Algèbre II L3 M1 M2 Anneaux, modules et algèbre multilinéaire
Ce traité d'algèbre en deux volumes s'adresse aux étudiants de licence ou master de mathématiques (L3-M1) et à ceux qui préparent le CAPES ou l'agrégation.Ce tome 2 traite de la notion générale de divisibilité des éléments dans les anneaux : anneaux euclidiens, principaux, factoriels. Il présente une généralisation de cette notion aux idéaux - anneaux de [...] [lire le résumé du livre]
Ce traité d'algèbre en deux volumes s'adresse aux étudiants de licence ou master de mathématiques (L3-M1) et à ceux qui préparent le CAPES ou l'agrégation.
Ce tome 2 traite de la notion générale de divisibilité des éléments dans les anneaux : anneaux euclidiens, principaux, factoriels. Il présente une généralisation de cette notion aux idéaux - anneaux de Dedekind - et donne des applications à la théorie des nombres : anneau des entiers d'un corps de nombres, ramification.
Dans la seconde partie, il traite de l'algèbre linéaire et multilinéaire : modules, modules sur un anneau principal, dualité, applications multilinéaires, produit tensoriel, algèbre tensorielle, produit extérieur, algèbre extérieure (application au déterminant). Chaque notion est développée depuis les définitions de base jusqu'à des résultats très avancés, avec toutes les démonstrations. Les chapitres sont suivis de thèmes de réflexion (TR) qui permettent d'étudier en profondeur des notions qui illustrent ou complètent le cours.
Auteurs :
Daniel Guin a été professeur à l'université Montpellier 2 où il a enseigné, en particulier, l'algèbre à tous les niveaux, de Li au M2. Ce livre correspond aux cours qu'il a donnés pendant plusieurs années en L3 et M.1. Il est spécialiste de K-théorie algébrique et d'algèbre homologique.
Sommaire et contenu du livre "Algèbre II L3 M1 M2 - Anneaux, modules et algèbre multilinéaire"
TABLE DES MATIERES
Avant-Propos vii
Remerciements xi
Avertissement xiii
Partie I Anneaux et modules 1
I Generalites sur les anneaux 3
1 Definitions -Exemples ... 3
2 Ideaux -Morphismes . . . . 8
3 Ideaux maximaux, ideaux premiers . 15
4 Produit d'anneaux -Theoreme chinois 18
5 Caracteristique -Corps premiers . . . . 20
6 Corps des fractions d'un anneau integre 22
Themes de reflexion 29
TR.I.A.
Etude de Aut(Z/nZ) 29
TR.I.B.
Localisation et ideaux 31
TR.I.C.
Radical, nilradical .. 32
II Anneaux euclidiens, principaux, factoriels 35
1
Anneauxdepolynomes .......... 35
2 Division euclidienne -Anneaux euclidiens 41
3 Anneaux principaux 43
4 Anneaux factoriels 48
5 Divisibilite . . . . . 52
Themes de reflexion 55
T R.ILA.
Exemples d'anneaux euclidiens 55
TR.ILB.
Un anneau principal non euclidien 56
TR.Il.C.
Anneaux noetheriens . 57
0•0••0• TR.ILD. Series formelles -Series et polynornes de Laurent. 58
III Ir'reduct.ibilite des polyn6mcs -Polyn6mes syrnetr iques 61
1
Irreductibilite 0•• ••0••00••00• ••.. ....... 0 61
2 Fonctions polynomiales -Racines -Derivations -Multiplicite 66
0
3 Resultant -Discriminant 74
4 Polynomes symetriques 77
Themes de refl exion 83
TR.IlLA.
Critere d'irreductibilite par extension 83
TR.IILBo
Critere d'irreductibilite par reduction 83
IV Gener-alites sur les modules 87
1 Modules -Morphismes 87
0••• •
2 Sons-modules . . 90
3 Modules quotients . ' ,' . 91
4 Morphismes et quotients 92
5 Modules monogenes 94
6 Produit et somme 95
7 Modules libres 96
Themes de reflexion 101
TR.lVoA.
Proprietes universelles de somme directe et produit direct 101
TR.lV.B.
Algebres -Algebres de polynornes 102
0000• 000•0000
v Modules sur un anneau principal 105
0• •0000• 0•0 •
1 Modules libres -Modules de type fini 105
2 Modules de to rsion. . . . 107
0 • 00 • 0 • 0 • • 0 • • 00 0• 0 •
3 Structure des modules de type fini sur un anneau principal 109
4 Autre demonstration du theorems de structure des modules
de type fini sur un anneau principal 118
0•000••0• 0•000
Themes de reflexion 125
TRoV.A.
Reduction des endomorphismes a la forme de Jordan 125
0
TR.V.B.
Calcul des facteurs invariants . o0 00••00 • 00 • . . 127
TABLE DES MATIERE:
VI Elements entiers et anneaux de D edekind 129
1
Elementsentiers ............ 130
2 Normeettrace ............. 134
3 Application aux corps cyclotomiques . 138
4 Anneaux et modules noetheriens 140
5 Ideaux fractionnaires 143
6
Anneaux de Dedekind . . . . . . 144
7 Normed'unideal. . . . . . . . . 148
Decomposition des ideaux premiers dans une extension et action
du groupe de Galois 150
9 Ramification . 153
Themes de refl exion 161
TR..VLA. Quelques proprietes des anneaux de Dedekind 161
TR..VLB.
Ramification des nombres premiers dans un corps
cyclotomique ..................... 162
TR.VT.C.
Decomposition des nombres premiers dans un corps
quadratique. ........ 163
TR.VLD. Theoremedesdeuxcarres ............... 165
VII Dualite 167
1 Modules d'applications lineaires et suites exactes 167
2 Dualite
. ... 171
3 Orthogonalite 175
Themes de r efl exion 177
TR.VIJ.A.
Modules injectifs -Modules projectifs 177
TR.VIJ.B.
Enveloppe injective 180
TR.VII.C.
Une autre dualite . 182
Partie II Algebre rnultilineaire 185
VIII Produit tensoriel -Algebra tensorielle -Algebre syrnetr ique 187
1
Applicationsbilineaires .................. 187
2 Produittensoriel ...................... 189
3 Commutation du produit tensoriel aux semmes directes 193
4 Associativite du produit tensoriel . . . . 196
5
Changement d'anneau de base . . . . . 198
6 Produit tensoriel d'algebres associatives 199
ALGEBRE T2
7 Produit tensoriel et dualite 200
8 Algebre tensorielle . 203
9 Algebre symetrique 206
Themes de reflexion 209
TR.VIII.A. Modules plats, fidelement plats. . . . . . . . . . . . 209
TR.VIlLB.Passagedulocalauglobal
............ 211
TR.VIILC.
Propriete universelle du produit tensoriel d'algebres
commutatives...................... 211
IX Produit exterieur -Algebre exterieure 213
1 Applications multilineaires alternees 213
2 Determinants . .... .. .... . . ... 215
3 Produitexterieur.............. 217
4 -Commutation du produit exterieur aux sommes directes 221
5 Algebre exterieure . 223
Themes de reflexion 225
TR.IX.A.
Annulation de puissances exterieures . 225
TR.IX.B.
Derivations et formes differentielles . . . 225
Appendice 229
1
Ensembles ordonnes . . . . . . 229
2 Cardinaux -Ensembles infinis . 232
Bibliographie 239
Index terminologique 241
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