Sommaire et contenu du livre "Carrefour entre Analyse Algèbre Géométrie"
Table des matières
Introduction et mode d'emploi 9
Ch.
1 : La notion d'équation : .17
1.
Deux manières de définir un ensemble 17
II.
Notion d'équation, injectivité et surjectivité, application réciproque 18
A.
Equations 18
B.
Injection, surjection, bijection, application réciproque 20
C.
Deux problèmes importants concernant équations et fonctions
réciproques 23
m.
Le modèle général de l'équation linéaire: cinq exemples de référence 32
A.
Le modèle général de l'équation linéaire 32
B.
Cinq exemples de référence 34
IV.
Définir un ensemble géométrique par des équations 39
A.
Le cas général 39
B.
Le cas des équations linéaires .41
Ch.
2 : Compléments sur les nombres complexes .45
I.
Un peu d'histoire en guise d'introduction: nombres complexes,
équations, polynômes .46
A.
Des exercices inspirés de l'histoire .47
B.
Indications pour la solution des exercices 50
C.
Le 'miracle' des calculs des mathématiciens italiens n'en est pas un 58
II.
Différentes définitions et différentes écritures des nombres complexes 61
A.
Quelques définitions des nombres complexes 61
B.
Les différents registres d'écriture des nombres complexes,
nombres complexes de module 1 et racines n-èmes de l'unité 64
III.
Les nombres complexes comme outils en géométrie ou en algèbre 70
A.
Des rappels sur les nombres complexes et la géométrie 71
B.
Des types de problèmes de géométrie où les complexes sont utiles:
alignement, triangle, configurations, lieux, études liées à des homographies 77
C.
Utilisation de la géométrie des complexes pour étudier des
questions d'algèbre des polynômes à coefficients complexes 87
TABLE
Ch.
3 : Le nombre n entre algèbre, géométrie et analyse 91
1.
La limite en 0 de sin x en classe de première: longueur d'un arc x
et convexité dans le plan 91
II.
La limite en 0 de si~ x en classe de première: l'aire du secteur de cercle et la division des arcs 93
m.
Pourquoi le périmètre du cercle de rayon 1 est-il le double de son aire ?
Le même nombre n ? 96
IV.
La relation L =2S : une preuve presque géométrique 98
V.
Le raisonnement par 'exhaustion' d'Archimède pour montrer la relation L =2S 99
VI.
Le point de vue du xxe siècle 102
A.
L'introduction des fonctions trigonométriques par les séries entières 102
B.
L'introduction des fonctions trigonométriques par la fonction arctangente,
primitive nulle en 0 de la fonction x~ ----.!..-2 102
l+x
VII.
Un autre point de vue sur le nombre n : la période
d'un homomorphisme continu de R dans T 104
A.
Conditions nécessaires vérifiées par un tel homomorphisme ' 104
B.
Comment montrer l'existence d'un homomorphisme continu de R dans'f? 107
C.
Attention: il existe beaucoup d'homomorphismes de groupe de R dans T,
dont le noyau est 7L , mais non continus 108
VITI.
Calculer des valeurs approchées de n 109
Ch.
4 : La convexité 115
1.
Fonctions et ensembles convexes: définitions et propriétés fondamentales 116
A.
Fonctions convexes sur un intervalle réel 116
B.
Ensembles convexes de la droite, du plan, de l'espace 120
C.
Relations entre ensembles convexes et fonctions convexes 122
II.
Fonctions et ensembles convexes: quelques indications sur les démonstrations 125
III.
Quelques grandes idées sur la convexité et son utilisation 131
A.
Quelques idées importantes 131
B.
Quatre techniques de base pour utiliser la convexité 133
IV.
Quelques exercices sur les fonctions convexes 133
V.
Longueurs, périmètres et convexité 140
A.
Définition et existence 140
B.
La formule de Cauchy pour le périmètre d'un corps convexe 143
VI.
Aires et convexité 148
A.
Aire d'un corps convexe 148
B.
Le calcul de l'aire d'un corps convexe 149
C.
L'aire des polygones convexes inscrits ou circonscrits à un cercle:
des inégalités 150
D.
La fonnule de Steiner-Minkowski sur l'aire de C + B*(O, E) 151
E.
Le problème du sandwich 153
F.
Convexes et réseaux plans 156
VII.
Quelques résultats supplémentaires: l'inégalité isopérimétrique,
le théorème de Brunn-Minkowski 158
A.
La concavité de la racine carrée de l'aire: le théorème de
Brunn-Minkowski 158
B.
L'inégalité isopérimétrique 162
VIll.
Où se cache la convexité dans les programmes des lycées et collèges? 166
A.
Convexité et axiomes de base de la géométrie au collège 167
B.
Les polygones convexes au collège et au lycée _._ 167
C.
La convexité du cercle au collège et au lycée _ 167
D.
La longueur de l'arc de cercle et les fonctions trigonométriques en première 168
E.
Recherche du maximum de fonctions linéaires sous des
contraintes linéaires, en terminale 168
F.
Calcul de volumes en terminale 168
Ch.
5 : Aires, intégrales et primitives, un cheminement de la géométrie
à l'analyse, inspiré de l'histoire 171
1.
Cheminement historique 172
A.
Galilée et la chute des corps 172
n
B.
La spirale d'Archimède et la somme L k2 173
1
C.
Cavalieri, Fennat et l'aire 'sous les fonctions puissances' 174
D.
L'hyperbole, Grégoire de Saint-Vincent et le logarithme 176
II.
Aire, intégrale et primitive: quels rapports? 177
m.
Sens de la relation primitive-intégrale en terminale scientifique;
le problème de l'additivité et les indivisibles de Cavalieri __ 180
A.
Primitives et intégrales en terminale _ 180
B.
Quelques activités autour de la méthode des indivisibles 183
TABLE
Ch.
6 : Le problème des primitives des fonctions continues :
une solution directe 187
1.
Primitives d'une fonction, propriétés; primitive entre deux points 187
II.
Approximation globale d'une fonction continue par des fonctions simples 190
III.
Le théorème fondamental sur les primitives 192
Ch. 7 : Les grandeurs géométriques, physiques... et leur formalisation
et calcul par les procédures 'intégrale' et 'dérivée-primitive' 197
1.
La notion de grandeur 197
A.
Qu'est-ce qu'une grandeur ? 197
B.
Mesurer une grandeur 198
C.
Caractériser une grandeur par une relation numérique ponctuelle ou locale 198
Il.
La procédure 'dérivée-primitive' 200
A.
En quoi consiste cette procédure? 200
B.
La procédure dérivée-primitive et le calcul des surfaces et des volumes 205
III.
La procédure intégrale 211
A.
Quel est le problème? 211
B.
La procédure intégrale 213
C.
Une classe de fonctions Darboux-intégrables 215
D.
Un exemple d'application à un calcul d'aire en coordonnées polaires 217
E.
On retrouve l'existence des primitives des fonctions continues 218
F.
Conclusion sur la modélisation par l'intégrale 218
Ch.
8 : Valeur moyenne d'une fonction, valeurs moyennes
d'une grandeur 223
1.
Valeur moyenne d'une fonction 223
A.
Passage d'un échantillonage discret à une version continue 223
B.
Moyenne comme constante déterminant la même aire
que le graphe de f sur [a, b] 224
C.
Vision barycentrique de la moyenne: on pondère les valeurs 224
D.
Moyenne comme constante minimisant l'erreur quadratique 225
II.
Moyenne d'une fonction par rapport à une fonction densité 226
III.
Valeur moyenne d'une grandeur: problèmes de modélisation 227
Ch.
9 : Aire, volume, mesure de Lebesgue des compacts 233
I.
L'équidécomposabilité de polygones de même aire 234
II.
Les compacts quarrables du plan 238
A.
Objectifs et contraintes 238
B.
Les définitions de base 238
C.
Les propriétés de l'aire des compacts quarrables 239
D.
L'aire du disque 240
E.
L'aire du parallélélogramme comme déterminant 241
III.
Les compacts cubables de l'espace 241
A.
Définitions et résultats 241
B.
Le volume du tétraèdre 242
C.
Le volume du tétraèdre dans les programmes de première de 1950 243
D.
Le volume du parallélépipède comme déterminant 245
IV.
La mesure de Lebesgue d'un compact du plan 246
A.
La mesure des compacts du plan 246
B.
Invariance de la mesure de Lebesgue par les isométries 250
C.
Mesure des sous-graphes et intégrales des fonctions continues 251
D.
L'existence de compacts du plan non quarrables 252
E.
L'effet des bijections affines sur la mesure des compacts 254
F.
Rapports entre les mesures des compacts dans des plans
différents de l'espace 255
V.
La mesure de Lebesgue d'un compact de l'espace 255
A.
Mesure d'un cylindre droit à base dans un plan de coordonnées 256
B.
Invariance de la mesure des compacts par les isométries 256
C.
L'effet des bijections affines sur la mesure des compacts de l'espace 257
D.
Cubabilité et mesure de Lebesgue 258
Appendice au ch. 9
: la non-équidécomposabilité du cube et du
tétraèdre régulier de même volume 261
Annexe 1
: Les entiers et la récurrence, ensembles finis et infinis,
problèmes de dénombrement 265
1.
N et le raisonnement par récurrence 265
A.
La récurrence 265
B.
Existence et unicité des suites définies par récurrence 270
C.
La construction par récurrence 27 1
TABLE
II.
Ensembles finis et infinis
273
A.
Ensembles finis, cardinal ou nombre d'éléments d'un ensemble fini
273
B.
Ensembles infinis
276
C.
Ensembles dénombrables
279
III.
L'analyse combinatoire 282
A.
Des résultats généraux de base 284
B.
Problèmes de modélisation 292
C.
Retour de la modélisation vers les mathématiques 296
Annexe 2
: Quelques exemples d'intervention du numérique en géométrie,
et autres remarques sur la géométrie du collège 299
1.
Inégalité triangulaire et intersection de deux cerc1es : un piège au collège 299
II.
Réciproques de quelques théorèmes caractérisant une propriété
géométrique par une égalité numérique 301
III.
Mesures des angles du plan 303
IV.
Les oubliés du collège 304
Annexe 3
: Le point sur les nombres réels 307
1.
Une ébauche de construction, les propriétés de IR 308
A.
Différentes approches possibles pour une construction 308
B.
Une ébauche de construction, par les développements décimaux illimités
311
C.
Les propriétés essentielles de R
318
II.
Nombres rationnels, irrationnels, transcendants
322
A.
La non-dénombrabilité de R
322
B.
Les nombres irrationnels :
323
C.
Nombres algébriques, nombres transcendants
327
III.
Nombres constructibles
330