Analyse mathématiques
Grands théorèmes du vingtième siècle
Les grands théorèmes d'analyse présentés dans cet ouvrage sont le fruit de travaux accomplis tout au long du vingtième siècle dans le sillage de l'oeuvre fondatrice des anglais G. H. Hardy et J. E. Littlewood. Un juste tribut est également rendu aux écoles mathématiques polonaise, russe et française. D'autres très grands noms de mathématiciens sont associés à ces théorèmes : [...]
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Auteur : Denis CHOIMET , Hervé QUEFFÉLEC
Editeur : Calvage Et Mounet
Collection : Tableau noir
Date parution : 08/2009sous 4 à 8 jours
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Quel est le sujet du livre "Analyse mathématiques"
Les grands théorèmes d'analyse présentés dans cet ouvrage sont le fruit de travaux accomplis tout au long du vingtième siècle dans le sillage de l'oeuvre fondatrice des anglais G. H. Hardy et J. E. Littlewood. Un juste tribut est également rendu aux écoles mathématiques polonaise, russe et française. D'autres très grands noms de mathématiciens sont associés à ces théorèmes : Ramanujan (le génie découvert par Hardy), Banach et Wiener (« créateurs d'espaces », comme les appelle si joliment Gilles Godefroy dans sa préface), Baire et Lebesgue, Newman, Gelfand, Carleson... De la réciproque du théorème d'Abel sur les séries de puissances aux théorèmes taubériens, du paradoxe de Banach-Tarski à la preuve de la conjecture de Littlewood, des propriétés génériques des fonctions dérivées à l'utilisation des lois binomiales en combinatoire, de l'équation fonctionnelle approchée de la fonction 0, de Jacobi au théorème de la couronne de Carleson, le lecteur pourra découvrir au fil de cet ouvrage quelques uns des résultats les plus profonds et les plus marquants de l'analyse moderne. Souvent difficiles, ces questions sont exposées sans nulle concession quant à la rigueur, mais avec un grand talent pédagogique. Les auteurs ont le souci de les situer en permanence dans une perspective historique et ils nous font suivre avec ténacité les fils conducteurs qui donnent une grande cohérence à l'ensemble.L'ouvrage s'adresse aux étudiants en licence ou malter, ainsi qu'aux agrégatifs et, bien sûr, aux amoureux des belles mathématiques.
Auteurs :PréfacierHervé Queffélec est professeur à l'Université de Lille 1. Ses travaux portent sur l'analyse fonctionnelle et harmonique, ainsi que sur les méthodes probabilistes en analyse. Il est l'auteur de plusieurs livres, parmi lesquels ' Topologie ' (Dunod), et coauteur avec Claude Zuily de ' Analyse pour l'agrégation ', (Dunod). Denis Choimet est professeur en classes préparatoires MP au Lycée du Parc à Lyon. Les dessins sont dus au talent de Michaël Monerau.
En suivant ce lien, retrouvez tous les livres dans la spécialité Analyse numérique, calcul intégral, équation différentielles.Sommaire et contenu du livre "Analyse mathématiques - Grands théorèmes du vingtième siècle"
I.Le théorème taubérien de Littlewood
1. Introduction ............... 1
2. Étatdeslieuxen1911.......... 4
3.
Analyse de J'article de Littlewood de 1911 7
3.1.
L'exemple non-trivial . . . . . . . . . 7
3.3.
Le tour de force du papier Il
3.6.
Op timalité de la condition taubérienne an = O(n-1) . 14
3.13.
Un programme de travail et de collaboration 21
4.
Appendice sur les séries entières 24
5.Exercices ....................... 28
II.
Le théorème taubérien de Wiener
1.Introduction ............. 35
2.
Rappels sur la transformée de Fourier 38
3.La preuvedeWiener .. . . . . . . . 40
3.1.
Les idées de la preuve du théorème d'approximation 40
3.4.
Compléments sur la transformée de Fourier . . 43
3.7.
Séries de Fourier absolument convergentes 46
3.14.
Fin de la preuve du théorème d'approximation 51
4.
Application au théorème de Littlewood 52
4.1.
Le théorème taubérien de Pitt . . . 52
4.3.
Procédés de sommation . . . . . . . 53
5.
Preuve de Newman du lemme de Wiener 56
6.
Preuve du théorème de Wiener par la théorie de Gelfand 57
6.1.
Adjonction d'une unité à L1(lR) 57
6.4.
La preuve algébrique 59
7.Exercices ................ 60
III.
Le théorème taubérien de Newman
1.
Introduction . . . . . 67
2.
Le lemme de Newman . 68
3.
Le théorème taubérien de Newman 72
4.Applications ........... 76
4.9.
Première preuve du TNP ... 84
4.10.
Deuxième preuve du TNP 84
5.
Les théorèmes de Ikehara et Delange 86
6.Exercices ................ 92
IV.
Propriétés génériques des fonctions dérivées
1.
Mesure et catégorie 96
1.1.Mesure
.............. 96
1.2.Catégorie ............. 96
2.
Fonctions de première classe de Baire 97
2.1.
Points de discontinuité d'une fonction 97
2.4.
Cas des fonctions de première classe . 97
3.
Ensembles des points de discontinuité des dérivées 99
3.1.
Caractérisation de l'ensemble des points de discontinuité
d'unedérivée ...................... 99
3.5.
Discontinuité presque partout de la dérivée bornée générique 101
4.
Fonctions dérivables nulle part monotones 103
4.1.
Les fonctions de type Pompeiu . . . . . . . . 104
4.5.
Fonctions dérivables et nulle part monotones 106
5.Exercices ....................... 108
V.
Probabilités et théorèmes d'existence
1.Introduction ........... .... 113
2.
Inégalités de Khintchine et applications 114
2.4.
Première preuve par compacité . . 117
2.5.
Deuxième preuve par les probabilités 119
2.6.
Preuve du point 2) du théorème V-2.3 . 120
3.
Sous-espaces hilbertiens de L1([0, 1]).. ... 124
4.
Concentration des lois binomiales et applications . 126
5.
Exercices , ?A
VI.
Les paradoxes de Hausdorff-Banach-Tarski
1.Introduction ................... 139
2.Moyennes..................... 142
2.1.
Interprétation en termes de formes linéaires . 143
2.6.Groupesmoyennables............. 145
2.17.
Le problème du prolongement exhaustif de la mesure de
Lebesgue 149
3.
Paradoxes 152
3.3.Leparadoxedelasphère
........ 154
3.15.
Le paradoxe de Banach-Tarski dans IR3 160
4.Supermoyennabilité .............. 163
5.
Appendice sur les espaces vectoriels topologiques . 166
6.Exercices ....................... 167
VII.
L'autre fonction de Riemann
1.Introduction .................... 171
2.
Non-dérivabilité de la fonction de Riemann en 0 173
3. Laméthoded 'Itatsu................ 174
3.5.
Lien entre F et la fonction Ba de Jacobi . . 176
3.7.
Application à une estimation de F au voisinage de 0 . 178
3.9.
Autres points rationnels . . . . . . 179
4.
Non-différentiabilité en les irrationnels . 180
4.3.
Premier ingrédient . . . . . . . . . 185
4.5.
Deuxième ingrédient . . . . . . . . 186
4.11.
Rappels succincts sur les développements en fractions continuées 192
4.12.Troisièmeingrédient................... 194
4.14.
Fin de la preuve du théorème de Hardy et Littlewood 196
5.Exercices ............................ 199
VIII.
L'équation fonctionnelle approchée de (Jo
1.
L'équation fonctionnelle approchée . . . . . . . . . . . . 208
2.
Autres formes de l'équation fonctionnelle approchée. .. 214
2.1.
Compléments sur les fractions continuées . . . . . 215
2.4.
Forme maniable de l'équation fonctionnelle approchée 217
2.8.
Estimations en norme uniforme 220
2.12.
Estimations en norme LI 222
3.Exercices ................ 225
IX.
La conjecture de Littlewood
1.Introduction ........................ 231
2.
Propriétés de la norme LI et conjecture de Littlewood. 237
3.
Solution de la conjecture de Littlewood 242
4.
Extension au cas de fréquences réelles 250
5.Exercices ................. 261
X.
Généralités sur les algèbres de Banach
1.
Spectre d'un élément dans une algèbre de Banach 268
1.1.
Définition, premières propriétés 269
1.5.
Passage à une sous-algèbre fermée 271
2.
Caractères d'une algèbre de Banach . . 271
2.1.Idéauxmaximaux
. . . . . . . . . 272
2.3.
Correspondance entre idéaux maximaux et caractères 272
2.8.
Topologie sur le spectre 274
2.11. Transformée
de Gelfand . . . . . . . . . . . 275
3.Exemples ...................... 276
3.1.
Fonctions continues sur un espace compact 276
3.4.
L'algèbre du disque . . . . . . . . 277
3.7.
L'algèbre de Wiener. . . . . . . . 278
3.11.
L'algèbre de convolution LI (IR,
4.C·-algèbres ......... 280
4.5.Propriétésde
base . . . . . . . . . 281
4.11.
Invariance du spectre . . . . . . . 282
4.13.
Théorème de représentation de Gelfand-Naimark . 282
4.15.
Application aux éléments normaux de A 283
5.Exercices ................... 284
XI.
Le théorème de la couronne de Carleson
1.Int roduction ............ 291
2.Lesprérequis ............ 296
2.1.
Les opérateurs de dérivation 296
2.2.
La formule de Sto kes . . 297
2.6.
Résolution du d-barre . . 300
2.7.
Les produits de Blaschke 301
2.8.
Les espaces de Hardy . . 302
2.12.
Dualité dans les espaces de Banach 303
3.
Solution du problème de la couronne 304
3.1.
Aspect algébrique . . . . . . . . . 305
3.2.
Aspect analytique . . . . . . . . . 307
3.2.1.
Estimation de fD F'epdÀI . 309
3.3.1.
Estimation de fD FâepdÀI 310
3.5.
Vers une version « sans dimension » du théorème de la cou
ronne 311
4.
La preuve initiale de Carleson et les mesures de Carleson 320
5.
Prolongements du théorème de la couronne 325
6.Exercices .................. 329
XII.
Le problème de la complémentation. ..
1.Introduction ............. 335
2.
Le problème de la complémentation 337
3.
Solution du problème 9 . . . . 342
4.
Le théorème de Kadeë-Snobar 344
5.
Un exemple «à la Liouville » 348
6.
Un exemple « à la Hermite » 351
7.
Développements plus récents 355
8.Exercices ........ 358
XIII.
Indications de solutions
Exercices du chapitre 1 . 365
Exercices du chapitre II . 367
Exercices du chapitre III 369
Exercices du chapitre IV 370
Exercices du chapitre V . 374
Exercices du chapitre VI 375
Exercices du chapitre VII . 378
Exercices du chapitre VIII 380
Exercices du chapitre IX 382
Exercices du chapitre X. . 384
Exercices du chapitre XI . 386
Exercices du chapitre XII . 389
Bibliographie 393
Notations 403
Index 407
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