Sommaire et contenu du livre "Cours de mathématiques PC - PC*"
TABLE DES MATIÈRES
1 Révision 1
1-1 Exercices de révision sur les nombres complexes et les polynômes. 1
1-1.1
Module et argument .. 1
1-1.2
Pentagonerégulier ................. 2
1-1.3
Racinesd'unpolynôme............... 4
1-1.4
Sommes que l'on doit savoir retrouver rapidement 4
1-1.5
Divisibilité...................... 5
1-1.6
Décomposition en facteurs irréductibles sur C et sur lR 5
1-1.7
Interprétation géométrique de sommes 5
1-1.8
Equations algébriques 6
1-1.9
Polynômes................ 7
1-2 Espacesvectoriels ................ 10
1-2.1
Structure canonique de K-espace vectoriel de Kn 11
1-2.2
Structure canonique de K-espace vectoriel de K[X] 11
1-2.3
Structure canonique de K-espace vectoriel de KA . 11
1-2.4
Structure canonique de K-espace vectoriel de E x F 11
1-2.5
Calculs 12
1-2.6
Combinaison linéaire d'une famille de vecteurs 12
1-3 Sous-espacevectoriel .................. 13
1-3.1
Définition et caractérisation . . . . . . . . . . 13
1-3.2
Intersection de s.e.v., sous-espace engendré, famille génératrice ................ 14
1-3.3
Somme de sous-espaces vectoriels 15
1-4 Sous-espace affine . . . . . . . 16
1-5 Famille libre, famille liée, base . . . . 18
1-5.1
Définitions 18
1-5.2
Exemples et exercices corrigés 19
1-6 Base ......... 22
1-6.1
Exemples .. 22
1-6.2
Coordonnées 22
1-7 Exercices corrigés 22
1-8 Exercices 24
2 Espaces vectoriels de dimension finie 27
2-1 Définitionsetpropriétés
. . . . . . . . . . . . .. 27
2-2 Dimensiond'unespaceproduit
. . . . . . . . . . . . . . .. 29
2-3 Sous-espaces vectoriels en dimension finie, rang d'un système de
vecteurs ~()
2-3.1
Opérations élémentaires sur un système de vecteurs 30
2-3.2
Système triangulaire . . . . . . . . . . 31
2-4 Somme directe, sous-espaces supplémentaires 33
2-4.1
Base adaptée à un sous-espace 34
2-4.2
Généralisation 34
2-4.3
Exercices 35
2-5 Projecteurs . 36
2-5.1
Définition géométrique 36
2-5.2
Généralisation. 36
2-6 Exercices ..... 37
3 Applications linéaires 39
3-1 Définitions et propriétés 39
3-1.1
Composition... 39
3-1.2
Isomorphisme.. 40
3-1.3
Détermination d'une application linéaire 40
3-1.4
Recollement linéaire d'applications linéaires 41
3-1.5
Image directe, image réciproque 41
3-1.6
Noyau,image .............. 41
3-1.7
Théorème fondamental d'isomorphisme 42
3-1.8
Théorème du rang 43
3-2 Projecteurs, symétries 45
3-3 K-algèbre L(E) . 46
3-4 Dualité......... 47
3-5 Exercices corrigés . . . 48
3-6 Exercices complémentaires 51
4 Matrices 53
4-1 Définitions 53
4-1.1
Base canonique de Mn,p(K) .... 53
4-1.2
Matrices d'une application linéaire 54
4-1.3
Produit de matrices 55
4-1.4
Produit par blocs 56
4-1.5
Propriétés . . . . . . 56
4-1.6
Transposition . . . . 56
4-1.7
Vecteurs lignes, vecteurs colonnes 56
4-1.8
Noyau et image d'une matrice 57
4-2 Rang d'une matrice 57
4-2.1
Propriétés 57
4-2.2
Pratique 57
4-3 Algèbre Mn(K) 58
4-3.1
Caractérisation des matrices inversibles 59
4-3.2
Propriétés ............... 59
4-3.3
Sous-espaces particuliers de Mn(K) 59
4-4 Matrice de changement de base . . . . . . . 60
4-5 Effet d'un changement de bases sur la matrice d'une application
linéaire 61
4-6 Matrices équivalentes 61
4-7 Matricessemblables. ....................... .. 62
4-7.1
Effet d'un changement de base sur la matrice d'un endomorphisme 62
4-7.2
Propriétés ......................... .. 63
4-7.3
Traced'unematrice carrée. . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
4-7.4
Caractérisation du rang d'une matrice à l'aide de matrices
extraites.......................... .. 63
4-8 Opérations élémentaires sur les matrices carrées . . . . . . . . .. 64
4-8.1
Multiplication à droite par les matrices de la base canonique 64
4-8.2
Multiplication à gauche par les matrices de la base canonique 65
4-8.3
Application à la recherche de l'inverse d'une matrice carrée 66
4-8.4
Exemple 67
4-9 Exercices 69
5 Déterminants 75
5-1 Rappels................................ 75
5-2 Formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n 76
5-2.1
Groupe symétrique Sn .................. .. 76
5-2.2
Expression d'une forme n-linéaire alternée dans une base
ordonnée 77
5-2.3
Formedéterminant ................ 77
5-3 Déterminant d'une matrice carrée d'ordre n 79
5-3.1
Propriétés des déterminants de matrices carrées 79
5-3.2
Calcul d'un déterminant . . . . . . . 80
5-3.3
Expression de l'inverse d'une matrice 82
5-4 Formules de Cramer 82
5-5 Exemples de calculs de déterminants . . . 83
5-5.1
Déterminant triangulaire par blocs 83
5-5.2
Déterminant de Vandermonde 84
5-6 Orientation d'un lR-espace vectoriel de dimension finie. 85
5-7 Exercices.......................... 85
6 Systèmes linéaires 89
6-1 Interprétations 89
6-1.1
Définition et première interprétation 89
6-1.2
Deuxième interprétation 90
6-1.3
Troisième interprétation 90
6-1.4
Quatrième interprétation 91
6-2 Résolution de E 91
6-2.1
Conditions de compatibilité 91
6-2.2
Autre méthode . . . . 92
6-3 Applications............. 93
6-3.1
Résoudre les systèmes 93
6-3.2
Calcul de l'inverse d'une matrice 93
6-3.3
Méthode de Gauss 93
6-4 Exercices................... 95
7 Réduction 97
7-1 Sous-espaces stables. . . . . . . . 97
7-1.1
Endomorphisme induit . . 97
7-1.2
Cas de la dimension finie. 97
7-2 Polynômes d'un endomorphisme ou d'une matrice 98
7-2.1
Propriétés ........ 98
7-2.2
Exercices corrigés . . . . 99
7-3 Réduction d'un endomorphisme 100
7-3.1
Valeur propre . 101
7-3.2
Vecteur propre 101
7-3.3
Elément propre 101
7-3.4
Spectre de u 101
7-3.5
Sous-espace propre 101
7-3.6
Exercices ..... 102
7-3.7
Propriétés des vecteurs propres d'un endomorphisme 102
7-4 Valeur propre et vecteur propre d'une matrice carrée A 103
7-4.1
Importanceducorpsde base. . . . . . . . . . . . . . 104
7-4.2
Invariantdesimilitude ................. 104
7-5 Polynôme caractéristique d'un endomorphisme en dimension finie
ou d'une matrice carrée o.................... 104
7-6 Endomorphisme (ou matrice) diagonalisable en dimension finie 105
7-6.1
Définition 105
7-6.2
Propriétés 105
7-7 Exercices corrigés 107
7-8 Exercices 109
8 Suites 115
8-1 Suites de nombres réels. 115
8-1.1
Suite extraite . . 115
8-1.2
Suites bornées 116
8-1.3
Suites convergentes 116
8-1.4
Suites tendant vers 00 118
8-1.5
Suites monotones . . . 118
8-1.6
Opérations sur les suites convergentes 119
8-1.7
Suites de Cauchy . 120
8-1.8
lRestcomplet ............ 120
8-2 Relations de comparaison o........ 124
8-2.1
Suite négligeable devant une autre. 124
8-2.2
Suite dominée par une autre: 125
8-2.3
Suite équivalente à une autre ... 125
8-3 Suites de nombres complexes. . . . . . . . 126
8-3.1
Suites de Cauchy de nombres complexes 127
8-3.2
Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . 127
8-3.3
Relations de comparaison pour les suites de nombres complexes .......................... 128
8-4 Suites de vecteurs de li{!' où li{ =lRouC ........... 128
8-4.1
Définition des suites convergentes de vecteurs de li{!' 128
8-4.2
Propriétés ........................ 128
8-4.3
Suites de polynômes de oc' [X] 129
8-4.4
Suites de matrices. 129
8-5 Exercices complémentaires 130
9 Espaces vectoriels normés 133
9-5 Notion de limite en un point d'une application d'une partie d'un
9-8 Cas des applications linéaires d'un espace vectoriel normé dans un
9-1 Définitions. . . . 133
9-1.1
Norme.. 133
9-1.2
Propriétés 133
9-1.3
Exemples 134
9-1.4
Distance associée à une norme. 137
9-2 Boules .................. 137
9-3 Suites dans un espace vectoriel normé. 139
9-4 Topologie d'un espace vectoriel normé. 142
espace vectoriel normé dans un autre 144
9-5.1
Théorèmeetdéfinition . . . . . . . . . . . . 144
9-5.2
Composition.................. 145
9-5.3
Extension dans le cas où E = R et a = ±oo 145
9-5.4
Extension dans le cas où F = R et b = ±oo 145
9-5.5
Caractérisations séquentielles d'existence de limite. 146
9-5.6
Conséquences ................ 146
9-6 Relations de comparaison au voisinage d'un point 147
9-6.1
f = o(c.p) en a . 147
9-6.2
f = O(c.p) en a 147
9-7 Notion de continuité . 147
9-7.1
Image réciproque d'ouverts, de fermés. 148
9-7.2
Partie compacte 149
autre............... 154
9-8.1
Norme subordonnée. . . 154
9-9 Cas des applications bilinéaires 155
9-10 Exercices complémentaires .. 156
10 Séries de nombres réels ou complexes 163
10-1 Séries et suites 163
10-1.1
Séries convergentes . . . . . . . 164
10-1.2
Cas particulier des nombres complexes 166
10-1.3
Séries absolument convergentes 166
10-1.4
Séries alternées . . . . . . . 167
10-2 Séries de nombres réels positifs 168
10-2.1
Théorèmes de comparaison. 168
10-2.2
Applications. . . . . 170
10-2.3
Exercices corrigés . . . . . . 171
10-3 Comparaison aux intégrales .... 174
10-3.1
Encadrement de l'intégrale d'une fonction positive monotonesurunsegment ..................... 174
10-3.2
Utilisation de l'encadrement pour majorer l'erreur sur la
somme d~une sérieconvergente. ............... 175
10-3.3
Utilisation de l'encadrement pour étudier une série divergente175
10-3.4
FormuledeStirling ................... 176
10-3.5
Utilisation du théorème de Césaro (hors programme) 177
10-3.6
Développement décimal d'un réel positif 177
10-4 Séries à termes quelconques 178
10-4.1
Conseils pratiques. 178
10-4.2
Exercices corrigés . . 179
10-5 Produit de Cauchy . . . . . 179
10-5.1
Sommation par tranches 181
10-5.2
Changement dans l'ordre des termes 182
10-6 Exercices complémentaires . . . . . . . 183
11 Fonctions réelles cl 'une variable réelle 189
11-1 Rappels sur les fonctions de IR dans IR 189
11-1.1
Complément: critère de Cauchy. . 189
11-1.2
Image par une application continue 190
11-1.3
Monotonie, homéomorphisme 191
11-2 Dérivation des fonctions réelles . . . . . . 192
11-2.1
Extrema . 193
11-2.2
Théorème de Rolle et ses conséquences 193
11-2.3
Prolongement d'une fonction de classe Cl sur Ja, b[ 196
11-3 Fonctionsconvexes .................. 197
11-4 Exercices........................ 201
11-5 Comparaison des fonctions au voisinage d'un point 205
11-5.1
Définitions......... 205
11-5.2
Propriétés ........... 206
11-5.3
Propriétés de l'équivalence. . 207
11-5.4
Opération sur les équivalents. 208
11-5.5
Equivalents et somme 209
11-6 Complément sur la dérivation 209
11-6.1
Structure, opérations . 210
11-6.2
Fonctions de classe Ck 211
11-6.3
Ck difféomorphismes. . 211
11-6.4
Exercices 213
11-6.5
Rappels sur les fonctions arcsin, arccos, arctan 215
11-7 Exercices......... 217
11-8 Développements limités. . . . . . . . . . . . 219
11-8.1
Généralités . . . . 219
11-8.2
Développement limité et dérivabilité. 221
11-8.3
'Intégration' d'un développement limité 222
11-8.4
Théorème de Taylor-Young. . . . . . 224
11-8.5
Opérations et développements limités . . 225
11-8.6
Développements asymptotiques . . . . . 228
11-8.7
Applications des développements limités 231
11-9 Suites réelles définies par une itération . . . . 234
11-9.1
Point fixe attractif, point fixe répulsif. 235
11-9.2
Application au calcul numérique. 239
11-9.3
Exercices '),11
12 Intégration 247
12-1 Intégrale d'une fonction continue par morceaux 247
12-1.1
Fonctions continues par morceaux. . . . . . . . . . 247
12-1.2
Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment 248
12-1.3
Fonctions continues par morceaux. . . . . . . . . . 249
12-1.4
Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment.............. 250
12-1.5
Invariance par translation .. 252
12-1.6
Expression à l'aide d'une base 252
12-1.7
Propriétés ...... 253
12-1.8
Norme NI, norme N2 254
12-1.9 Notation lb f(t) dt . 256
'
12-2 Primitives 256
12-2.1
Fonction x ---+ lX f(t) dt, f étant continue par morceaux
sur un intervalle. . . . . 257
12-2.2
Intégration par parties . . . . . . . . . 258
12-2.3
Changement de variable . . . . . . . . 258
12-3 Inégalités des accroissements finis et de Taylor 259
12-3.1
Accroissementfinis . . . . . . . . . . . 259
12-3.2
Formule de Taylor avec reste sous forme intégrale 260
12-4 Théorème de relèvement . 261
12-5 Calculs de primitives . . . . . . . 261
12-5.1
Primitives usuelles . . . . 262
12-5.2
Utilisation de la linéarité. 262
12-5.3
Intégration par changement de variable 263
12-5.4
Intégration par parties . . . . . . . . . 265
12-5.5
Intégration des fractions rationnelles . 266
12-5.6
Intégrales se ramenant à des primitives de fractions rationnelles. ......... 268
12-6 Calculs approchés d'intégrales 276
12-6.1
Méthode des trapèzes. 276
12-6.2
Méthode de Simpson . 277
12-6.3
Accélération de convergence: méthode de Romberg 278
12-7 Exercices............................ 281
13 Suites de fonctions 283
13-1 Convergence simple, convergence uniforme 283
13-1.1
Définitions.............. 283
13-1.2
Techniques de convergence uniforme 285
13-1.3
Interprétation graphique de la convergence uniforme 286
13-1.4
Opérations.............. 286
13-2 Propriétés globales des suites de fonctions ..... 287
13-2.1
Continuité................... 287
13-2.2
Utilisation de la convergence uniforme locale 288
13-2.3
Dérivation. ............... 288
13-2.4
Polynômes: Théorème de Weierstrass ... 289
13-3 Exercices . 289
14 Séries de fonctions, séries entières 291
14-1 Séries de fonctions 291
14-1.1
Définitions 291
14-1.2
Séries absolument simplement convergentes, absolument uniformément convergentes 292
14-1.3
Convergence normale 292
14-2 Propriétés de la somme. 293
14-2.1
Continuité . 293
14-2.2
Dérivabilité . . . 294
14-2.3
Intégration 296
14-2.4
Recherche d'équivalents 296
14-2.5
Exercices 297
14-3Sériesentières . . . . . . . . . . 297
14-3.1
Rayon de convergence . 298
14-3.2
Opérations algèbriques sur les séries entières 300
14-4 Propriétés de la somme d'une série entière . . . . . 301
14-4.1
Convergence normale sur le disque fermé D(O, T] pour T < R 301
14-4.2Dérivation
.............. 302
14-5 Fonctions développables en séries entières 304
14-6 Exercices 307
15 Compléments d'intégration 309
15-1 Intégrale dépendant d'un paramètre 309
15-1.1
Position du problème . 309
15-1.2
Continuité . 309
15-1.3
Dérivabilité d'une intégrale sur un segment dépendant d'un
paramètre . 310
l
',(X)
15-1.4
Fonction x t-----+ f(x,t) dt . 310
'>
20 Séries de Fourier 429
20-1 Généralités 429
20-1.1
Rappels .......... 429
20-1.2
Théorème de Weierstrass 431
20-1.3
Espace préhilbertien des fonctions continues 27l'-périodiques 431
20-1.4
Séries trigonométriques. . . 431
20-1.5
Lien avec les séries entières 432
20-2 Séries de Fourier 432
20-2.1
Coefficients de Fourier . . . 432
20-2.2
Fonctions continues par morceaux 433
20-2.3
SériedeFourier ........... 434
20-2.4
Inégalité de Bessel et conséquences 436
20-2.5
Cas des fonctions T-périodiques . . 437
20-3 Convergence des séries de Fourier . . . . . 438
20-3.1
Convergence uniforme des séries trigonométriques 438
20-3.2
Convergence ponctuelle: Théorème de Dirichlet . 438
20-3.3
Convergencenormale ................ 440
20-3.4
Convergence en moyenne quadratique, égalité de Parseval-
Bessel .......................... 440
20-3.5
Parseval-Bessel avec les coefficients trigonométriques ... 441
20-3.6
Injectivité de f t---+ j sur C21f •••••••••••••••• 442
20-3.7
Conséquence sur la convergence uniforme d'une série de
Fourier.................... 442
20-3.8
Fonction développable en série de Fourier. 442
20-4 Exercices....................... 442
21 Fonctions de plusieurs variables 447
21-1 Généralités 447
21-1.1
Rappels ............... 447
21-1.2
Applications partielles et continuité 447
21-1.3
Dérivées partielles. . . . . 448
21-2 Calculdifférentiel . . . . . . . . . . 448
21-2.1
Applications de classe Cl . . 448
21-2.2
Interprétation géométrique. 451
21-2.3
matrice jacobienne, jacobien 453
21-2.4
Espace vectoriel des applications de classe Cl de U vers Rn 454
21-2.5
Composition d'applications de classe Cl 454
21-2.6
Difféomorphisme .................... 455
21-2.7
Algèbre des fonctions numériques . . . . . . . . . . . 456
21-2.8
Gradient d'une fonction numérique dans RP euclidien 457
21-2.9
Interprétation géométrique du gradient 458
21-3 Fonctions de classe ci<, k ? 2 ....... 460
21-3.1
Dérivées partielles d'ordre k, k ? 2 . 460
21-3.2
ThéorèmedeSchwarz. . . . . . . . . 460
21-3.3
Difféomorphisme de classe Ck, k ? 2 462
21-3.4
Exemples d'équations aux dérivées partielles 462
21-4 Exercices........................ 464
22 Intégrales curvilignes, intégrales multiples 467
22-1 Forme différentielle, champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . .. 467
22-1.1
Divergence, laplacien, potentiel vecteur. . . . . . . . .. 471
22-2 Intégrale curviligne, circulation d'un champ de vecteurs, travail. 472
22-3 Intégrale double 474
22-3.1
Ensemble quarrable , 474
22-3.2
Intégrale double d'une fonction continue sur un compact
quarrable . 475
22-4 Intégrale triple 481
22-4.1
Formule de Fubini 482
22-4.2
Changement de variable 482
22-5 Exercices corrigés 483
22-6Exercices. . . . . . . . . 484
22-1 Centre d'inertie . . . . . 485
22-1.1
Masse d'un solide 485
22-1.2
Centre d'inertie. 485
22-1.3
Théorèmes de Guldin . 487
22-8 Moment d'inertie . . . . . . . 488
22-8.1
Cas d'un système matériel 488
22-8.2
Cas d'un solide quelconque. 488
22-8.3Propriétés
.......... 488
23 Géométrie 491
23-1Surfaces ..................... 491
23-1.1
Cylindres, cônes, surfaces de révolution 491
23-1.2
Surfaces du second degré, quadriques 494
23-1.3
Triangles sphériques 500
23-2 Géométrieélémentaire . . . . . . . . . . . . 501
23-2.1Mesuredes
angles........... 501
23-2.2
Groupe des isométries d'une figure et polyèdres réguliers
convexes......................... 502
23-3Polyèdresréguliersconvexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
23-3.1
Problèmes de distances, de symétrie, cercles, sphères 509
23-3.2
Perpendiculaire commune à deux droites 511
23-4Exercices...................... 513
24 Problèmes sélectionnés 515
24-1 Equation de la chaleur par la méthode des éléments finis 515
24-1.1
Préambule. . . . 515
24-1.2
Première Partie . 515
24-1.3
Deuxième Partie 516
24-1.4
Troisième Partie. 517
24-2 Equation des cordes vibrantes 518
24-2.1
Préambule. . . . . . . 518
24-2.2
La corde est illimitée . 518
24-2.3
La corde a une extrémité fixe 519
24-2.4
La corde a deux extrémités fixes. 519
24-3EquationdeLaplace . . . . . . . . . . . 521
24-3.1
Préambule. . . . 521
24-3.2
Première Partie . 521
24-3.3
Deuxième Partie 522
24-3.4
Troisième Partie. 522
24-4 Transformée de Fourier . 523
24-4.1
Définition . . . . 523
24-4.2
Formule d'inversion. 524
24-5 Transformée de Fourier discrète, transformée de Fourier rapide 524
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