Analyse Numérique des Équations aux Dérivées partielles

Sommaire et contenu du livre "Analyse Numérique des Équations aux Dérivées partielles"

Introduction IX Chapitre 1. Pr?minaires 1 1.1. Rappels . 1.1.1. Notations. . . 1.1.2. Espaces fonctionnels. 2 1.1.3. Le produit de convolution. 3 1.2. Transformation d'int?ales . . . . 3 1.3. Un outil essentiel: la transform?de Fourier 9 1.3.1. La repr?ntation de Fourier des fonctions p?odiques. 9 1.3.2.Latransform?eFourier. . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chapitre 2. Mod?s physiques et EDP 19 2.1. ?uation de transport . . . . . . . 19 2.2. Quelques mod?s en ?ctromagn?sme 20 2.3.?uationde lachaleur . . . . . . . . . . 23 2.4. ?uation de Burgers et lois de conservation. 27 2.5. Syst? d'Euler des gaz compressibles 29 Chapitre 3. Solutions d'EDP classiques 33 3.1. ?uation de transport 33 3.1.1. Le cas scalaire ?oefficients constants. 33 3.1.2. Le cas de vitesses non constantes.. . . 36 3.1.3. L'?ation de transport dans un domaine born?38 3.1.4. ?uations de transport plus g?rales. . . 41 3.2.?uationdeLaplace ................ 45 3.2.1. L'?ation de Laplace dans un rectangle. 46 3.2.2. L'?ation de Laplace sur un disque. 49 3.2.3.Unr?ltatd'unicit? . . . . . . . . . . . 53 3.3.?uationdes ondes. ................ 53 3.3.1. R?lution explicite dans le cas unidimensionnel. 54 3.3.2. Solution en dimensions d'espace sup?eures. 59 3.3.3. Un r?ltat d'unicit?. . . . . 64 3.4.?uationdelachaleur . . . . . . . . . . 65 3.4.1. Solutions dans l'espace entier. . 65 3.4.2. Solutions sur un domaine born?71 3.4.3. L'?ation de la chaleur sur une bande. 74 3.4.4. Le principe du maximum. . . . 76 3.5.?uationdeSchrodinger . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.1. Solutions dans l'espace entier. ..... 77 3.5.2. L'?ation de Schrodinger sur un domaine born?80 3.6.?uationdeBurgers . . . . . . . . . . . 81 3.6.1. La m?ode des caract?stiques. . . . . . . . 82 3.6.2.Exemplesder?lution. . . . . . . . . . . . . 83 3.6.3. Limitation de la m?ode des caract?stiques. 86 3.7. ?uations aux d?v? partielles bien pos? . 87 3.7.1. ?uations du premier ordre en temps. 87 3.7.2. ?uations du second ordre en temps. . 89 Chapitre 4. Sch?s aux diff?nces finies pour les EDP 91 4.1. Principe des diff?nces finies . . . . . . . . . 91 4.2. Consistance, ordre de pr?sion et convergence 95 4.3. Stabilit?2 et analyse de Fourier . . . . . . . . 96 4.3.1. Le concept de stabilit?. . . . . . . . 96 4.3.2. Analyse de Fourier pour les suites de [2. 97 4.3.3. Stabilit?our des sch?s ?n pas. .. 98 4.3.4. Stabilit?our des sch?s multipas. . . 106 4.3.5. Manifestation num?que de l'instabilit?. 107 4.4. Le th?? de Lax-Richtmyer . . . . . . . . . . 109 4.4.1.Pr?minaires. ............... 109 4.4.2. Le th?? d'?ivalence de Lax-Richtmyer. 112 4.4.3. Estimation d'erreur. . . . . . . . . . . 116 4.5. Dissipativit?'un sch? aux diff?nces finies 117 4.6. Dispersion d'un sch? aux diff?nces finies. 119 4.7. Le probl? des conditions aux limites . . . 123 4.8. Diff?nces finies pour l'?ation de Poisson 125 4.8.1. Le cas unidimensionnel. . . . . . . 126 4.8.2. Le cas bidimensionnel. 127 4.8.3. Une estimation d'erreur g?rale. 131 Chapitre s. M?odes d'?ments finis pour les EDP 135 5.1. Principe g?ral 135 5.2. Le th?? de Lax-Milgram 137 5.3.Distributions . . . . . . . . . 139 5.3.1. Fonctions test. . . . . 139 5.3.2. D?nition des distributions. . 140 5.3.3. D?v? des distributions. . 142 5.4. Espaces de Sobolev ... 145 5.4.1. L'espace Hl (Q). 145 5.4.2. L'espace Hb(Q). 15 1 5.4.3. Espaces Hm(Q). 153 5.5. Principe des ?ments finis 154 5.6. Application ?'?ation de Poisson 158 5.6.1. ?ude de la formulation variationnelle.. 158 5.6.2. En dimension 1 d'espace. . 160 5.6.3. En dimension 2 d'espace. . . 161 5.7. Approximations d'ordre plus ?v? 162 5.8. Autres types de conditions aux limites 166 5.9. Estimations d'erreur . . . . . . . .. 168 5.9.1. Une estimation g?rale. . . 168 5.9.2. Approximations dans les espaces de Sobolev. 169 5.9.3. Une estimation pr?s?de l'erreur. 172 5.10. Probl?s non stationnaires . 173 Chapitre 6. Volumes finis pour des lois de conservation 177 6.1. N?ssit?'une formulation faible . 177 6.2. Solution faible d'une loi de conservation . 179 6.3. Le probl? de Riemann pour une loi de conservation. 184 6.4. La condition d'entropie . 186 6.5. Sch?s aux volumes finis . 189 6.5.1. Le sch? de Godunov.. 190 6.5.2. Le sch? de Roe. .,. 191 6.6. Dimensions d'espace sup?eures 194 6.7. Un exemple de syst? hyperbolique 196 Chapitre 7. M?odes it?tives pour les syst?s lin?res 201 7.1. Analyse matricielle . 201 7.2. M?odes it?tives . 2°4 7.2.1. Principe g?ral. 2°4 7.2.2. Analyse de convergence. 2°5 7.3. M?odes de gradient . 208 7.3.1. La m?ode du gradient ?as optimal. 209 7.3.2. La m?ode du gradient conjugu?212 Chapitre 8. Rep?s historiques 215 Bibliographie 217 Index 219