Cours de mathématiques Seconde année PSI - PSI*
Nouveau programme. Exercices corrigés, travaux dirigés.

Sommaire et contenu du livre "Cours de mathématiques Seconde année PSI - PSI* - Nouveau programme. Exercices corrigés, travaux dirigés."

Table des matières 1. ESPACES VECTORIELS 1 1. Sommes directes 1 A. Somme 1 B. Définition de la somme directe et premières propriétés 2 C. Décomposition de E en somme directe 3 II. Applications linéaires 5 A. Théorème fondamental 5 B. Dualité 6 III. Calcul matriciel 10 A. Matrices élémentaires 10 B. Utilisation de blocs 10 C. Trace 11 Exercices 13 Travaux dirigés 27 Noyaux itérés 27 Autour des involutions 30 Génération de SL2(Z) 31 Inverse généralisée 32 Commutateurs 34 Automorphismes de .c(E) 36 Fonctions de deux variables 39 Splines cubiques 43 2. DÉTERMINANTS 45 1. Groupe symétrique 45 A. Définition et structure 45 B. Signature . 46 II. Déterminant de n vecteurs 47 A. Formes n-linéaires alternées 47 B. Déterminant de n vecteurs 49 III. Déterminant d'un endomorphisme 50 IV. Déterminant d'une matrice carrée 51 A. Définition et propriétés 51 B. Développement suivant une ligne ou une colonne 53 C. Quelques calculs 54 V. Applications des déterminants 55 A. Calcul de l'inverse d'une matrice 55 B. Orientation d'un espace vectoriel réel 56 C. Caractérisation d'une famille libre 56 D. Résolution de systèmes linéaires 57 Exercices 59 Travaux dirigés 69 Formule de Sylvester et déterminant de Hankel 69 Quelques propriétés de la comatrice 73 3. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES 75 1. Sous-espaces vectoriels stables 75 A. Définitions 75 B. Décomposition en somme directe 76 II. Polynômes d'endomorphisme 76 A. Généralités 76 B. Idéaux de K[X] 78 C. Polynômes annulateurs 78 III. Éléments propres 79 A. Cas d'un endomorphisme 79 B. Cas d'une matrice 82 C. Polynôme caractéristique 83 IV. Réduction en dimension finie 86 A. Diagonalisation 86 B. Trigonalisation 91 Exercices 93 Travaux dirigés 104 Convergence de (Am) 104 Projecteurs spectraux 105 Problème de Dirichlet discret 106 Endomorphismes de 9Rn (C) conservant le rang 109 Produit tensoriel 113 Pseudcrréflexions et polynômes réciproques 115 4. SÉRIES RÉELLES ET COMPLEXES 119 I. Généralités . 119 A. Définitions 119 B. Exemples de base 120 C. Critère de Cauchy 121 D. Absolue convergence 122 E. Opérations sur les séries 122 II. Séries à termes positifs 124 A. Généralités 124 B. Comparaison à une série à termes positifs 125 III. Séries alternées . 128 A. Définition et théorème 128 B. Application 129 Exercices 130 Travaux dirigés 138 Cas douteux de la règle de d'Alembert 138 Critère de la loupe et séries de Bertrand 139 Application de la convergence au sens de Cesàro 140 Sommation de relations de comparaison 142 5. ESPACES VECTORIELS NORMÉS 145 1. Normes 145 A. Définitions 145 B. Exemples fondamentaux 146 C. Nature d'une suite 148 D. Applications lipschitziennes 149 E. Comparaison des normes 150 II. Cas de la dimension finie . 152 A. Suites . 152 B. Parties ouvertes, parties fermées 153 C. Résultats relatifs aux suites réelles 155 D. Limite, continuité 156 E. Compacité 160 F. Applications linéaires, bilinéaires 161 Exercices 163 Travaux dirigés 173 Un théorème de point fixe 173 Des normes sur 9J1n (K) 174 Commutant d'une matrice 176 6. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 179 1. Modes de convergence 179 A. Convergence simple . 179 B. Convergence uniforme 180 C. Convergence normale 182 II. Permutation de limites 183 III. Approximations uniformes sur un segment 185 A. Subdivisions . 185 B. Fonctions continues par morceaux 186 C. Fonctions en escalier 186 D. Théorèmes d'approximation 187 Exercices 188 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL 201 1. Dérivabilité . 201 A. Définitions 201 B. Opérations 202 C. Dérivées d'ordre supérieur 204 D. Difféomorphismes 206 II. Définition de l'intégrale sur un segment 206 A. Cas des fonctions en escalier 206 B. Cas des fonctions continues par morceaux . 208 III. Calcul différentiel, calcul intégral : le lien 212 A. Primitives 212 B. Accroissements finis 213 C. Suites et séries de fonctions 215 D. Calcul intégral 217 E. Formules de Taylor 219 Exercices 222 Travaux dirigés 233 Lemme de Riemann-Lebesgue 233 Point fixe stable . 235 Étude d'une fonction définie par une intégrale 238 Théorèmes de l'Hôpital 239 Approximation polynomiale 241 Formule d'Euler Mac-Laurin 243 Sommes de valeurs d'une fonction en des points équidistants 247 Étude d'une fonction somme d'une série de fonctions 248 Quelques propriétés de la fonction zêta 250 Produits infinis . 252 8. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE 255 . 1. Intégrales impropres convergentes . 255 A. Généralités 255 B. Intégrales impropres de fonctions positives 257 C. Intégrales absolument convergentes . 259 II. Intégration sur un intervalle quelconque 261 A. Intégrabilité 261 B. Propriétés 262 III. Espace vectoriel normé des fonctions intégrables 264 A. Normes 264 B. Convergence dominée 266 C. Intégration terme à terme 267 IV. Intégrales dépendant d'un paramètre 268 A. Continuité 268 B. Dérivabilité 269 Exercices 272 Travaux dirigés 287 Transformation de Laplace 287 Application de la transformation de Laplace à un système différentiel 290 Unité approchée 291 Transformée de Fourier et classe de Schwartz 292 Formule de Stirling . 295 Calcul de 1+00 (Sint(t) rdt 296 Fonction définie par une intégrale 298 Intégration des relations de comparaison 300 Une équation fonctionnelle 301 9. SÉRIES ENTIÈRES 305 1. Rayon de convergence 305 A. Définitions 305 B. Détermination du rayon 306 II. Propriétés de la somme 309 A. Continuité 309 B. Intégration 310 C. Dérivabilité 311 III. Fonctions développables en série entière 312 A. Définitions 312 B. Séries de Taylor . 312 C. Développements classiques 313 Exercices 316 Travaux dirigés 326 Théorème de Bernstein 326 Comportement aux bornes de l'intervalle de convergence 328 Suite pseudo-périodique 331 Étude d'une fonction somme d'une série de fonctions 333 DSE des fonctions de Bessel d'ordre entier 335 Formules de Newton 338 10. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS 339 1. Structure préhilbertienne réelle 339 A. Formes bilinéaires symétriques 339 B. Produit scalaire . 340 C. Orthogonalité 343 D. Projection orthogonale 347 II. Espaces Euclidiens . 349 A. Expressions analytiques 349 B. Isomorphisme canonique 350 C. Adjoint d'un endomorphisme 350 D. Endomophismes autoadjoints 351 E. Groupe orthogonal 352 F. Théorème spectral 356 G. Application aux coniques 357 Exercices 358 Travaux dirigés 370 Caractérisations des espaces euclidiens 370 Matrices symétriques positives 372 Polynômes orthogonaux; généralités 377 Polynômes de Legendre 380 Polynômes de Tchebychev de première espèce 383 Déterminant de Gram . 384 Théorème de Courant-Fischer; inégalités de Weyl 388 Résolution approchée d'équations; pseudo-solution 391 Il. ANALYSE HILBERTIENNE . 399 1. Structure préhilbertienne complexe 399 A. Produit scalaire . 399 B. Orthogonalité 401 C. Projection orthogonale 403 II. Séries de Fourier 404 A. Structure préhilbertienne et extension 404 B. Coefficients de Fourier . 405 C. Extension de l'inégalité de Bessel 407 D. Autres périodes . 408 III. Problèmes de convergence . 408 A. Théorème d'approximation de Weierstrass 408 B. Convergence en moyenne quadratique 409 C. Convergence ponctuelle 410 Exercices 413 Travaux dirigés 426 Propriétés de :F 426 Développements Eulériens 428 Développement en série de Fourier des polynômes de Bernoulli 431 Phénomène de Gibbs pour une fonction créneau . 433 Formule sommatoire de Poisson et fonction théta de Jacobi 434 Théorème de Müntz 437 12. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 439 1. Équations linéaires vectorielles d'ordre 1 439 A. Généralités 439 B. Résolution théorique 441 C. Équations scalaires . 443 II. Équations linéaires scalaires d'ordre 2 445 A. Vocabulaire 445 B. Transformation du problème . 446 C. Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire 446 D. Étude de l'équation homogène 446 E. Équation à coefficients constants . 447 F. Méthode de variation des constantes 447 G. Méthodes particulières . 448 III. Équations non linéaires 450 Exercices 451 Travaux dirigés 463 Entrelacement de Sturm 463 Lemme de Gronwall; applications 465 Méthode d'approximation d'Euler 467 13. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 471 1. Calcul différentiel 471 A. Généralités 471 B. Opérations sur l'ensemble des applications de classe Cl 474 C. Algèbre Cl (U, K) 477 D. Dérivées partielles d'ordre k ~ 2 . 480 II. Compléments de calcul intégral 481 A. Formes différentielles 481 B. Intégrale curviligne 483 C. Intégrales doubles 484 Exercices 487 Travaux dirigés 496 Équation aux dérivées partielles 496 Équation des cordes vibrantes 499 14. GÉOMÉTRIE 503 1. Arcs paramétrés 503 A. Généralités 503 B. Paramétrages 504 C. Étude métrique 504 II. Courbes planes 505 A. Étude locale d'une courbe paramétrée 505 B. Premier théorème des fonctions implicites 508 C. Propriétés métriques 509 III. Surfaces 509 A. Surface paramétrée . 509 B. Surface définie par une équation cartésienne 510 C. Intersection de deux surfaces 511 D. Quadriques 511 Exercices 517 Travaux dirigés 528 Tore 528 Ruban de Moëbius 531 Courbe définie par une condition différentielle 533 Chaînette 535 Spirale logarithmique 536 INDEX. 539