Sommaire et contenu du livre "Algèbre et géométrie pour le CAPLP2-MSP - Cours et exercices corrigés."
Table des matières
1 Notions de base en mathématiques 3
1.1
Eléments de logique mathématique 3
1.1.1
Négation .. 4
1.1.2
Et, ou ... 4
1.1.3
Equivalence 5
1.1.4
Implication 5
1.1.5
Le raisonnement par l'absurde. 8
1.2
Lesensembles ............. 8
1.2.1
Notion d'ensemble . 8
1.2.2
Opérations sur les ensembles . 10
1.2.3
Produit cartésien 11
1.2.4
Quantificateurs . . . . . 12
1.3
Relations............. 13
1.3.1
Relations d'équivalence . 15
1.3.2
Relations d'ordre 16
1.4
Fonctions, applications 17
1.4.1
Fonctions ... . 17
1.4.2
Applications... 19
1.4.3
Injections, surjections, bijections . 20
1.4.4
Application réciproque d'une bijection 21
1.5
Lois de composition interne et externe .... 23
1.5.1
Notion de loi de composition interne . 23
1.5.2
Propriétés d'une loi de composition interne. 24
1.5.3
Structure de groupe. 26
1.5.4
Structure d'anneau . 27
1.5.5
Structure de corps . 29
1.5.6
Notion de loi de composition externe 30
1.5.7
Structure d'espace vectoriel 30
1.6
Exercices................... 31
2 Géométrie plane 35
2.1
Le plan affine P . . . ... 35
2.1.1
Premier axiome . . 35
2.1.2
Deuxième axiome. 36
2.1.3
Troisième axiome . 37
2.1.4
Quatrième axiome 38
2.1.5 Cinquième axiome
2.1.6 Milieu d'un bipoint
2.1.7 Symétrie centrale
2.1.8 Symétrie axiale ..
2.1.9 Sixième axiome ..
2.1.10 Le théorème de Thalès
2.1.11 Relation d'équipollence.
2.1.12 Définition d'un vecteur .
2.1.13 Somme de deux vecteurs
2.1.14 Multiplication d'un vecteur par un réel. .
2.1.15 Structure de V et structure d'espace affine de P
2.1.16 Caractérisations vectorielles du milieu d'Wl bipoint
2.1.17 Vecteurs colinéaires .
2.2 Géométrie analytique dans le plan affine
2.2.1 Repère cartésien de P, base de V
2.2.2 Propriétés des coordonnées. . . .
2.2.3 Représentations paramétriques d'une droite
2.2.4 Equations cartésiennes d'Wle droite
2.2.5 Equation réduite d'Wle droite .
2.2.6 Caractérisation des demi-plans.
2.3 Exercices .
3 Produit scalaire usuel du plan
3.1 Structure euclidienne de P .
3.1.1 Septième axiome : .
3.1.2 Rapport de projection orthogonale
3.1.3 Huitième axiome .
3.1.4 Norme d'un vecteur .
3.1.5 Produit scalaire usuel de P
3.1.6 Vecteurs orthogonaux. . . .
3.1.7 Propriétés du produit scalaire
3.1.8 Structure euclidienne de V et de P
3.1.9 Carré scalaire .
3.1.10 Inégalité de Cauchy-Schwarz .
3.1.11 Notion d'espace vectoriel normé ..
3.2 Bases orthonormées de V, repères orthonormés de P.
3.2.1 Définitions....................
3.2.2 Expression analytique du produit scalaire dans une base orthonormée .
3.2.3 Cercle .
3.2.4 Equations cartésiennes d'un cercle.
3.2.5 Vecteur normal à une droite . . . .
3.2.6 Application à la détermination d'une équation de droite, le
41
42
44
45
45
48
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54
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85
85
86
87
88
89
plan étant rapporté à un repère orthonormé . . . . . . . . . .
3.2.7 Application à la caractérisation de droites parallèles, perpendiculaires
3.2.8 Distance d'un point à une droite . 90
3.3 Angles orientés de demi-droites . 92
3.3.1 Propriétés admises . 92
3.3.2 Arcs orientés sur un cercle de rayon 1 . 93
3.3.3 Angles de demi-droites . . . . . . . . . 94
3.3.4 Somme des angles orientés de demi-droites 96
3.4 Angles orientés de vecteurs non nuls. . . . . . . . 97
3.4.1 Angles de vecteurs non nuls . . . . . . . . 97
3.4.2 Somme de deux angles orientés de vecteurs . 98
3.4.3 Orientationduplan.............. 99
3.4.4 Mesures d'un angle orienté de vecteurs non nuls 99
3.5 Angles orientés de droites .. .102
3.6 Fonctions trigonométriques. . . . .104
3.6.1 Cercle trigonométrique .. .104
3.6.2 Sinus et cosinus d'un réel. .105
3.7 Exercices . .107
Géométrie de l'espace 109
4.1 Droites et plans de l'espace. .109
4.1.1 Droites de l'espace . .109
4.1.2 Plans de l'espace .. .109
4.1.3 Positions relatives de deux droites de l'espace · 111
4.1.4 Positions relatives d'une droite et d'un plan .112
4.1.5 Positions relatives de deux plans . .113
4.2 Droites et plans parallèles . . . · 115
4.3 Projections dans l'espace .... · 120
4.3.1 Définition et propriétés . · 120
4.3.2 Perspective cavalière . . · 122
4.4 Symétries de l'espace . . . . . . · 123
4.5 Théorèmes de Thalès dans l'espace .123
4.6 Vecteurs de l'espace. . . . . . . · 125
4.7 Repères cartésiens de E .... · 128
4.7.1 Vecteurs non coplanaires · 128
4.7.2 Repère cartésien de E. · 130
4.8 Caractérisations des plans de E · 130
4.8.1 Caractérisations vectorielles .130
4.8.2 Représentations paramétriques . · 131
4.8.3 Equations cartésiennes d'un plan · 132
4.9 Caractérisations des droites de E . . . .133
4.9.1 Caractérisations vectorielles .. .133
4.9.2 Représentations paramétriques . .134
4.10Exercices. ................ :135
5.1 Le corps C des nombres complexes . . . . . . . . 137
5.1.1 Définitions................. . 137
5.1.2 Forme algébrique d'un nombre complexe . 138
5.1.3 CalculsdansC .......... .139
5.1.4 Conjugué d'un nombre complexe .... . 140
5.1.5 Module d'un nombre complexe. . . . . . . 141
5.2 Interprétation géométrique des nombres complexes. . 141
5.2.1 Nombres complexes et points du plan . . . 141
5.2.2 Nombres complexes et vecteurs du plan. . 142
5.2.3 Inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . 143
5.3 Forme trigonométrique d'un nombre complexe . . 143
5.3.1 Arguments et forme trigonométrique . . . 143
5.3.2 Interprétation géométrique des arguments . 145
5.3.3 Argumentsd'unproduit .......... .146
5.3.4 Notation exponentielle des nombres complexes . 148
5.4 Racines n -ièmes d'un nombre complexe . 148
5.4.1 Racines n -ièmes del'unité.......... .149
5.4.2 Points images des racines n -ièmes de l'unité . 150
5.4.3 Somme des racines n -ièmes de l'unité ... . 151
5.4.4 Racines n -ièmes d'un nombre complexe non nul . . 151
5.4.5 Racines carrées d'un nombre complexe non nul . . 152
5.4.6 Application: équations du second degré . 152
5.5 Exercices.......................... . 154
6 Polynômes et fractions rationnelles 157
6.1 Polynômes formels ..... . . 157
6.1.1 Définitions....... . 157
6.1.2 Opérations dans K [X] . 158
6.1.3 Effets sur les degrés. . . 160
6.2 Divisions dans K [X] ..... . 161
6.2.1 Multiples et diviseurs. . 161
6.2.2 Division euclidienne. . . 161
6.2.3 Division suivant les puissances croissantes de X . 163
6.3 Racines d'un polynôme . . . . . . 165
6.3.1 Fonctionpolynôme . . . . . . . . . . 165
6.3.2 Racines d'un polynôme . . . . . . . . 165
6.3.3 Polynômes et fonctions polynômes. . 168
6.3.4 Ordre de multiplicité d'une racine. . 169
6.4 Relations entre racines et coefficients . 169
6.5 Factorisation dans C [X] et dans R [X] . 171
6.5.1 Théorème de d'Alembert. . . . . 171
6.5.2 Polynôme irréductible ..... . 172
6.5.3 Polynômes irréductibles de C [X] . 172
6.5.4 Polynômes irréductibles de R [X] . 172
6.6 Equations du troisième degré à coefficients réels . 174
6.6.1 Transformation du problème. . 175
6.6.2 Réduction du système (SI) .. 176
6.6.3 Résolution du système (S2) . 176
6.6.4 Résolution de l'équation 6.4 . 177
6.6.5 Résolution dans R . . . . . . 178
6.7 Fractions rationnelles, fonctions rationnelles . 179
6.7.1 Fraction rationnelle . . . . . . . . . . . 179
6.7.2 Racine (ou zéro) et pôle d'une fraction rationnelle. . 181
6.7.3 Fonctionrationnelle. ................. .181
6.7.4 Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples. 182
6.8 Exercices.................................. 187
7 Les coniques 189
7.1 Généralités . 189
7.1.1 Définition monofocale . . 189
7.1.2 Axe focal . 190
7.1.3 Sommets d'une conique. . 190
7.1.4 Paramètre d'une conique . . 191
7.1.5 Intérieur, extérieur d'une conique . 192
7.2 Coniques d'excentricité e = 1 . 192
7.2.1 Parabole........ . 192
7.2.2 Tracé point par point. . 193
7.2.3 Equation réduite . . . . 194
7.2.4 Tracé d'une parabole . . 195
7.2.5 Représentation paramétrique, tangentes. . 196
7.3 Coniques d'excentricité e < 1 .... . 197
7.3.1 Equation réduite d'une ellipse . . . . . . . 197
7.3.2 Réciproquement.............. . 200
7.3.3 Symétries, grand axe, petit axe d'une ellipse . 201
7.3.4 Tracé de l'ellipse . 202
7.3.5 Représentation paramétrique. . 202
7.3.6 Tangentes â une ellipse. . . . . 204
7.4 Coniques d'excentricité e > 1 .... . 205
7.4.1 Equation réduite d'une hyperbole . 205
7.4.2 Réciproquement...... . 207
7.4.3 Symétries d'une hyperbole . . . . . 208
7.4.4 Tracé d'une hyperbole . . . . . . . 208
7.4.5 Représentation paramétrique d'une hyperbole . 210
7.4.6 Tangentes â une hyperbole. . . . . . . . . . . . 210
7.4.7 Equation d'une hyperbole rapportée â ses asymptotes . 211
7.5 Exercices.............................. . 214
8 Algèbre Linéaire 217
8.1 Espaces vectoriels sur K ..... .217
8.1.1 Définition de la structure. . 217
8.1.2 Exemples ......... .218
8.1.3 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . 220
8.1.4 Exemples . . . 221
8.1.5 Intersection de sous-espaces vectoriels. . 221
8.2 Sous-espace engendré, famille génératrice . . . . 222
8.2.1 Sous-espace engendré par une partie de E . 222
8.2.2 Famille de vecteurs . . 222
8.2.3 Combinaison linéaire . . . . . . . . . . 223
8.2.4 Famille génératrice . . . . . . . . . . . 225
8.2.5 Espaces vectoriels de climension finie . 226
8.3 Famille libre, famille liée . . . . . . 227
8.3.1 Un problème d'unicité . . . . 227
8.3.2 Famille libre, famille liée. . . . 227
8.4 Bases, climension en dimension finie . 231
8.4.1 Base.............. . 231
8.4.2 Existence de bases pour un espace E non nul et de dimension
finie ................. .234
8.5 Dimension d'un espace de dimension finie. . . . . . . . . . . . .. . 235
8.5.1 Notiondedimension ................... .. .235
8.5.2 Dimension des sous-espaces d'un espace de dimension finie . 237
8.5.3 Rang d'une famille de vecteurs. . 238
8.6 Sous-espaces vectoriels supplémentaires . 238
8.6.1 Somme de deux sou&-espaces . . . 238
8.6.2 Somme directe de sou&-espaces . . 239
8.6.3 Sous-espaces supplémentaires . . 240
8.7 Applications linéaires. . . . . . . . . . . 241
8.7.1 Définitions. Premières propriétés . 241
8.7.2 Exemples, contre-exemples . . . . 242
8.8 Opérations entre applications linéaires . . 244
8.8.1 L'ensemble L (E, F) . 244
8.8.2 Composition d'applications linéaires. . 244
8.9 Image,noyau ................. .245
8.9.1 Image d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire . 245
8.9.2 Image réciproque d'un sous-espace vectoriel de F . . .246
8.9.3 Surjectivité, injectivité d'une application linéaire. . . . 247
8.9.4 Réciproque d'un isomorphisme. Groupe linéaire de E . 248
8.10 Cas d'un espace de dimension finie . 249
8.10.1 Propriétéfondamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . .249
8.10.2 Isomorphisme de Imf avec tout supplémentaire de ker f . 252
8.10.3 Formes linéaires sur E ........ .253
8.11 Matrice d'un morphisme en dimensions fines . 254
8.11.1 Matrice d'une application linéaire . 254
8.11.2 Matrice de f + g, de >'f . 256
8.11.3 Matricedegof. . . . .257
8.12 Ensemble des matrices (n,p) .. . 258
8.12.1 Structure de Mn,p (K) . . 258
8.12.2 Isomorphisme entre L (E, F) et M np (K) . 259
8.12.3 Matrice transposée . .259
8.13 Ensemble des matrices carrées d'ordre n .260
8.13.1 Structure . .260
8.13.2 Eléments inversibles de Mn (K) .261
8.13.3 Etude du cas n = 2 . .261
8.14 Exercices . .262
9 Systèmes linéaires 265
9.1 Généralités . .265
9.1.1 Terminologie . .265
9.1.2 Systèmes équivalents .266
9.2 Différentes interprétations d'un système. .266
9.2.1 Une combinaison linéaire de vecteurs .266
9.2.2 Une application linéaire .268
9.2.3 Equation matricielle .269
9.2.4 Bilan........... .269
9.3 Méthode du pivot de Gauss .. .270
9.3.1 Transformations élémentaires .270
9.3.2 Algorithme . .271
9.4 Systèmes de deux équations à deux inconnues .275
9.5 Exercices..................... .278
10 Barycentres 279
10.1 Fonction vectorielle de Leibniz . .279
10.2 Barycentre . .280
10.2.1 Définition . .280
10.2.2 Propriété fondamentale du barycentre. .281
10.2.3 Propriétés du barycentre .... .283
10.2.4 Les barycentres de deux points .285
10.2.5 Les barycentres de trois points. .286
10.2.6 Isobarycentre . . . . . . .. .287
10.3 Fonction scalaire de Leibniz . . . . . . .288
10.3.1 Fonction scalaire de Leibniz .. .288
10.3.2 Cas d'un système de masse totale non nulle .289
10.3.3 Cas d'un système de masse totale nulle .289
10.3.4 Deux cas particuliers . . . . . . . . . . . .290
10.4 Lignes de niveau dans le plan P ......... .291
10.4.1 Notion de ligne de niveau d'une fonction .291
10.4.2 Lignes de niveau d'une première fonction f. .291
10.4.3 Lignes de niveau de la fonction 'r/J .292
10.5Exercices. ....................... .295
Il Applications affines 297
11.1 Projections du plan P . .297
11.1.1 Image et invariants d'une projection plane .297
11.1.2 Conservation des barycentres . .298
11.2 Translations du plan ou de l'espace .299
11.2.1 Points invariants . .299
11.2.2 Composition de translations .300
11.2.3 Caractérisation vectorielle d'une translation .300
11.3Homothéties ...................... .304
11.3.1 Ensemble des points invariants. . . . . . . . .304
11.3.2 Composition d'homothéties de même centre .304
11.3.3 Caractérisation vectorielle d'une homothétie .305
11.3.4 Ensemble des homothéties-translations .309
Il.4 Applications affines . . . . . . . . . . . .310
11.4.1 Définition, premières propriétés . . . . .310
11.4.2 Image d'une droite . .311
11.4.3 Image d'un segment, d'une demi-droite .312
11.4.4 Image d'un plan . .313
11.4.5 Applications affines du plan P, de l'espace E. .313
11.4.6 Application vectorielle associée . .314
11.4.7 Caractérisation analytique d'une application affine du plan,
del'espace ....... .315
11.5 Affinités orthogonales du plan . . . . . . . . . . . 318
11.5.1 Pointsinvariants .. . . . . . . . . . . . .318
11.5.2 Composée de deux affinités de même axe . 318
11.5.3Bijectivité................. .319
11.5.4 Expression analytique dans un repère lié à l'axe . 319
11.5.5 Image d'un cercle centré sur l'axe . 320
11.6Exercices. ................. .321
12 Isométries -Etude des isométries planes 323
12.1 Notiond'isométriede[ . . . . . . . . . . .323
12.1.1 Composée de deux isométries de [ . 323
12.1.2 Injectivité . . . . . . . . .324
12.2 Invariants par une isométrie . . . . . . . . 324
12.2.1 Conservation du milieu. . . . . . . 324
12.2.2 Conservation du produit scalaire. . 325
12.2.3 Conservation des barycentres .. . 325
12.3 Effet sur un repère orthonormé. Bijectivité . 326
12.3.1 Effet sur un repère orthonormé de [ . 326
12.3.2 Bijectivité. Réciproque d'une isométrie . 327
12.3.3 Groupe des isométries de [ . 328
12.4Isométriesplanes ................ .328
12.4.1 Réflexionplane ............. .328
12.4.2 Effet d'une réflexion sur les angles orientés . 330
12.5 Décomposition en produit de réflexions . . . . . . . 332
12.5.1 Isométrie plane admettant trois points invariants non alignés . 332
12.5.2 Isométrie, distincte de 1dp, admettant deux points distincts
invariants .................. .332
12.5.3 Isométrie admettant un unique point fixe . . . . . . . . . . . . 333
12.5.4 Décomposition des isométries avec des réflexions . . 333
12.6 Nature des déplacements de P ............. . 334
12.6.1 Composée de deux réflexions d'axes parallèles . 334
12.6.2 Composée de deux réflexions d'axes sécants . 335
12.6.3 Décomposition d'une rotation . . . . . . . . . . 336
12.6.4 Ensemble des déplacements du plan . . . . . . . . 336
12.6.5 Nature de la composée de deux déplacements . . 337
12.6.6 Déplacement caractérisé par la donnée d'un point et son image 338
12.6.7 Expression complexe des déplacements du plan .... 338
12.7Exercices. ............ .340
12.8 Problème: une étude du cercle . 341
13 Similitudes planes directes 343
13.1 Composée d'une homothétie et d'une rotation . 344
13.1.1 Effet sur les distances, les angles. . 344
13.1.2 Effet sur les barycentres . . . . . . . . . 344
13.1.3 Réduction au cas .À > O. ........ .345
13.1.4 Cas particulier où r et h ont même centre n. 345
13.2 Similitudeplanedirecte. . . . . . . . . . . . . . . . .346
13.2.1 Définition ................... .346
13.2.2 Composée de deux similitudes planes directes . 347
13.2.3 Décomposition d'une similitude plane directe. . 347
13.2.4 Groupe des similitudes directes .. . . 348
13.2.5 Angle d'une similitude plane directe. . 348
13.2.6 Figures directement semblables . . . 351
13.2.7 Similitudes indirectes. . . . . . . . . .351
13.3 Similitude directe et application complexe . . 352
13.3.1 Expression complexe d'une similitude directe. . . 352
13.3.2 Application ponctuelle associée à z 1---+ az + b, a i= 0 . .353
13.3.3 Similitude directe définie par la donnée d'un bipoint et son image .354
13.3.4 Points invariants d'une similitude directe . . . 354
13.3.5 Forme réduite d'une similitude plane directe . 355
13.4Exercices. ....................... .356
14 Produit scalaire de l'espace 359
14.1 Droitesorthogonales . . . . . . . . . . . .359
14.2 Droites et plans orthogonaux. . . . . . . . 360
14.2.1 Définition et premières propriétés . 360
14.2.2 Plans orthogonaux à une même droite . 361
14.2.3 Droites orthogonales à un même plan. . 362
14.2.4Caractérisation ............. .362
14.2.5 Plan orthogonal à une droite donnée et passant par un point donné 364
14.2.6 Droite orthogonale à un plan donné et passant par un point donné 364
14.2.7 Vecteur normal à un plan .365
14.3 Projections orthogonales . . . . . . 366
14.4 Produit scalaire usuel de l'espace . 367
14.4.1 Définition et premières propriétés . 367
14.4.2 Propriété d'additivité. . 368
14.4.3 Carré scalaire, norme. . 369
14.4.4 Vecteurs orthogonaux. . 370
14.4.5 Plans perpendiculaires . 372
14.5 Repères orthonormés de E .. . 373
14.5.1 Base orhonormée de W, repère orthonormé de E .373
14.5.2 Expression du produit scalaire et de la norme relativement â
une base orthonormée de W . . . . . 373
14.5.3 Equation cartésienne d'une sphère. . . . . . . 374
14.5.4 Equation cartésienne d'un plan .. . . . . . . 374
14.5.5 Parallélisme, perpendicularité de deux plans . 375
14.5.6 Distance d'un point â un plan de E .. 376
14.6 Produit vectoriel dans l'espace orienté. . . . . . . . . 376
14.6.1 Orientation physique de l'espace. . . . . . . . 376
14.6.2 Orientation d'un plan par un vecteur normal. . 378
14.6.3Produitvectoriel ................ .378
14.6.4 Autre expression du produit vectoriel . . . . . . 378
14.6.5 Coordonnées dans une base orthonormée directe. . 380
14.6.6 Applications. . 380
14.7Exercices. .......................... .381
15 Exemples d'isométries de l'espace 383
15.1 Isométries de l'espace. . . . . . 383
15.1.1 Généralités . 383
15.1.2 Caractérisation de IdE . 384
15.2 Réflexions de l'espace . . . . . . 384
15.2.1 Définition . . . . . . . . 384
15.2.2 Caractérisation des réflexions de E . 386
15.2.3 Expression analytique dans un repère orthonormé lié au plan
deréflexion ....................... .. .386
15.2.4 Effet d'une réflexion sur l'orientation . . . . . . . . . .. . 387
15.2.5 Droites et plans globalement invariants par une réflexion . 388
15.3 Composée de deux réflexions de l'espace . . . . . . . . . 389
15.3.1 Composée de deux réflexions de plans parallèles . 389
15.3.2 Composée de deux réflexions de plans sécants . 390
15.4 Rotation de l'espace . 391
15.4.1 Définition .................... .391
15.4.2 Décomposition d'une rotation . . . . . . . . . . 392
15.4.3 Points invariants par une rotation de l'espace . 393
15.4.4 Isométries de l'espace dont l'ensemble des points invariants
estunedroite . . . .393
15.5 Déplacementsdel'espace .... .. .... ......... ..... .394
15.5.1 Définition . .394
15.5.2 Composée d'une translation et d'une rotation .395
15.5.3 Vissage . .396
15.5.4 Composées de rotations et de translations .396
15.6 Exercices . .399
16 Elémentsde correction des exercices 401
16.1 Notions de base . .401
16.2 Géométrie plane . .404
16.3 Produit scalaire du plan .409
16.4 Géométrie de l'espace .. .411
16.5 Nombres complexes ... .415
16.6 Polynômes et fractions rationnelles .420
16.7 Coniques . . . . . . .424
16.8 Algèbre linéaire .. .430
16.9 Systèmes linéaires . .437 16.lOBarycentres .... .439 16.11Applications affines .443 16.12Isométries ..... .445 16.13Similitudes planes . .450 16.14Produit scalaire de l'espace. .454 16.15Isométries de l'espace .... .457
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