La collection des Manuels de Mathématiques a pour ambition de donner aux étudiants des classes préparatoires scientifiques un outil d'apprentissage et d'approfondissement des mathématiques enseignées dans le cadre de la préparation aux concours. L'étudiant a ainsi à portée de main une aide précieuse, tant pour l'apprentissage du cours que pour l'acquisition des méthodes et des [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "Cours de mathématiques Seconde année MP - MP*"
La collection des Manuels de Mathématiques a pour ambition de donner aux étudiants des classes préparatoires scientifiques un outil d'apprentissage et d'approfondissement des mathématiques enseignées dans le cadre de la préparation aux concours. L'étudiant a ainsi à portée de main une aide précieuse, tant pour l'apprentissage du cours que pour l'acquisition des méthodes et des techniques de résolution des exercices et des problèmes. Ce livre est écrit à l'intention des étudiants des classes préparatoires de seconde année MP, MP*. Il est conforme au programme en vigueur à partir de septembre 2004. Il s'efforce de respecter tant l'esprit que la lettre du programme qui a été rédigé de façon à la fois directive pour les enseignants et contraignante pour les examinateurs des concours.
Sommaire et contenu du livre "Cours de mathématiques Seconde année MP - MP* - Nouveau programme. Exercices corrigés, travaux dirigés."
Table des matières
1.
ALGÈBRE GÉNÉRALE 1
1.
Classes résiduelles 2
A.
Congruence modulo n 2
B.
Morphisme canonique 3
C.
Groupes cycliques 3
II.
Groupes 4
A.
Générations 4
B.
Produit de groupes 6
III.
Anneaux et corps 6
A.
Idéaux d'llll anneau commutatif. 6
B.
Idéaux de Z; anneau (Z/nZ, +,.) 8
C.
Idéaux de K[X] 9
Exercices 10
Travaux dirigés 19
Dévissage du groupe des éléments inversibles de Z/nZ 19
Polynômes cyclotomiques . 22
Somme de carrés et loi de réciprocité quadratique 26
Corps des quaternions; théorème des quatre carrés 28
2.
ESPACES VECTORIELS 33
1.
Familles de vecteurs . 33
A.
Espace K(1) 33
B.
Combinaisons linéaires 33
C.
Bases et applications linéaires 35
II.
Sommes directes 35
A.
Somme 35
B.
Définition de la somme directe et premières propriétés 36
C.
Décomposition de E en somme directe 38
III.
Applications linéaires 39
A.
Théorème fondamental 39
B.
Dualité 41
C.
Trace 46
IV.
Calcul matriciel 47
A.
Utilisation de matrices élémentaires 47
B.
Matrices équivalentes 48
C.
Décomposition de matrices par blocs 48
D.
Opérations élémentaires 49
Exercices 52
Travaux dirigés 68
Espaces vectoriels de matrices non inversibles 68
Codes . 69
Théorème de Burnside (MP*) 72
Groupes multiplicatifs de 9J1n (R) 75
3.
RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES 79
1.
Sous-espaces vectoriels stables 79
II.
Polynômes d'endomorphisme 80
A.
Généralités 80
B.
Théorème de décomposition des noyaux 82
III.
Éléments propres 83
A.
Cas d'un endomorphisme 83
B.
Cas d'une matrice 85
C.
Polynôme caractéristique 86
IV.
Réduction en dimension finie 91
A.
Diagonalisation 91
B.
Trigonalisation 96
Exercices 98
Travaux dirigés 114
Matrices cycliques 114
Sous-algèbres de [,(E) de codimension 1 118
Matrice de Vandermonde . 121
Décomposition de Dunford; applications 123
Suites récurrentes linéaires 127
4.
ESPACES VECTORIELS NORMÉS 129
I.
Normes et distances 129
A.
Définitions 129
B.
Exemples fondamentaux 132
C.
Applications lipschitziennes 134
II.
Suites 135
A.
Nature d'une suite 135
B.
Comparaison des normes 137
C.
Suites extraites. Valeurs d'adhérence 138
D.
Relations de comparaison . 139
E.
Complétude dans un espace vectoriel normé 140
III.
Topologie dans un espace vectoriel normé 142
A.
Voisinages, ouverts, fermés 142
B.
Adhérence, intérieur, frontière 146
IV.
Limites, continuité 147
A.
Limites 147
B.
Comparaisons 150
C.
Continuité 150
D.
Continuité uniforme 153
E.
Homéomorphismes 153
F.
Limite de fonctions à valeurs dans un espace de Banach 154
V.
Applications linéaires, bilinéaires continues 155
A.
Applications linéaires continues 155
B.
Applications bilinéaires continues 157
VI.
Compacité 158
VII.
Espace vectoriel normé de dimension finie 161
VIII.
Connexité par arcs 163
Exercices 165
Travaux dirigés 179
Des normes sur 9J1n(K) 179
Valeurs d'adhérence d'une suite j applications 180
Morphismes continus entre les groupes GLn(C) et C*. 183
5.
SÉRIES . 185
1.
Généralités 185
A.
Définitions 185
B.
Exemples de base 186
C.
Critère de Cauchy 187
D.
Structure d'espace vectoriel 187
II.
Séries à termes réels positifs 188
A.
Généralités 188
B.
Comparaison des séries à termes positifs 189
C.
Développement décimal d'un réel 191
III.
Séries alternées . 192
IV.
Convergence absolue 193
A.
Définition et théorème général 193
B.
Série géométrique dans une algèbre de Banach 194
C.
L'exponentielle 195
D.
Sommation de relations de comparaison 195
E.
Produit de Cauchy 197
Exercices 199
Travaux dirigés 212
Développement asymptotique du reste d'une série de Riemann 212
Régie de Raabe-Duhamel . 213
Transformation d'Abel; premières applications 215
Théorème du point fixe et applications 217
Groupement par paquets 219
Espaces fP 221
6.
SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 225
1.
Divers types de convergence de suites de fonctions 225
II.
Continuité et limites uniformes 229
III.
Approximations de fonctions 231
IV.
Séries de fonctions 236
A.
Divers modes de convergence 236
B.
Propriétés de la somme 238
C.
Séries doubles 239
Exercices 241
Travaux dirigés 252
Weierstrass et Bernstein 252
Théorèmes de Dini . 253
Un produit infini 256
Une convergence vers la fonction exponentielle 259
7.
CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL 263
1.
Dérivation 263
A.
Définitions 263
B.
Opérations 265
C.
Fonctions de classe Ck 268
II.
Intégrale sur un segment 271
III.
Dérivation et intégration 273
A.
Primitives de fonctions continues 273
B.
Accroissements finis 275
C.
Formules de Taylor . 277
D.
Exemple des intégrales de Wallis 277
IV.
Suites et séries de fonctions 278
A.
Convergence en moyenne 278
B.
Dérivation 279
Exercices 281
Travaux dirigés 296
Une suite de fonctions périodiques 296
Intégration approchée . 299
Majoration d'une fonction dérivée 302
Une racine carrée de fonction 304
Théorème de Borel . 307
Fonctions à variation bornée 309
8.
INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE 315
1.
Cas des fonctions positives 315
A.
Intégrabilité . 315
B.
Propriétés de l'intégrale d'une fonction positive 320
II.
Cas des fonctions à valeurs complexes 322
A.
Intégrabilité . 322
B.
Intégrale 323
C.
Extension de l'intégrale 326
D.
Changement de variable 327
E.
Application à l'étude de séries 327
F.
Intégration des relations de comparaison 328
III.
Espace vectoriel normé des fonctions intégrables 329
A.
Normes 329
B.
Convergence dominée 330
C.
Intégration terme à terme des séries de fonctions 331
IV.
Intégrales dépendant d'un paramètre 332
A.
Continuité 332
B.
Dérivabilité 333
C.
Limite . 334
D.
Complément sur la fonction r 335
V.
Intégrales doubles 336
A.
Intégration sur un rectangle 336
B.
Cas des fonctions positives 336
C.
Cas des fonctions à valeurs complexes 338
Exercices 341
Travaux dirigés 363
Fonction définie par une intégrale 363
Convolution et régularisation 365
Transformation de Fourier 368
Transformation de Laplace 372
Méthode de Laplace; application à la formule de Stirling 376
Calcul d'une intégrale . 378
Formule des compléments . 383
Développements asymptotiques de fonctions définies par une intégrale 385
9.
SÉRIES ENTIÈRES 391
1.
Rayon de convergence 391
A.
Définitions 391
B.
Détermination du rayon 392
II.
Propriétés de la somme 395
A.
Continuité 395
B.
Intégration 395
C.
Dérivabilité 396
III.
Fonctions développables en série entière 397
A.
Définitions 397
B.
Séries de Taylor 398
C.
Développements classiques 398
Exercices 401
'fravaux dirigés 419
Théorème de Bernstein 419
Comportement aux bornes de l'intervalle de convergence 421
Inégalités de Cauchy; applications 424
Une équation fonctionnelle 428
Un théorème de Hardy-Littlewood 433
10.
ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS 439
1.
Formes quadratiques 439
A.
Formes bilinéaires symétriques 439
B.
Formes quadratiques 440
C.
Formes bilinéaires symétriques de signe constant 440
D.
Forme quadratique en dimension finie 441
II.
Espaces préhilbertiens réels 443
A.
Produit scalaire . 443
B.
Orthogonalité 446
C.
Projection orthogonale 449
III.
Espaces Euclidiens 451
A.
Expressions analytiques 451
B.
Isomorphisme canonique 452
C.
Adjoint d'un endomorphisme 453
D.
Automorphismes orthogonaux 455
E.
Endomophismes autoadjoints 459
Exercices 464
'fravaux dirigés 475
Matrice et déterminant de Gram 475
Théorème de Courant-Fischer et applications 478
Méthode du gradient conjugué 480
Approximation d'une matrice de rang fixé 481
Conditionnement d'une matrice de Hilbert 486
Norme d'un endomorphisme autoadjoint 492
Formes positives et produit scalaire sur R[X] 497
11.
ANALYSE HILBERTIENNE . 501
1.
Structure préhilbertienne complexe 501
A.
Produit scalaire . 501
B.
Orthogonalité 504
C.
Projection orthogonale 507
II.
Séries de Fourier 508
A.
Structure préhilbertienne et extension 508
B.
Coefficients de Fourier . 509
C.
Extension de l'inégalité de Bessel 510
D.
Autres périodes . 511
III.
Problèmes de convergence 512
A.
Convergence en moyenne quadratique 512
B.
Convergence ponctuelle 514
Exercices 517
Travaux dirigés 533
Inégalité isopérimétrique 533
Polynômes de Bernoulli 535
Méthode de Jackson 539
Théorème de Bochner 544
Formule sommatoire 552
12.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 559
1.
Équations différentielles linéaires 559
A.
Généralités 559
B.
Équations scalaires d'ordre 1 559
C.
Équations linéaires du premier ordre 562
D.
Équations scalaires d'ordre 2 . 568
II.
Équations différentielles non linéaires 571
A.
Systèmes différentiels autonomes dans une partie ouverte de R2 571
B.
Équations non autonomes . 574
C.
Équation autonome sur un intervalle de R 575
Exercices 577
Travaux dirigés 593
Théorème de Cauchy-Lipschitz: une preuve 593
Solutions pseudo-périodiques d'une équation différentielle 596
Fonctions oscillantes 601
Lemme de Gronwall; applications 606
Position d'équilibre d'une équation autonome 610
Équation différentielle de Bessel 613
Une équation de Riccati 617
13.
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 621
I.
Calcul différentiel 621
A.
Généralités 621
B.
Opérations sur l'ensemble des applications de classe Cl 624
C.
Algèbre Cl (U, K) 627
D.
Dérivées partielles d'ordre k ~ 2 629
II.
Complément de calcul intégral 632
A.
Champs de vecteurs, de scalaires 632
B.
Intégrale curviligne 634
C.
Intégrales doubles 635
Exercices 638
Travaux dirigés 649
Endomorphismes conservant un opérateur différentiel 649
Équation aux dérivées partielles 653
14.
GÉOMÉTRIE 657
I.
Arcs paramétrés 657
A.
Généralités 657
B.
Paramétrages 658
C.
Étude métrique 658
II.
Courbes planes 659
A.
Étude locale d'une courbe paramétrée 659
B.
Premier théorème des fonctions implicites 662
C.
Propriétés métriques 663
D.
Étude d'un arc en polaires 664
III.
Surfaces 665
A.
Surface paramétrée 665
B.
Surface définie par une équation cartésienne 665
C.
Intersection de deux surfaces 666
D.
Surfaces usuelles 667
E.
Quadriques 670
Exercices 675
Travaux dirigés 690
Tore et cercles de Villarceau 690
Ruban de Moëbius . 693
Courbe définie par une condition différentielle 695
Chaînette 697
Spirale logarithmique 699
INDEX . 701
Avis clients
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