Analyse mathématique IV
Intégration et théorie spectrale, analyse harmonique, le jardin des délices modulaires

Sommaire et contenu du livre "Analyse mathématique IV - Intégration et théorie spectrale, analyse harmonique, le jardin des délices modulaires"

XI -Intégration et Transformation de Fourier 1


§1.

L'intégrale supérieure d'une fonction positive 6


1 -Intégrale d'une fonction sei 6


(i} Mesures positi ves 6


(ii) Le théorème de Dini 7


(iii) Intégrale d'une fonction sei 9


2 -Intégrale supérieure d'une fonction positive. Ensembles
négligeables, ensembles raisonnables 12


(i) Intégrales supérieures 12


(ii) Ensembles négligeables 15


(iii) Ensembles et fonctions raisonnables 16


3 -Les espaces FP 17


(i) Définition des espaces FP 17


(ii) Convergence en moyenne et presque partout 19


§2.

Les espaces LV 22


4 -Fonctions intégrables, espaces LV 22


(i) Intégrale d'une fonction intégrable 22


(ii) Les espaces LV; théorème de Riesz-Fischer 25


(iii) Cas des fonctions sei ou ses 29


5 -Les théorèmes de Lebesgue 30


(i) Le théorème de convergence dominée 30


(ii) Relation entre LV et LI ; inégalité de Wilder 33


(iii) Applications à la transformation de Fourier dans JR 37


§3.

Ensembles et fonctions mesurables 40


6 -Ensembles intégrables et mesurables 40


(i) Propriétés des ensembles intégrables 40


(ii) Ensembles mesurables 42


7 -Fonctions mesurables 44


(i) Espaces séparables 44


(ii) Applications mesurables 46


8 -Mesurabilité et continuité 49


(i) Les théorèmes d'Egoroff et de Lusin 49


(ii) Fonctions mesurables au sens de Lusin 53


9 -Mesurabilité et intégrabilité 55


§4.

Du côté de chez Lebesgue-FUbini 57


10 -Le théorème de Lebesgue-Fubini (LF) 57


(i) Produit de mesures 57


(ii) Le théorème de Lebesgue-Fubini 58


(iii) Compléments au théorème de LF 62


(iv) La formule d'inversion de Fourier 65


11 -Intermède topologique: espaces polonais 66


(i) Espaces polonais 66


(ii) Fonctions sei sur un espace localement compact polonais 72


(iii) Ensembles boréliens dans un espace polonais 73


12 -Sommes continues de mesures

: exemples 75


(i) Mesures produit 75


(ii) Mesure définie par une densité localement intégrable 76


(iii) Image d'une mesure par une application 76


(iv) Quotient d'une mesure invariante 78


13 -Fonctions intégrables pour une somme continue 79


(i) Cas des fonctions sei 79


(ii) Le théorème de Lebesgue-Fubini généralisé 82


14 -Fonctions intégrables pour l'image d'une mesure 85


15 -Mesures invariantes par un groupe 90


(i) Mesures invariantes sur un groupe 90


(ii) Représentations linéaires continues 92


(iii) Quotient d'un espace par un groupe 96


(iv) Quotient d'une mesure invariante 98


(v) Un exemple: le groupe orthogonal dans IRn 101


(vi) Cas des espaces homogènes 103


(vii) Cas des groupes discrets 105


§5.

Le théorème de Lebesgue-Nikodym 110


16 -Mesures de base>': fonctions intégrables 110


17 -Le théorème de Lebesgue-Nikodym (LN) 114


(i) Caractérisation des mesures absolument continues 114


(ii) Application aux mesures complexes 116


(iii) La décomposition de Lebesgue 119


18 -Formes linéaires continues sur LP. L'espace LOO 121


§6.

Décompositions spectrales dans un espace de Hilbert 125


19 -Opérateurs dans un espace de Hilbert 125


(i) Définitions, formes linéaires continues 125


(ii) Bases orthonormales 128


(iii) Adjoints, opérateurs hermitiens 129


(iv) Spectre d'un opérateur hermitien 131


(v) Topologie faible 133


(vi) Opérateurs de Hilbert-Schmidt 135


(vii) Algèbres de von Neumann 137


20 -Les théorèmes de Gelfand sur les algèbres normées 141


21 -Une caractérisation des algèbres de fonctions continues 148


22 -Décompositions spectrales 150


(i) L'algèbre de GN d'un opérateur normal 150


(ii) Mesure spectrale d'une algèbre d'opérateurs 152


(iii) Intégration par rapport à une mesure spectrale 154


(iv) Décomposition spectrale d'un opérateur normal 159


23 -Opérateurs autoadjoints 160


(i) Inverse d'un opérateur hermitien injectif 160


(ii) Prolongement canonique d'un opérateur symétrique
positif 164


24 -Décompositions en sommes continues 169


(i) Vecteurs propres virtuels 169


(ii) Sommes continues d'espaces de Hilbert 175


(iii) L'espace L2 d'une intégrale de mesures 177


§7.

La transformation de Fourier commutative 181


25 -Produit de convolution dans un glc 181


(i) Convolutions et représentations 181


(ii) Convolution de deux mesures 183


(iii) Convolution d'une mesure et d'une fonction 185


(iv) Convolution de deux fonctions 189


(v) Suites de Dirac 191


26 -La transformation de Fourier dans LI (G) 193


(i) Caractères d'un glc commutatif 193


(ii) La topologie du groupe dual 195


(iii) L'homomorphisme canonique G -+ c 198


27 -La transformation de Fourier dans L 2(G) 199


(i) L'algèbre A(G) et ses caractères 199


(ii) Décomposition spectrale de la représentation régulière 202


(iii) La mesure invariante du dual 204


(iv) Formule d'inversion de Fourier et bidualité 209


§8.

Représentations unitaires des groupes localement compacts 211


28 -Compléments sur les représentations 211


29 -La transformation de Fourier dans un groupe compact 214


(i) Représentations irréductibles d'un groupe central 214


(ii) Fonctions centrales sur un groupe compact 216


(iii) Décomposition spectrale de Z(G) 221


(iv) Caractères de Z(G) et représentations irréductibles 224


(v) Faciles généralisations 228


30 -Mesures et fonctions de type positif 232


(i) Mesures de type positif 232


(ii) Cas d'un groupe commutatif 233


(iii) Fonctions de type positif 235


31 -Représentations quasi-régulières d'un groupe unimodulaire 241


(i) Mesures centrales de type positif 241


(ii) Le théorème de commutation 244


(iii) Traces dans une algèbre hilbertienne 250


(iv) Cas d'un groupe commutatif 255


(v) Caractères d'un groupe localement compact 256


(vi) Caractères de classe (1) 258


32 -Composantes discrètes de la représentation régulière 261


XII -Le jardin des délices modulaires ou,
l'opium des mathématiciens 271


§1.

Séries et produits infinis de la théorie des nombres 271


1 -La transformée de Mellin d'une transformée de Fourier 271


2 -L'équation fonctionnelle de la fonction ( 277


3 -La méthode de Weil pour la fonction TJ(z) 284


§2.

Les séries L 1/ cos 1l"nz et L exp (1l"in2z) 293


4 -La série L 1/ cos 1l"nz 293


5 -L'identité L 1/ COS1l"nz = O(z)2 296


(i) Le domaine fondamental de r(0) 296


(ii) Une méthode générale 298


(iii) L'identité j(z)/O(z)2 = 1 299


6 -Le produit infini de la fonction O(u, z) 301


7 -La loi de réciprocité des sommes de Gauss 305


(i) La méthode de Cauchy 305


(ii) La méthode de Dirichlet 308


(iii) La loi de réciprocité quadratique 310


§3.

Les séries L(s; X) de Dirichlet 314


8 -L'équation fonctionnelle de TJ(z): bis 314


9 -Intermède arithmétique 315


(i) Anneaux quotients 315


(ii) Les groupes G(m); caractères mod m 318


(iii) Relations d'orthogonalité 322


(iv) Sommes de Gauss 323


(v) Cas du caractère unité 326


10-Les séries Of(x;X) et L(sjX) 330


(i) Equation fonctionnelle de 0f(Xj X) 330


(ii) Les séries L(s, X) 331


§4.

Fonctions elliptiques 337


11 -Les théorèmes de Liouville 337


12 -Fonctions elliptiques et séries thêta 339


(i) Le théorème d'Abel 339


(ii) Fonctions thêta générales 343


(iii) Les métamorphoses de la série de Jacobi 345


13 -Le point de vue d'Eisenstein et de Weierstrass 350


(i) Convergence des séries d'Eisenstein 350


(ii) La fonction fil de Weierstrass 353


(iii) Les séries 2:1["2jsin 21["(u nz) et G2(z) 358


(iv) Relation entre les fonctions fil et (JI ...... •........•....... 360


(v) Fonctions elliptiques ayant des pôles simples donnés 363


(vi) Les fonctions (L et (J L 366


14 -Intégrales elliptiques 367


(i) Le corps des fonctions elliptiques 367


(ii) La surface de Riemann du corps des fonctions
elliptiques 369


(iii) Formule d'addition 372


§5.

SL2(lR) comme groupe localement compact 377


15 -Sous-groupes, mesure invariante 377


(i) Opérations de SL2(lR) dans le demi-plan 377


(ii) Les formes automorphes comme fonctions sur G 378


(iii) Sous-groupes de SL2 382


(iv) Points fixes et valeurs propres 385


(v) Mesure invariante 385


(vi) Le point de vue du disque unité 388


16 -La série discrète de représentations de SL2(lR) 390


(i) Fonctions holomorphes intégrables dans le demi-plan 391


(ii) Les espaces .yq du disque unité 395


(iii) Un théorème de type Paley-Wiener pour .J"é;.2(p) 398


(iv) La fonction noyau de .J'e,?(P) 401


(v) La série discrète holomorphe de représentations


irréductibles de SL 2(lR) 403


(vi) Les solutions de l'équation f *Wr = f 406


§6.

Fonctions modulaires: la théorie classique 411


17 -Domaine fondamental, formes modulaires 411


(i) Générateurs du groupe modulaire 411


(ii) Domaine fondamental 412


(iii) Définition classique des formes modulaires 414


(iv) Séries d'Eisenstein et de Poincaré 416


18 -Les analogues des deux théorèmes de Liouville 422


(i) La surface de Riemann de SL2(Z) 422


(ii) Zéros et pôles 426


(v) L'algèbre de Lie d'un groupe 528


(vi) Algèbres de Lie des groupes classiques 530


(vii) Distributions et opérateurs différentiels invariants 531


26 -L'algèbre de Lie en dimension infinie 537


(i) Le sous-espace &00 537


(ii) Différentiabilité faible et différentiabilité forte 539


(iii) Opérateurs de convolution dans &00 542


(iv) Le théorème de Dixmier et Malliavin 544


(v) Vecteurs analytiques 546


(vi) Cas des représentations unitaires 549


27 -Opérateurs différentiels dans SL2(lR) 552


(i) L'algèbre de Lie de SL2(lR) 552


(ii) Opérateurs différentiels dans le demi-plan 555


28 -La représentation de 9 associée à une fonction holomorphe. . . . . .. 559


(i) Le g-module HCr(f) = HC(fr) 559


(ii) Cas r = -p :::; 0 561


(iii) g-modules simples de dimension finie 562


(iv) Condition pour que dimHCr(f) < 00 563


(v) Un théorème de Maaf 564


29 -Représentations irréductibles de 9 565


(i) Classification ............................................ 565


(ii) Modèles fonctionnels des représentations de 9 567


30 -Représentations irréductibles de G 570


(i) Le théorème de multiplicité un 570


(ii) Modèles fonctionnels pour G: série discrète 572


(iii) Modèles fonctionnels pour G: série principale paire 574


Index 580


Table des matières du volume 1 587


Table des matières du volume II 591


Table des matières du volume III 595