Des équations différentielles aux systèmes dynamiques II
Vers la théorie des systèmes dynamiques - M1 M2
Cet ouvrage s'adresse aux étudiants d'un master de mathématiques ou de physique théorique, mais il peut aussi être employé avec profit par toute personne cherchant des informations sur les aspects topologiques de la théorie des systèmes dynamiques.Il est une introduction à certains aspects de la théorie des systèmes dynamiques [...]
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Auteur : Robert ROUSSARIE , Jean ROUX
Editeur : Edp Sciences
Collection : Enseignement Sup Mathématiques
Date parution : 01/2012sous 4 à 8 jours
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Quel est le sujet du livre "Des équations différentielles aux systèmes dynamiques II"
Cet ouvrage s'adresse aux étudiants d'un master de mathématiques ou de physique théorique, mais il peut aussi être employé avec profit par toute personne cherchant des informations sur les aspects topologiques de la théorie des systèmes dynamiques.
Il est une introduction à certains aspects de la théorie des systèmes dynamiques s'appuyant sur la théorie développée dans le tome I, publié dans la même collection (Théorie élémentaire des équations différentielles avec éléments de topologie différentielle).
On ne propose pas un exposé systématique du sujet. Les auteurs ont voulu, au contraire, se concentrer sur quelques thèmes de nature assez topologique et les développer avec détails, comme par exemple les idées de René Thom sur généricité et transversalité, l'étude locale au voisinage des singularités hyperboliques, la stabilité structurelle.
La théorie des bifurcations est largement présentée, ainsi que les résultats et méthodes de cette théorie pour les champs de vecteurs de dimension 2. Chaque chapitre est illustré par de nombreux exemples.
Robert Roussarie, ancien élève de l'Ecole Polytechnique, a soutenu une thèse en mathématiques sur la théorie des feuilletages. Il a été chercheur au CNRS puis professeur à l'Université de Bourgogne. Il est un spécialiste des équations différentielles (bifurcations des champs de vecteurs du plan, 16e problème de Hilbert, systèmes lents-rapides en dimension 2). Jean Roux a soutenu une thèse en mathématiques à l'Université de Paris. Il a été ingénieur-chercheur aux Etudes et Recherches de l'EDF et maître de conférences en analyse numérique aux Ponts et Chaussées. Il est actuellement enseignant en mathématiques appliquées au département Géosciences de l'ENS.
En suivant ce lien, retrouvez tous les livres dans la spécialité Systèmes dynamiques.Sommaire et contenu du livre "Des équations différentielles aux systèmes dynamiques II - Vers la théorie des systèmes dynamiques - M1 M2"
TABLE DES MATIÈRESAvant-Propos Vil
1
Introduction 1
1.1
Modélisation d'évolutions par champs de vecteurs et itérations 1
1.2
Équivalences entre systèmes dynamiques ..... 5
1.3
Un survol des propriétés des systèmes dynamiques 8
1.4
Exemples de systèmes dynamiques. 12
1.5
Plan du tome 2 . 18
2
Généricité et transversalité 23
2.1
Germe . 23
2.2
Topologie sur les espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1
Convergence de classe Ck sur les ouverts euclidiens 24
2.2.2
Généralisation aux variétés ... 31
2.3
Lanotiondegénéricité . . . . . . . . . . 32
2.4
Le lemme fondamental de transversalité. 35
2.5
Le théorème de transversalité de Thom 42
2.5.1
Le cas euclidien ..... 42
2.5.2
Formulation générale 45
2.6
Exemples de propriétés génériques 50
2.7
Remarques finales . 52
2.7.1
Intérêt et limite du théorème de transversalité 52
2.7.2
Topologie de Whitney 54
2.7.3
Notion de singularité 55
3
Étude locale des singularités hyperboliques 59
3.1
Points singuliers et points fixes hyperboliques. 59
3.2
Champs et difféomorphismes linéaires hyperboliques 62
3.2.1
Champs contractants et contractions hyperboliques 65
3.2.2
Cas général d'un point de selle linéaire 70
3.3
Variétés invariantes locales 73
3.3.1
Variétés invariantes locales pour les difféomorphismes 74
3.3.2
Variétés invariantes locales pour les champs
de vecteurs 78
3.4
Le À-Lemma de Palis 81
3.4.1
Quelques estimations préalables 83
3.4.2
Suites convergentes 85
3.
.3 Énoncés et preuves du À-Lemma 88
3.5
Feuilletages invariants locaux . 96
3.5.1
Le cas des champs de vecteurs 96
3.5.2
Le cas des difféomorphismes 99
3.6
Linéarisation topologique locale 102
3.7
Variétés invariantes globales 105
4
Systèmes dynamiques structurellement stabl s 111
4.1
Introduction 111
4.2
Stabilité structurelle locale 112
4.3
Stabilité des champs en dimension 1 . 116
4.4
Stabilité structurelle des champs sur les surfaces de genre 0 118
4.5
Stabilité structurelle des champs sur les surfaces de genre ~ 1 125
4.5.1
Champs de vecteurs du tore T2 sans singularités 125
4.5.2
Le cas général 135
.
6 Les systèmes de Morse-Smale généraux 137
4.7
Les ensembles hyperboliques 139
4.7.1
Le fer à cheval de Smale . 139
4.7.2
Généralités sur les ensembles hyperboliques 156
4.7.3
Quelques autres exemples de systèmes hyperboliques 159
4.
Au-delà de la stabilité structurelle 163
4.
.1 Non-généricité de la stabilité structurelle 163
.8.
2 Attracteurs non hyperboliques 165
5
Le bases de la théorie d s bifurcations 167
5.1
Introduction 167
5.2
Premiers exemples de bifurcation 167
5.3
Déploiements versels pour les singularités 179
5.4
Réduction à une variété centrale 188
5.4.1
Champs de vecteurs et difféomorphismes 188
5.4.2
Déploiements de champs de vecteurs
et de difféomorphismes . . . . . . . . 189
5.5
Déploiements de type selle-nœud . 192
5.5.1
Déploiements de type selle-nœud sur JR 192
5.5.2
Déploiements de type selle-nœud sur JR2 196
5.6
Formesnormales .................. 197
5.6.
Formes normales pour les champs de vecteurs. 198
5.6.2
Formes normales pour les déploiements de champs 205
5.6.3
Formes normales pour les difféomorphismes 206
.
7 BifurcationsdeHopf-Takens . . . . . . . . . . . . . 206
5.7.1
Digression sur les homéomorphismes de JR+ 209
5.7.2
Démonstration du théorème 5.14 ..... 214
5.7.3
Caractérisation des déploiements versels . 217
6
Compléments théorie des bifurcations 225
6.1
Désingularisation........................ 226
6.1.1
Désingularisation des germes de champs de vecteurs
en 0 E JR2..................... 228
6.1.2
Désingularisation des déploiements de champs
de vecteurs en 0 E JR2 ...... 233
6.2
La bifurcation de Bogdanov-Takens . . . 240
6.3
Déploiements de champs en dimension 2 243
6.3.1
Singularités de codimension ::; 2 245
6.3.2
Sous-filtrations particulières. . . 246
6.3.3
Singularités de codimension::; 3 247
6.
Déploiements d'orbites périodiques et polycycles 248
6.4.1
Bifurcation des orbites périodiques. . . 250
6.4.2
Connection de selle de codimension 1 . 251
6.4.3
Déploiements génériques de polycycles hyperboliques 256
6.4.4
Connection de selle de codimension quelconque .. 256
6.4.5
Autres résultats sur les bifurcations de polycycles 258
6.5
Bifurcations globales sur la sphère . . . . . . . . . . . 260
6.5.1
Le problème de la cyclicité finie 260
6.5.2
Le seizième problème de Hilbert infinitésimal 265
6.5.3
Difficulté d'une théorie de bifurcation globale 271
7
Le système de Lorenz 275
7.1
Les équations de la convection . . . . . . . . 276
7.2
Formulation et approximation variationnelles 277
7.3
Considérations générales ... . . . . . . . . 279
7.4
Hypothèses du modèle et fonctions de base . . . . 281
7.4.1
Lesconditionslimites . . . . . . . . . . . 282
7.4.2
Construction modale des fonctions 'IjJ et e 283
7.5
Le modèle de Lorenz . 285
7.6
Étude partielle du modèle de Lorenz. . . . . . . . 287
7.6.1
Propriété de confinement du flot de Xa,b,r 287
7.6.2
Étude des points singuliers de Xa,b,r ... 289
7.6.3
Sous-criticité de la bifurcation de Hopf
et comportement du modèle pour r > ra . 299
Bibliographie 309
Index 315
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