Ce livre expose les bases de la théorie des probabilités : algèbre des événements, variables aléatoires, indépendance, probabilités conditionnelles, moments des variables aléatoires discrètes et continues, fonctions génératrices, théorèmes limites. Il comporte un très grand nombre d'exercices accompagnés de solutions détaillées. [lire le résumé du livre]
Ce livre expose les bases de la théorie des probabilités : algèbre des événements, variables aléatoires, indépendance, probabilités conditionnelles, moments des variables aléatoires discrètes et continues, fonctions génératrices, théorèmes limites. Il comporte un très grand nombre d'exercices accompagnés de solutions détaillées.
Conçu à l'origine à l'intention des candidats au CAPES de mathématiques ou à l'agrégation interne, cet ouvrage s'est révélé très utile aux étudiants des premières années d'université. Il est le fruit de nombreuses années d'expérience des concours et de leur préparation.
Il est suivi d'un second tome, destiné aux étudiants en master de mathématiques et aux candidats à l'agrégation externe. L'auteur insiste d'emblée, à juste titre, sur l'importance de la démarche de modélisation probabiliste. L'approche intuitive et concrète inhérente aux probabilités va ici de pair avec une exigence de rigueur et une grande précision dans la rédaction. La théorie est constamment illustrée par de nombreux exemples et contre-exemples.
Aucune connaissance préalable en probabilités n'est nécessaire, et certains préliminaires mathématiques (familles sommables, par exemple) sont traités en détail.
Spécialiste de probabilités, Jean-Yves Ouvrard a participé à maintes reprises au jury de l'agrégation de mathématiques, et s'est occupé activement de la préparation à ce concours à l'Université Joseph Fourier de Grenoble.
Collection enseignement des mathématiques
Auteurs :
Spécialiste de probabilités, Jean-Yves Ouvrard ont participé à maintes reprises au jury de l'agrégation de mathématiques, et s'est occupé activement de la préparation à ce concours à l'Université Joseph Fourier de Grenoble.
Sommaire et contenu du livre "Probabiltés 1 - Licence, CAPES."
Table des matières
Introduction 1
Chapitre 1. Phénomènes aléatoires et modèles
probabilistes 3
1.1.
La notion d'expérience aléatoire . 3
1.2.
L'algèbre des événements . 6
1.3.
Axiomes des tribus et des probabilités. Premières propriétés 8
1.4.
Espaces probabilisés discrets 13
1.5.
Variables aléatoires 18
Exercices .. 21
Chapitre 2. Familles sommables de nombres réels 29
2.1.
Somme d'une famille de réels positifs . 29
2.2.
Arithmétique dans IR. Somme d'une famille d'éléments de IR 32
2.3.
Somme d'une famille de réels de signe quelconque 38
Exercices . 45
Chapitre 3. Indépendance 51
3.1.
Introduction . 51
3.2.
Indépendance d'événements et de variables aléatoires . 54
3.3.
Loi d'une somme de variables aléatoires indépendantes 61
3.4.
Indépendance et produits cartésiens: construction d'un modèle 65
3.5.
Modèles géométriques et binomiaux 67
Exercices . 72
Chapitre 4. Probabilités et lois conditionnelles 87
4.1.
Probabilités conditionnelles . 87
4.2.
Lois conditionnelles . 93
4.3.
Modélisation d'un phénomène évolutif. 96
00
Exercices
Chapitre 5. Moments d'une variable aléatoire discrète 115
5.1.
Moyenne, ou espérance mathématique. 115
5.2.
Moments d'ordre supérieur 122
5.3.
Fonctions génératrices. 137
Exercices 145
Chapitre 6. Variables aléatoires à densité 175
6.1.Probabilitéssur]Rn
.............. 175
6.2.
Loi d'une variable aléatoire à valeurs dans]Rn . . . 179
6.3.
Moyenne et variance d'une variable aléatoire réelle. 185
6.4.
Loi de Laplace-Gauss à deux dimensions . . . . . . 192
6.5.
Indépendance de deux variables aléatoires réelles. . 196
6.6.
Somme de variables aléatoires réelles indépendantes 199
6.7.
Densités conditionnelles. . . . . . . . . . 200
6.8.
Annexe. L'intégrale de Riemann dans ]Rn 202
Exercices .................... 210
Chapitre 7. Approximation de lois. Loi faible des
grands nombres 219
7.1.
Approximation de lois. . . . . 219
7.2.
Loi faible des grands nombres 228
Exercices .............. 230
Tableau des lois de probabilité usuelles 237
Bibliographie 239
Index 241
Liste des chapitres du deuxième tome
8.
Lois et moments de variables aléatoires
9.
Indépendance de tribus, de variables aléatoires
10.
Convergences et lois des grands nombres
11.
Probabilités et espérances conditionnelles
12.
Transformée de Fourier et fonctions caractéristiques
13.
Variables aléatoires gaussiennes
14.
Convergences de mesures et convergence en loi
15.
Processus et martingales discrets
16.
Chaînes de Markov
Annexe.
Résumé de théorie de la mesure
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