Algèbre des matrices

Sommaire et contenu du livre "Algèbre des matrices"

Table des matières Introduction Préliminaires 1. Déterminant, rang, système linéaire 9 1.0. Espace vectoriel, dimension, application linéaire, matrice, dualité 9 1.0.0. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, application linéaire la 1.0.1. Famille, panie libre, génératrice. base 14 1.0.2. Base. dimension 15 1.0.3. Dimension d'un sous-espace vectoriel 17 1.0.4. Rang d'une application linéaire 19 1.0.5. Dualité dans les espaces vectoriels 24 1.1. Déterminant 29 1.1.1. Déterminants de n vecteurs d'un espace vectoriel de dimension n 30 relativement à une base 1.1.2. Déterminant d'un endomorphisme 32 1.1.3. Déterminant d'une matrice carrée 33 1.1.4. Calcul d'un déterminant 37 1.2. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, rang, matrices 41 équivalentes 1.2.1. Le rang d'une matrice 42 1.2.2. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes 45 1.2.3. Matrices echelonnées, matrices équivalentes 47 1.2.4. Les invariants de similitude d'une matrice à coefficients dans 7L ou K[X] 56 1.2.5. Les sous-groupes de 7l', les groupes abéliens finis, les groupes abéliens de 61 type fini 1.2.6. Le groupe Ge.CAl ,se.(Al où A=71 oU K[X] 65 1.3. Résolution de systèmes linéaires à coefficients dans un corps 67 1.3.1. L'aspect théorique, le théorème de Rouché Fontené 68 1.3.2. Résolution d'un système linéaire par la méthode du système échelonné 73 1.3.3. Recherche d'un système minimal d'équations (resp. d'une base) d'un 74 sous-espace vectoriel de KP lA. Exercices 77 lITable des matières 2. L'algèbre des endomorphismes, le groupe linéaire 105 2.1. L'algèbre des endomorphismes 105 2.1.1. L'algèbre des endomorphismes, dimension. centre 105 2.1.2. Idéaux bilatères. à gauche. à droite 106 2.1.3. Le dual de EndE 110 2.1.4. Quelques exemples de sous-algèbres 110 2.1.5. Propriétés topologiques. K;JR ou IC III 2.2. Le groupe linéaire 112 2.2.1. Le groupe des inversibles de EndE 112 2.2.2 Des générateurs de GR. (JO 113 2.2.3. Transvections 113 2.2.4. Sous-groupes distingués de Ge.(K) 118 2.2.5. La topologie du groupe linéaire 119 2.3. Exercices 122 3. Polynôme minimal, caractéristique 141 3.1. Le polynôme minimal d'un endomorphisme 141 3.2. Le polynôme caractéristique 147 3.3. Le théorème de Cayley-Hamilton 151 3.4. Calcul pratique du polynôme minimal, caractéristique. 153 d'un sous-espace monogène 3.4.1. Le calcul du polynôme minimal d'une matrice 153 3.4.2. Le calcul du polynôme caractéristique 154 3.4.3. Calcul d'un sous-espace monogène maximal (i.e. le lemme 3.1.8) 155 3.5. Exercices 157 4. Réduction d'un endomorphisme, invariants de similitude 4.1. Le théorème principal 175 4.2. Le point de vue matriciel 177 4.2.1. Les invariants de similitude d'une matrice 177 4.2.2. Les orbites de Gen (K) opérant par conjugaison sur Mn (K) 178 4.3. Les invariants de similitude de XITl -A 179 4.4. Le calcul des invariants de similitude d'une matrice A 180 4.4.1. Le calcul des invariants de similitude de la matrice A ~ 180 4.4.2. Construction d'une base dans laquelle l'endomorphisme A est un 180 tableau diagonal de matriaes compagnons 4.5. Quelques conséquences du théorème principal 181 4.6. La réduction de Jordan 182 4.7. Exercices 185 5. Vecteurs propres, diagonalisation et réductions 209 5.1. Vecteurs propres, valeurs propres d'un endomorphisme 210 5.2. Diagonalisation des endomorphismes, des matrices 212 5.3. Réduction à la forme triangulaire d'une matrice. d'un endomorphisme 215 5.4. Réduction à la forme diagonalisable plus nilpotent 216 5.5. Calcul de vecteurs propres, valeurs propres 218 5.6. Les endomorphismes semi-simples 221 5.7. Exercices 227 Bibliographie 285 Index des notations 287 Index des noms 288