Calcul scientifique
Cours, exercices corrigés et illustrations en MATLAB et OCTAVE
Ce livre constitue une introduction au Calcul Scientifique. Son objectif est de présenter des méthodes numériques permettant de résoudre avec un ordinateur des problèmes mathématiques qui ne peuvent être traités simplement avec une feuille et un stylo.Les questions classiques du Calcul Scientifique sont abordées: la recherche des zéros ou le calcul [...]
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Auteur : Alfio QUARTERONI , Fausto SALERI , Paola GERVASIO
Editeur : Springer Verlag
Date parution : 01/2010 (2ème édition)Reliure :
Broché
Nbr de pages :
365
ISBN 10 :
8847016754
ISBN 13 :
9788847016750
43,90 €
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Quel est le sujet du livre "Calcul scientifique"
Ce livre constitue une introduction au Calcul Scientifique.
Son objectif est de présenter des méthodes numériques permettant de résoudre avec un ordinateur des problèmes mathématiques qui ne peuvent être traités simplement avec une feuille et un stylo.
Les questions classiques du Calcul Scientifique sont abordées: la recherche des zéros ou le calcul d'intégrales de fonctions continues, la résolution de systèmes linéaires, l'approximation de fonctions par des polynômes, la résolution approchée d'équations différentielles.
Tous les algorithmes sont présentés dans le langage de programmation MATLAB dont les principales commandes sont introduites progressivement. Le lecteur peut ainsi vérifier par l'expérience des propriétés théoriques comme la stabilité, la précision et la complexité. Un effort particulier a été fait pour que les programmes soient compatibles avec le logiciel gratuit Octave. La résolution de divers problèmes, souvent motivés par des applications concrètes, fait l'objet de nombreux exemples et exercices.
A la fin de chaque chapitre, une section présente des aspects plus avancés et fournit des indications bibliographiques qui permettront au lecteur d'approfondir les connaissances acquises.
Sommaire et contenu du livre "Calcul scientifique - Cours, exercices corrigés et illustrations en MATLAB et OCTAVE"
Table des matières1
Cequ'onnepeutignorer............................. 1
1.1
LesenvironnementsMATLAB etOctave.............. 1
1.2
Nombres réels. ..................................... 3
1.2.1
Commentlesreprésenter............. ....... .. 3
1.2.2
Comment calculer avec des nombres à virgule
flottante. .................................... 6
1.3
Nombres complexes. ................................ 8
1.4
Matrices 10
1.4.1
Vecteurs.................................... 15
1.5
Fonctions réelles. ................................. .. 17
1.5.1
Les zéros. ................................. .. 19
1.5.2
Polynômes................................... 21
1.5.3
Ihtégration et dérivation 23
1.6
L'erreur n'est pas seulement humaine .. ............. .. 25
1.6.1
Parlons de coûts 29
1.7
LelangageMATLAB .............. .... .. 31
1.7.1
InstructionsMATLAB... .... .... ........... .. 33
1.7.2
ProgrammerenMATLAB.... .... ........... .. 35
1.7.3
Exemples de différences entre les langages
MATLABetOctave..... .... .... .... .... ..... 38
1.8
Cequ'onnevousapas dit......................... .. 39
1.9
Exercices.......................................... 39
2
Equations non linéaires ............................. .. 43
2.1
Quelques problèmes types 43
2.2
Méthode de dichotomie (ou bisection) ............... .. 46
2.3
Méthode de Newton. ............................. .. 49
2.3.1
Tests d'arrêt pour les itérations de Newton. . . . .. 52
2.3.2
Méthode de Newton pour des systèmes d'équations 54
X Table des matières
2.4
Méthode de point fixe. ............................ .. 56
2.4.1
Test d'arrêt des itérations de point fixe. . . . . . . . .. 62
2.5
Accélération par la méthoded'Aitken.... .... ....... .. 63
2.6
Polynômes......................................... 67
2.6.1
Algorithmede Homer................ .... ..... 68
2.6.2
Méthode de Newton-Homer 70
2.7
Cequ'onnevousapas dit......................... .. 72
2.8
Exercices.......................................... 74
3
Approximation de fonctions et de données. . . . . . . . . . .. 77
3.1
Quelques problèmes types 77
3.2
Approximation par polynômes de Taylor 79
3.3
Interpolation....................................... 80
3.3.1
Polynôme d'interpolation de Lagrange 81
3.3.2
Stabilité de l'interpolation polynomiale. . . . . . . . .. 86
3.3.3
Interpolation aux noeuds de Chebyshev 87
3.3.4
Interpolation trigonométrique et FFT . . . . . . . . . .. 90
3.4
Interpolationlinéaireparmorceaux................. .. 95
3.5
Approximation par fonctions splines 96
3.6
La méthode des moindres carrés 100
3.7
Ce qu'on ne vous a pas dit 105
3.8
Exercices 106
4
Intégration et différentiation numérique 109
4.1
Quelques problèmes types 109
4.2
Approximation des dérivées 111
4.3
Intégration numérique 113
4.3.1
Formule du point milieu , 114
4.3.2
Formule du trapèze 116
4.3.3
Formule de Simpson 117
4.4
Quadratures interpolatoires 119
4.5
Formule de Simpson adaptative 123
4.6
Ce qu'on ne vous a pas dit 127
4.7
Exercices 128
5
Systèmes linéaires 131
5.1
Quelques problèmes types 131
5.2
Systèmes linéaires et complexité 136
5.3
Factorisation LU 137
5.4
Méthode du pivot 147
5.5
Quelle est la précision de la solution d'un système
linéaire? 149
5.6
Comment résoudre un système tridiagonal 153
5.7
Systèmes sur-déterminés 154
5.8
Ce qui se cache sous la commande MATLAB 157
Table des matières XI
5.9
Méthodes itératives 159
5.9.1
Comment construire une méthode itérative 161
5.10
Méthode de Richardson et du gradient 165
5.11
Méthode du gradient conjugué 169
5.12
Quand doit-on arrêter une méthode itérative? 172
5.13
Pour finir: méthode directe ou itérative? 174
5.14
Ce qu'on ne vous a pas dit 180
5.15
Exercices 180
6
Valeurs propres et vecteurs propres 185
6.1
Quelques problèmes types 186
6.2
Méthode de la puissance 188
6.2.1
Analyse de convergence 191
6.3
Généralisation de la méthode de la puissance 192
6.4
Comment calculer le décalage 195
6.5
Calcul de toutes les valeurs propres 198
6.6
Ce qu'on ne vous a pas dit 201
6.7
Exercices 202
7
Equations différentielles ordinaires 205
7.1
Quelques problèmes types 205
7.2
Le problème de Cauchy 208
7.3
Méthodes d'Euler. 209
7.3.1
Analyse de convergence 212
7.4
Méthode de Crank-Nicolson 216
7.5
Zéro-stabilité 218
7.6
Stabilité sur des intervalles non bornés 221
7.6.1
Région de stabilité absolue 223
7.6.2
La stabilité absolue contrôle les perturbations 224
7.7
Méthodes d'ordre élevé 232
7.8
Méthodes prédicteur-correcteur 238
7.9
Systèmes d'équations différentielles 241
7.10
Quelques exemples 247
7.10.1
Le pendule sphérique 247
7.10.2
Le problème à trois corps 250
7.10.3
Des problèmes raides , 253
7.11
Ce qu'on ne vous a pas dit , 257
7.12
Exercices 257
8
Approximation numérique des problèmes aux limites . 261
8.1
Quelques problèmes types 262
8.2
Approximation de problèmes aux limites 264
8.2.1
Approximation par différences finies du problème
de Poisson monodimensionnel .. ' 265
XII Table des matières
8.2.2
Approximation par différences finies d'un
problème à convection dominante 267
8.2.3
Approximation par éléments finis du problème
de Poisson monodimensionnel 269
8.2.4
Approximation par différences finies du problème
de Poisson bidimensionnel 272
8.2.5
Consistance et convergence de la discrétisation
par différences finies du problème de Poisson ..... 278
8.2.6
Approximation par différences finies de l'équation
de la chaleur monodimensionnelle 280
8.2.7
Approximation par éléments finis de l'équation
de la chaleur monodimensionnelle 285
8.3
Equations hyperboliques: un problème d'advection
scalaire 287
8.3.1
Discrétisation par différences finies de l'équation
d'advection scalaire 289
8.3.2
Analyse des schémas aux différences finies pour
l'équation d'advection scalaire 291
8.3.3
Eléments finis pour l'équation d'advection scalaire 297
8.4
Equation des ondes 299
8.4.1
Approximation par différences finies de l'équation
des ondes 301
8.5
Ce qu'on ne vous a pas dit 305
8.6
Exercices 306
9
Solutions des exercices 309
9.1
Chapitre 1 309
9.2
Chapitre 2 312
9.3
Chapitre 3 318
9.4
Chapitre 4 322
9.5
Chapitre 5 326
9.6
Chapitre 6 333
9.7
Chapitre 7 336
9.8
Chapitre 8 346
Références................................................ 353
Index 359
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