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Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I - Théorie élémentaire des équations différentielles avec éléments de topologie différentielle - edp sciences - 9782759805129 - Livre - Unitheque.com
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Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I Théorie élémentaire des équations différentielles avec éléments de topologie différentielle
Cet ouvrage est une introduction élémentaire à la théorie des équations différentielles.Il est destiné à illustrer un cours classique sur les équations différentielles dans le cadre d'une licence de mathématiques, mais il peut également servir d'initiation aux notions de base indispensables aux [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I"
Cet ouvrage est une introduction élémentaire à la théorie des équations différentielles.
Il est destiné à illustrer un cours classique sur les équations différentielles dans le cadre d'une licence de mathématiques, mais il peut également servir d'initiation aux notions de base indispensables aux applications. Une première partie est consacrée à des pré- requis de calcul différentiel et de topologie différentielle : définition des termes et notions de base utilisées par la suite, concernant aussi bien le calcul différentiel dans un espace euclidien que la topologie différentielle.
La deuxième partie est la matière d'un cours classique sur les équations différentielles. Les champs linéaires et les propriétés générales des trajectoires sont donc évidemment exposés. Mais, dans la tradition initiée par Henri Poincaré, on insiste aussi sur les aspects qualitatifs du comportement des solutions, avec l'introduction de la notion de flot d'un champ de vecteurs, qui joue un rôle fondamental car elle sert de base à l'étude essentielle des propriétés de récurrence et de stabilité des orbites.
La notion d'application de Poincaré d'une orbite périodique est développée et quelques résultats importants de la théorie qualitative sont démontrés.
Les lecteurs trouveront un développement de cet ouvrage dans le tome II, publié dans la même collection (Vers la théorie des systèmes dynamiques).
Auteurs :
Robert Roussarie, ancien élève de l'Ecole Polytechnique, a
soutenu une thèse en mathématiques sur la théorie des
feuilletages. Il a été chercheur au CNRS puis professeur à
l'Université de Bourgogne. II est un spécialiste des équations
différentielles (bifurcations des champs de vecteurs du plan,
16e problème de Hilbert, systèmes lents-rapides en dimension
2). Jean Roux a soutenu une thèse en mathématiques à
l'Université de Paris. Il a été ingénieur-chercheur aux Etudes
et Recherches de l'EDF et maître de conférences en analyse
numérique aux Ponts et Chaussées. Il est actuellement
enseignant en mathématiques appliquées au département
Géosciences de l'ENS.
Sommaire
Sommaire et contenu du livre "Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I - Théorie élémentaire des équations différentielles avec éléments de topologie différentielle"
TABLE DES MATIÈRES
Avant-Propo vii
1 Éléments de topologie différentielle 1
1
Préliminaires d calcul différentiel 3
1.1
Différentielle........... 3
1.1.1
Définitions....... 3
1.1.2
Expressions de la différentielle 7
1.1.3
Composition des différentielles 9
1.~
Formule des accroissements finis .... 10
1.3
Théorème de l'inverse, difféomorphisme 10
1.4
Théorème des fonctions implicites 14
2
Variétés et sous-variétés 19
2.1
Variétés différentiables 19
2.1.1
Définitions.. 20
2.1.2
Topologie quotient 22
2.1.3
Exemples de variétés. 23
2.1.
Difféomorphisme entre variétés 27
2.2
Sous-variété d'un ouvert de ]Rn ..... 30
2.2.1
Codimension. Sous-espaces vectoriels transverses 30
2.2.2
Définition d'une sous-variété d'un ouvert de ]Rn . 31
2.2.3
Premiers exemples de sous-variétés . 33
2.2.4
Espace tangent en un point d'une sous-variété 34
2.3
Valeur régulière d'application différentiable ..... 35
2.3.1
Équation cartésienne d'une sous-variété .. 35
2.3.2
Existe-t-il beaucoup de valeurs régulières? 38
2.4
Compléments sur les variétés . . . . . . . . . 42
2.4.1
Espace tangent à une variété . . . . 42
2..2 Plongement, immersion, submersion 44
2.4.3
Distance sur une variété . 48
2.4.4
Transversalité 51
3
Points singuliers de fonctions 51
3.1
Dérivées partielles d'ordre supérieur . 57
3.1.1
Définitions, notations et propriétés de base . 57
3.1.2
Approximation de f au voisinage d'un point 58
3.2
Points singuliers d'une fonction sur un ouvert. 61
3.2.1
Extremums . 61
.2.
2 Rappels sur les formes quadratiques . 62
3.2.3
Condition suffisante d'extrémalité .. 64
3.3
Point singulier d'une fonction sur une sous-variété 74
3.3.1
Définitions et exemples ... 74
3.3.2
Multiplicateurs de Lagrange 77
3.3.3
Le cas de la codimension 1 . 78
II Théorie élémentaire des équations différentielles 81
1
Généralité 83
1.1
Définition des champs de vecteurs . . . . . . . 83
1.2
Image d'un champ par un difféomorphisme .. 85
1.3
Équation différentielle d'un champ de vecteurs 87
lA Équations différentielles générales . . . . . . . 89
2
Champs de v cteurs linéaires 93
2.1
Étude théorique . 93
2.2
Résolution explicite . 100
2.3
Les champs linéaires de vecteurs de ]R2 107
3
Propriétés générales des trajectoir 111
3.1
Leprincipedupointfixe .......... 111
3.2
Existence et unicité locales des trajectoires 113
3.3
Flot d'un champ de vecteurs . 118
3.3.1
Trajectoire maximale . . . . . . 118
3.3.2
Propriétés différentiables du flot 121
3.3.3
Groupe à I-paramètre . 123
3.3.4
Équivalence à des champs de vecteurs à flot complet 127
3.3.5
Exemples de flots . 132
4
Analyse qualitativ de trajectoires 135
4.1
Champ sur une variété, intégrale première 135
4.2
Type topologique des trajectoires 139
4.3
Théorème du voisinage tubulaire. 142
4.4
Indice des points singuliers isolés . 148
5
Récurrence 159
5.1
Propriétés des ensembles limites . 160
5.2
Orbites récurrentes . 164
5.3
Récurrence pour les champs de vecteurs d'un ouvert
de la sphère . 171
5.3.1
Préambule: le théorème de Jordan . 172
5.3.2
Théorème de Poincaré-Bendixson . 179
5.3.3
Applications du théorème de Poincaré-Bendixson . 181
5.3.4
Vers la théorie de Poincaré-Bendixson . 184
6
Orbites et champs périodiques 187
6.1
Orbites périodiques . 188
6.2
Section globale, suspension . 197
6.2.1
Section globale pour un champ de vecteurs 197
6.2.2
Suspension d'un difféomorphisme. 198
6.3
Champs de vecteurs périodiques . 204
7
Stabilit' d s trajectoires 213
7.1
Stabilité d'un point singulier d'un champ de vecteurs 214
7.1.1
Différents types de stabilité 215
7.1.2
Théorèmes de stabilité . 219
7.2
Stabilité d'une orbite périodique . 229
7.2.1
Différents types de stabilité pour une orbite
périodique . 229
7.2.2
Différents types de stabilité pour un point fixe
de difféomorphisme . 231
7.2.3
Relation entre la stabilité d'une orbite périodique
et celle de ses applications de Poincaré 232
7.2.4
Théorèmes de stabilité . 234
Bibliographie 239
Index 241
Avis clients
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