Carrefour entre Analyse Algèbre Géométrie

Sommaire et contenu du livre "Carrefour entre Analyse Algèbre Géométrie"

Table des matières Introduction et mode d'emploi 9 Ch. 1 : La notion d'équation : .17 1. Deux manières de définir un ensemble 17 II. Notion d'équation, injectivité et surjectivité, application réciproque 18 A. Equations 18 B. Injection, surjection, bijection, application réciproque 20 C. Deux problèmes importants concernant équations et fonctions réciproques 23 m. Le modèle général de l'équation linéaire: cinq exemples de référence 32 A. Le modèle général de l'équation linéaire 32 B. Cinq exemples de référence 34 IV. Définir un ensemble géométrique par des équations 39 A. Le cas général 39 B. Le cas des équations linéaires .41 Ch. 2 : Compléments sur les nombres complexes .45 I. Un peu d'histoire en guise d'introduction: nombres complexes, équations, polynômes .46 A. Des exercices inspirés de l'histoire .47 B. Indications pour la solution des exercices 50 C. Le 'miracle' des calculs des mathématiciens italiens n'en est pas un 58 II. Différentes définitions et différentes écritures des nombres complexes 61 A. Quelques définitions des nombres complexes 61 B. Les différents registres d'écriture des nombres complexes, nombres complexes de module 1 et racines n-èmes de l'unité 64 III. Les nombres complexes comme outils en géométrie ou en algèbre 70 A. Des rappels sur les nombres complexes et la géométrie 71 B. Des types de problèmes de géométrie où les complexes sont utiles: alignement, triangle, configurations, lieux, études liées à des homographies 77 C. Utilisation de la géométrie des complexes pour étudier des questions d'algèbre des polynômes à coefficients complexes 87 TABLE Ch. 3 : Le nombre n entre algèbre, géométrie et analyse 91 1. La limite en 0 de sin x en classe de première: longueur d'un arc x et convexité dans le plan 91 II. La limite en 0 de si~ x en classe de première: l'aire du secteur de cercle et la division des arcs 93 m. Pourquoi le périmètre du cercle de rayon 1 est-il le double de son aire ? Le même nombre n ? 96 IV. La relation L =2S : une preuve presque géométrique 98 V. Le raisonnement par 'exhaustion' d'Archimède pour montrer la relation L =2S 99 VI. Le point de vue du xxe siècle 102 A. L'introduction des fonctions trigonométriques par les séries entières 102 B. L'introduction des fonctions trigonométriques par la fonction arctangente, primitive nulle en 0 de la fonction x~ ----.!..-2 102 l+x VII. Un autre point de vue sur le nombre n : la période d'un homomorphisme continu de R dans T 104 A. Conditions nécessaires vérifiées par un tel homomorphisme ' 104 B. Comment montrer l'existence d'un homomorphisme continu de R dans'f? 107 C. Attention: il existe beaucoup d'homomorphismes de groupe de R dans T, dont le noyau est 7L , mais non continus 108 VITI. Calculer des valeurs approchées de n 109 Ch. 4 : La convexité 115 1. Fonctions et ensembles convexes: définitions et propriétés fondamentales 116 A. Fonctions convexes sur un intervalle réel 116 B. Ensembles convexes de la droite, du plan, de l'espace 120 C. Relations entre ensembles convexes et fonctions convexes 122 II. Fonctions et ensembles convexes: quelques indications sur les démonstrations 125 III. Quelques grandes idées sur la convexité et son utilisation 131 A. Quelques idées importantes 131 B. Quatre techniques de base pour utiliser la convexité 133 IV. Quelques exercices sur les fonctions convexes 133 V. Longueurs, périmètres et convexité 140 A. Définition et existence 140 B. La formule de Cauchy pour le périmètre d'un corps convexe 143 VI. Aires et convexité 148 A. Aire d'un corps convexe 148 B. Le calcul de l'aire d'un corps convexe 149 C. L'aire des polygones convexes inscrits ou circonscrits à un cercle: des inégalités 150 D. La fonnule de Steiner-Minkowski sur l'aire de C + B*(O, E) 151 E. Le problème du sandwich 153 F. Convexes et réseaux plans 156 VII. Quelques résultats supplémentaires: l'inégalité isopérimétrique, le théorème de Brunn-Minkowski 158 A. La concavité de la racine carrée de l'aire: le théorème de Brunn-Minkowski 158 B. L'inégalité isopérimétrique 162 VIll. Où se cache la convexité dans les programmes des lycées et collèges? 166 A. Convexité et axiomes de base de la géométrie au collège 167 B. Les polygones convexes au collège et au lycée _._ 167 C. La convexité du cercle au collège et au lycée _ 167 D. La longueur de l'arc de cercle et les fonctions trigonométriques en première 168 E. Recherche du maximum de fonctions linéaires sous des contraintes linéaires, en terminale 168 F. Calcul de volumes en terminale 168 Ch. 5 : Aires, intégrales et primitives, un cheminement de la géométrie à l'analyse, inspiré de l'histoire 171 1. Cheminement historique 172 A. Galilée et la chute des corps 172 n B. La spirale d'Archimède et la somme L k2 173 1 C. Cavalieri, Fennat et l'aire 'sous les fonctions puissances' 174 D. L'hyperbole, Grégoire de Saint-Vincent et le logarithme 176 II. Aire, intégrale et primitive: quels rapports? 177 m. Sens de la relation primitive-intégrale en terminale scientifique; le problème de l'additivité et les indivisibles de Cavalieri __ 180 A. Primitives et intégrales en terminale _ 180 B. Quelques activités autour de la méthode des indivisibles 183 TABLE Ch. 6 : Le problème des primitives des fonctions continues : une solution directe 187 1. Primitives d'une fonction, propriétés; primitive entre deux points 187 II. Approximation globale d'une fonction continue par des fonctions simples 190 III. Le théorème fondamental sur les primitives 192 Ch. 7 : Les grandeurs géométriques, physiques... et leur formalisation et calcul par les procédures 'intégrale' et 'dérivée-primitive' 197 1. La notion de grandeur 197 A. Qu'est-ce qu'une grandeur ? 197 B. Mesurer une grandeur 198 C. Caractériser une grandeur par une relation numérique ponctuelle ou locale 198 Il. La procédure 'dérivée-primitive' 200 A. En quoi consiste cette procédure? 200 B. La procédure dérivée-primitive et le calcul des surfaces et des volumes 205 III. La procédure intégrale 211 A. Quel est le problème? 211 B. La procédure intégrale 213 C. Une classe de fonctions Darboux-intégrables 215 D. Un exemple d'application à un calcul d'aire en coordonnées polaires 217 E. On retrouve l'existence des primitives des fonctions continues 218 F. Conclusion sur la modélisation par l'intégrale 218 Ch. 8 : Valeur moyenne d'une fonction, valeurs moyennes d'une grandeur 223 1. Valeur moyenne d'une fonction 223 A. Passage d'un échantillonage discret à une version continue 223 B. Moyenne comme constante déterminant la même aire que le graphe de f sur [a, b] 224 C. Vision barycentrique de la moyenne: on pondère les valeurs 224 D. Moyenne comme constante minimisant l'erreur quadratique 225 II. Moyenne d'une fonction par rapport à une fonction densité 226 III. Valeur moyenne d'une grandeur: problèmes de modélisation 227 Ch. 9 : Aire, volume, mesure de Lebesgue des compacts 233 I. L'équidécomposabilité de polygones de même aire 234 II. Les compacts quarrables du plan 238 A. Objectifs et contraintes 238 B. Les définitions de base 238 C. Les propriétés de l'aire des compacts quarrables 239 D. L'aire du disque 240 E. L'aire du parallélélogramme comme déterminant 241 III. Les compacts cubables de l'espace 241 A. Définitions et résultats 241 B. Le volume du tétraèdre 242 C. Le volume du tétraèdre dans les programmes de première de 1950 243 D. Le volume du parallélépipède comme déterminant 245 IV. La mesure de Lebesgue d'un compact du plan 246 A. La mesure des compacts du plan 246 B. Invariance de la mesure de Lebesgue par les isométries 250 C. Mesure des sous-graphes et intégrales des fonctions continues 251 D. L'existence de compacts du plan non quarrables 252 E. L'effet des bijections affines sur la mesure des compacts 254 F. Rapports entre les mesures des compacts dans des plans différents de l'espace 255 V. La mesure de Lebesgue d'un compact de l'espace 255 A. Mesure d'un cylindre droit à base dans un plan de coordonnées 256 B. Invariance de la mesure des compacts par les isométries 256 C. L'effet des bijections affines sur la mesure des compacts de l'espace 257 D. Cubabilité et mesure de Lebesgue 258 Appendice au ch. 9 : la non-équidécomposabilité du cube et du tétraèdre régulier de même volume 261 Annexe 1 : Les entiers et la récurrence, ensembles finis et infinis, problèmes de dénombrement 265 1. N et le raisonnement par récurrence 265 A. La récurrence 265 B. Existence et unicité des suites définies par récurrence 270 C. La construction par récurrence 27 1 TABLE II. Ensembles finis et infinis 273 A. Ensembles finis, cardinal ou nombre d'éléments d'un ensemble fini 273 B. Ensembles infinis 276 C. Ensembles dénombrables 279 III. L'analyse combinatoire 282 A. Des résultats généraux de base 284 B. Problèmes de modélisation 292 C. Retour de la modélisation vers les mathématiques 296 Annexe 2 : Quelques exemples d'intervention du numérique en géométrie, et autres remarques sur la géométrie du collège 299 1. Inégalité triangulaire et intersection de deux cerc1es : un piège au collège 299 II. Réciproques de quelques théorèmes caractérisant une propriété géométrique par une égalité numérique 301 III. Mesures des angles du plan 303 IV. Les oubliés du collège 304 Annexe 3 : Le point sur les nombres réels 307 1. Une ébauche de construction, les propriétés de IR 308 A. Différentes approches possibles pour une construction 308 B. Une ébauche de construction, par les développements décimaux illimités 311 C. Les propriétés essentielles de R 318 II. Nombres rationnels, irrationnels, transcendants 322 A. La non-dénombrabilité de R 322 B. Les nombres irrationnels : 323 C. Nombres algébriques, nombres transcendants 327 III. Nombres constructibles 330