Ce livre est écrit à l'intention des étudiants des classes préparatoires de seconde année PSI, PSI*.Il est conforme au programme en vigueur à partir de septembre 2004.Il s'efforce de respecter tant l'esprit que la lettre du programme qui a été rédigé de façon à [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Cours de mathématiques Seconde année PSI - PSI*"
Ce livre est écrit à l'intention des étudiants des classes préparatoires de seconde année PSI, PSI*.
Il est conforme au programme en vigueur à partir de septembre 2004.
Il s'efforce de respecter tant l'esprit que la lettre du programme qui a été rédigé de façon à la fois directive pour les enseignants et contraignante pour les examinateurs des concours.
Sommaire et contenu du livre "Cours de mathématiques Seconde année PSI - PSI* - Nouveau programme. Exercices corrigés, travaux dirigés."
Table des matières
1.
ESPACES VECTORIELS 1
1.
Sommes directes 1
A.
Somme 1
B.
Définition de la somme directe et premières propriétés 2
C.
Décomposition de E en somme directe 3
II.
Applications linéaires 5
A.
Théorème fondamental 5
B.
Dualité 6
III.
Calcul matriciel 10
A.
Matrices élémentaires 10
B.
Utilisation de blocs 10
C.
Trace 11
Exercices 13
Travaux dirigés 27
Noyaux itérés 27
Autour des involutions 30
Génération de SL2(Z) 31
Inverse généralisée 32
Commutateurs 34
Automorphismes de .c(E) 36
Fonctions de deux variables 39
Splines cubiques 43
2.
DÉTERMINANTS 45
1.
Groupe symétrique 45
A.
Définition et structure 45
B.
Signature . 46
II.
Déterminant de n vecteurs 47
A.
Formes n-linéaires alternées 47
B.
Déterminant de n vecteurs 49
III.
Déterminant d'un endomorphisme 50
IV.
Déterminant d'une matrice carrée 51
A.
Définition et propriétés 51
B.
Développement suivant une ligne ou une colonne 53
C.
Quelques calculs 54
V.
Applications des déterminants 55
A.
Calcul de l'inverse d'une matrice 55
B.
Orientation d'un espace vectoriel réel 56
C.
Caractérisation d'une famille libre 56
D.
Résolution de systèmes linéaires 57
Exercices 59
Travaux dirigés 69
Formule de Sylvester et déterminant de Hankel 69
Quelques propriétés de la comatrice 73
3.
RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES 75
1.
Sous-espaces vectoriels stables 75
A.
Définitions 75
B.
Décomposition en somme directe 76
II.
Polynômes d'endomorphisme 76
A.
Généralités 76
B.
Idéaux de K[X] 78
C.
Polynômes annulateurs 78
III.
Éléments propres 79
A.
Cas d'un endomorphisme 79
B.
Cas d'une matrice 82
C.
Polynôme caractéristique 83
IV.
Réduction en dimension finie 86
A.
Diagonalisation 86
B.
Trigonalisation 91
Exercices 93
Travaux dirigés 104
Convergence de (Am) 104
Projecteurs spectraux 105
Problème de Dirichlet discret 106
Endomorphismes de 9Rn (C) conservant le rang 109
Produit tensoriel 113
Pseudcrréflexions et polynômes réciproques 115
4.
SÉRIES RÉELLES ET COMPLEXES 119
I.
Généralités . 119
A.
Définitions 119
B.
Exemples de base 120
C.
Critère de Cauchy 121
D.
Absolue convergence 122
E.
Opérations sur les séries 122
II.
Séries à termes positifs 124
A.
Généralités 124
B.
Comparaison à une série à termes positifs 125
III.
Séries alternées . 128
A.
Définition et théorème 128
B.
Application 129
Exercices 130
Travaux dirigés 138
Cas douteux de la règle de d'Alembert 138
Critère de la loupe et séries de Bertrand 139
Application de la convergence au sens de Cesàro 140
Sommation de relations de comparaison 142
5.
ESPACES VECTORIELS NORMÉS 145
1.
Normes 145
A.
Définitions 145
B.
Exemples fondamentaux 146
C.
Nature d'une suite 148
D.
Applications lipschitziennes 149
E.
Comparaison des normes 150
II.
Cas de la dimension finie . 152
A.
Suites . 152
B.
Parties ouvertes, parties fermées 153
C.
Résultats relatifs aux suites réelles 155
D.
Limite, continuité 156
E.
Compacité 160
F.
Applications linéaires, bilinéaires 161
Exercices 163
Travaux dirigés 173
Un théorème de point fixe 173
Des normes sur 9J1n (K) 174
Commutant d'une matrice 176
6.
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 179
1.
Modes de convergence 179
A.
Convergence simple . 179
B.
Convergence uniforme 180
C.
Convergence normale 182
II.
Permutation de limites 183
III.
Approximations uniformes sur un segment 185
A.
Subdivisions . 185
B.
Fonctions continues par morceaux 186
C.
Fonctions en escalier 186
D.
Théorèmes d'approximation 187
Exercices 188
7.
CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL 201
1.
Dérivabilité . 201
A.
Définitions 201
B.
Opérations 202
C.
Dérivées d'ordre supérieur 204
D.
Difféomorphismes 206
II.
Définition de l'intégrale sur un segment 206
A.
Cas des fonctions en escalier 206
B.
Cas des fonctions continues par morceaux . 208
III.
Calcul différentiel, calcul intégral : le lien 212
A.
Primitives 212
B.
Accroissements finis 213
C.
Suites et séries de fonctions 215
D.
Calcul intégral 217
E.
Formules de Taylor 219
Exercices 222
Travaux dirigés 233
Lemme de Riemann-Lebesgue 233
Point fixe stable . 235
Étude d'une fonction définie par une intégrale 238
Théorèmes de l'Hôpital 239
Approximation polynomiale 241
Formule d'Euler Mac-Laurin 243
Sommes de valeurs d'une fonction en des points équidistants 247
Étude d'une fonction somme d'une série de fonctions 248
Quelques propriétés de la fonction zêta 250
Produits infinis . 252
8.
INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE 255
. 1.
Intégrales impropres convergentes . 255
A.
Généralités 255
B.
Intégrales impropres de fonctions positives 257
C.
Intégrales absolument convergentes . 259
II.
Intégration sur un intervalle quelconque 261
A.
Intégrabilité 261
B.
Propriétés 262
III.
Espace vectoriel normé des fonctions intégrables 264
A.
Normes 264
B.
Convergence dominée 266
C.
Intégration terme à terme 267
IV.
Intégrales dépendant d'un paramètre 268
A.
Continuité 268
B.
Dérivabilité 269
Exercices 272
Travaux dirigés 287
Transformation de Laplace 287
Application de la transformation de Laplace à un système différentiel 290
Unité approchée 291
Transformée de Fourier et classe de Schwartz 292
Formule de Stirling . 295
Calcul de 1+00 (Sint(t) rdt 296
Fonction définie par une intégrale 298
Intégration des relations de comparaison 300
Une équation fonctionnelle 301
9.
SÉRIES ENTIÈRES 305
1.
Rayon de convergence 305
A.
Définitions 305
B.
Détermination du rayon 306
II.
Propriétés de la somme 309
A.
Continuité 309
B.
Intégration 310
C.
Dérivabilité 311
III.
Fonctions développables en série entière 312
A.
Définitions 312
B.
Séries de Taylor . 312
C.
Développements classiques 313
Exercices 316
Travaux dirigés 326
Théorème de Bernstein 326
Comportement aux bornes de l'intervalle de convergence 328
Suite pseudo-périodique 331
Étude d'une fonction somme d'une série de fonctions 333
DSE des fonctions de Bessel d'ordre entier 335
Formules de Newton 338
10.
ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS 339
1.
Structure préhilbertienne réelle 339
A.
Formes bilinéaires symétriques 339
B.
Produit scalaire . 340
C.
Orthogonalité 343
D.
Projection orthogonale 347
II.
Espaces Euclidiens . 349
A.
Expressions analytiques 349
B.
Isomorphisme canonique 350
C.
Adjoint d'un endomorphisme 350
D.
Endomophismes autoadjoints 351
E.
Groupe orthogonal 352
F.
Théorème spectral 356
G.
Application aux coniques 357
Exercices 358
Travaux dirigés 370
Caractérisations des espaces euclidiens 370
Matrices symétriques positives 372
Polynômes orthogonaux; généralités 377
Polynômes de Legendre 380
Polynômes de Tchebychev de première espèce 383
Déterminant de Gram . 384
Théorème de Courant-Fischer; inégalités de Weyl 388
Résolution approchée d'équations; pseudo-solution 391
Il.
ANALYSE HILBERTIENNE . 399
1.
Structure préhilbertienne complexe 399
A.
Produit scalaire . 399
B.
Orthogonalité 401
C.
Projection orthogonale 403
II.
Séries de Fourier 404
A.
Structure préhilbertienne et extension 404
B.
Coefficients de Fourier . 405
C.
Extension de l'inégalité de Bessel 407
D.
Autres périodes . 408
III.
Problèmes de convergence . 408
A.
Théorème d'approximation de Weierstrass 408
B.
Convergence en moyenne quadratique 409
C.
Convergence ponctuelle 410
Exercices 413
Travaux dirigés 426
Propriétés de :F 426
Développements Eulériens 428
Développement en série de Fourier des polynômes de Bernoulli 431
Phénomène de Gibbs pour une fonction créneau . 433
Formule sommatoire de Poisson et fonction théta de Jacobi 434
Théorème de Müntz 437
12.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 439
1.
Équations linéaires vectorielles d'ordre 1 439
A.
Généralités 439
B.
Résolution théorique 441
C.
Équations scalaires . 443
II.
Équations linéaires scalaires d'ordre 2 445
A.
Vocabulaire 445
B.
Transformation du problème . 446
C.
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire 446
D.
Étude de l'équation homogène 446
E.
Équation à coefficients constants . 447
F.
Méthode de variation des constantes 447
G.
Méthodes particulières . 448
III.
Équations non linéaires 450
Exercices 451
Travaux dirigés 463
Entrelacement de Sturm 463
Lemme de Gronwall; applications 465
Méthode d'approximation d'Euler 467
13.
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 471
1.
Calcul différentiel 471
A.
Généralités 471
B.
Opérations sur l'ensemble des applications de classe Cl 474
C.
Algèbre Cl (U, K) 477
D.
Dérivées partielles d'ordre k ~ 2 . 480
II.
Compléments de calcul intégral 481
A.
Formes différentielles 481
B.
Intégrale curviligne 483
C.
Intégrales doubles 484
Exercices 487
Travaux dirigés 496
Équation aux dérivées partielles 496
Équation des cordes vibrantes 499
14.
GÉOMÉTRIE 503
1.
Arcs paramétrés 503
A.
Généralités 503
B.
Paramétrages 504
C.
Étude métrique 504
II.
Courbes planes 505
A.
Étude locale d'une courbe paramétrée 505
B.
Premier théorème des fonctions implicites 508
C.
Propriétés métriques 509
III.
Surfaces 509
A.
Surface paramétrée . 509
B.
Surface définie par une équation cartésienne 510
C.
Intersection de deux surfaces 511
D.
Quadriques 511
Exercices 517
Travaux dirigés 528
Tore 528
Ruban de Moëbius 531
Courbe définie par une condition différentielle 533
Chaînette 535
Spirale logarithmique 536
INDEX.
539
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