DE HILBERT
1. Formes bilinéaires '
2. Généralités sur les espaces de Hilbert
3. Dualité dans les espaces de Hilbert
4. Sommes et bases hilbertiennes
5. Un exemple de base hilbertienne
6. Exercices
IX. OPÉRATEURS BORNÉS
1. Définitions et premières propriétés
2. Spectre d'un opérateur
3. Opérateurs compacts .'
4. Spectre d'un opérateur compact ,
5. Exercices
X. OPÉRATEURS DANS LES ESPACES DE HILBERT
1. Adjoint et opérateurs hermitiens
2. Opérateurs positifs
3. Spectre d'un opérateur hermitien compact
4. Exemple d'utilisation du spectre
5. Exercices
XI. APPLICATION AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
1. Généralités sur les équations différentielles
2. Équations linéaires
3. Le problème de Sturm-Liouville
4. Exercices · APPENDICE: AXIOME DU CHOIX ET LEMME DE ZORN
COMPLÉMENTS 1 : CALCUL DE VOLUMES
'
COMPLEMENTS 2 : INTEGRALE DE RIEMANN
SOLUTIONS DES EXERCICES
BIBLIOGRAPHIE
INDEX ALPHABÉTIQUE
86
93
95
98
101
105
106
110
112
115
116
120
123
127
130
133
137
141
146
150
152
155
156
159
162
165
170
172
174
1 180
185
241
243
Avis clients
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