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L'Oral de mathématiques et d'informatique aux concours X-Mines - Centrale - PC - PC* - ellipses - 9782729855345 - Livre - Unitheque.com
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On ne prépare pas de la même façon tous les concours dans toutes les sections : un étudiant désireux d'intégrer une école du groupe X-Mines-Ponts par la filière PC doit suivre une préparation spécifique, propre au niveau de ces concours et au programme de cette filière.Cet ouvrage propose 250 exercices avec des réponses détaillées, [...] [lire le résumé du livre]
Quel est le sujet du livre "L'Oral de mathématiques et d'informatique aux concours X-Mines - Centrale"
On ne prépare pas de la même façon tous les concours dans toutes les sections : un étudiant désireux d'intégrer une école du groupe X-Mines-Ponts par la filière PC doit suivre une préparation spécifique, propre au niveau de ces concours et au programme de cette filière.
Cet ouvrage propose 250 exercices avec des réponses détaillées, illustrées par de nombreuses figures. Ces exercices sont issus des oraux des concours X-Mines-Centrale en filière PC ou d'exercices « types » sélectionnés pour l'intérêt des idées qu'ils abordent. L'ouvrage inclut un sommaire thématique où chaque énoncé est repéré par un titre et une école : ceci permettra au lecteur d'aller chercher très rapidement les exercices adaptés à ses exigences ou à ses points faibles afin de profiler sa préparation.
Le logiciel de calcul formel MAPLE est régulièrement utilisé tout au long des corrections. Le lecteur trouvera notamment 14 exercices d'informatique issus de l'épreuve de Centrale PC, à résoudre avec l'outil informatique.
De plus, le dernier chapitre de cet ouvrage consiste en un index des principales commandes et structures MAPLE à maîtriser : boucle, procédure, résolution d'équation, etc.
Toute épreuve d'oral présentant une composante informatique doit être prise au sérieux par les candidats, qui trouveront ici un échantillon représentatif de l'épreuve d'informatique à l'oral du concours Centrale.
Sommaire et contenu du livre "L'Oral de mathématiques et d'informatique aux concours X-Mines - Centrale - PC - PC*"
Table des mati?s
1 Polyn? 9
Centrale.
Factorisation de polyn? en irr?ctibles 10
Centrale.
Triangle des racines d'un polyn?. 11
X.
Carr?orm?ar les racines d'un polyn?. 13
Centrale.
Equations lin?res portant sur des polyn? 13
Mines.
Factorisation d'un polyn?calcul d'un produit 15
Type X.Polyn?deTchebycheff . . . . . . . . . . . 16
Type X.
Calcul de ((2) ?'aide de polyn? . 18
Centrale. Calcul d'un d?rminant li? un polyn?.. 21
Type X.
Polyn? de Legendre . 23
Centrale.
Polyn? scind??acines simples sur IR[X] . 25
X.
Sommes des carr?dans un anneau . 26
2 Alg?e lin?re, matrices 29
Type Centrale. Travailsurdesrangs .............. 30
Centrale.
Ind?ndance lin?re d'une famille de fonctions 30
X.
Indice de nilpotence en dimension finie . . . . . . . . . . 31
Type X.Noyauxit?s...................... 32
Type X.
Applications des noyaux it?s . 34
Type X.
Produit d'endomorphismes nilpotents qui commutent 35
X.
Equation matricielle sur Atz(C) . 35
X.
D?mposition de l'identit?n uv +vu. 35
X.
Caract?sation des matrices nilpotentes par le spectre 36
Centrale.
Comparaison des rangs de A, tAA et AtA . 37
Mines.
Hyperplans stables par un endomorphisme . 37
Type X.
Centre multiplicatif de Atn(IK) . 39
Mines.
Valeur propre commune ?eux matrices 41
X.
Somme nilpotente de matrices . 41
Type Mines. Matrices ?iagonale dominante . 42
Centrale.
SiAB-BA = Boo . 43
Centrale.
Cas d'?lit?e Rg( 9 0 f) avec Rg( g), avec Rg(f) . 44
Mines. Projecteurs qui commutent. . 45
Mines.
Un crochet de Lie . 46
X.
Expression du rang comme un min . 47
Type X.
Applications de Atn(IK) -j JI( conservant le produit 47
Type X.
Matrices compagnon et commutant d'un cyclique. 48
X.
Formes lin?res sur ..4tn (IR) ..... 50
X.
Mono? fini de matrices inversibles . 51
Mines.
Sitr(Ak)=tr(Bk)pourtout koo . 53
X.
Equations matricielles sur At3 (IR) . 55
Type X.
Une matrice de At3(C) semblable ?a transpos?56
X.
Hyperplans stables et formes lin?res .. 58
Centrale. Etude des matrices de trace nulle .. 60
Mines.
Dualit? 63
X.
Une factorisation sur les endomorphismes 64
3 D?nninants 67
Type Centrale. D?rminant d'une matrice form?de ±1 68
Type Mines. D?rminant par blocs '" 68
Type Mines. D?rD?ant par blocs 2 . 69
Ce?1trale.
Matrices ci~cupntes d'ordre 4 . 69
Mmes. det(A + In)SIA =° . 70
Mines.
Inverse d'une matrice ?aram?es. 71
Type X.
D?rminant des lai -ajl .... 72
Formule d'inversion matricielle .. 73
Type X.
Mines.
D?rminants de Vandermonde . 74
D?rminant circulant . 76
Type X.
Type X.
D?rminants de Cauchy, de Hilbert. 78
4 R?ction 81
Mines.
Caract?sation de certains projecteurs 82
Mines.
Polyn?annulateur . 82
Type Centrale. Polyn?annulateur 2 . 83
Mines.
Polyn?annulateur 3 . 83
Centrale.
Spectre et inverses de IdE -uv et IdE -vu 84
Mines.
Diagonalisation de Vty pour V, Y deux colonnes 85
Type Mines. R?ction d'une matrice creuse . 86
Mines.
??nts propres d'une matrice . 87
Mines.
Diagonalisabilit?'une application sur les matrices 88
Type Mines. Diagonalisation simultan?. 89
X.
Diagonalisation simultan?g?ralis?. 89
Type Centrale. Commutant d'un endomorphisme diagonalisable 90
Type Mines. Un cas de d?mposition des noyaux . 92
Centrale.
Etude d'endomorphismes sur Atn(C) . 94
Centrale. Un endomorphisme sur les endomorphismes .. 95
Centrale.
Trigonalisation d'un endomorphisme nilpotent. 97
Centrale MAPLE. R?ction de matrices ?aram?es 99
Mines. Unspectrenon trivial................. ·102
X.
Sous-espaces stables par une matrice . · 104
Mines. Caract?sation de la diagonalisabilit? .105
Type X.
Diagonalisabilit?'un produit tensoriel d'ordre 2 · 107
Centrale.
Diagonalisabilit?nilpotence de f ~ f 09-90 f · 108
Mines.
Diagonalisabilit?t hyperplans stables. · 109
Centrale. Valeur propre commune . . · 110
X.
Que dire si u 2 est diagonalisable? . · 111
X.
Diagonalisation par blocs . .112
X.
Diagonalisation par blocs 2 . · 113
X.
Diagonalisabilit?e u, de Plu) si P/(u) E Gl(E) . · 115
5 Espaces pr?lbertiens ou euclidiens 117
Centrale.
Diff?nce de bases orthonormales directes · 118
Mines.
Endomorphismes sym?iques et orthogonaux · 119
X.
Extrema d'une fonction sur '6'°([0, 1], IR~) . .119
Centrale.
Matrices orthogonales d'ordre 3 · 120
X.
Trace d'un produit de 51'2 (IR) . · 121
Centrale. Sur le double produit vectoriel . .122
Mines.
Produit scalaire usuel sur Atn(IR), norme du produit. · 124
Mines. Orthogonalit?'une matrice par blocs . . . . . 125
Mines. Endomorphisme sym?ique sur lRn [X] . . . . . 126
Type X.
R?ction d'une matrice creuse sym?ique . 127
Centrale. Matrices sym?iques positives . . . . . . . . 128
Mines.
Racine carr?d'un endomorphisme sym?ique positif . 130
Mines.
Endomorphismes et matrices antisym?iques . 132
Centrale MAPLE. Projection orthogonale dans lR2n[X] . 134
Type Mines. Orthogonalit?es polyn? d'Hermite. . . . . . . 136
X.
Orthogonalit?t minimisation avedes polyn? de Tchebycheff . 138
Type X.
Orthogonalit?es polyn? de Legendre. . . . . . . 140
Centrale.
Minimisation d'int?ale et projection orthogonale . 142
Type X.
Matrices de Gram . 144
X.Famillesobtusangles................. .146
X.
Th?? du minimax de Courant-Fischer. . . . . 148
Type X.
Polyn? orthogonaux associ??n poids . 149
6 G??ie, courbes et surfaces 153
Centrale. R?ction d'une ?ation de quadrique. . 154
Centrale. Equation polaire d'un carr? . . . . . . . . 155
Centrale. Etude d'une courbe param?? . . . . . . 155
X.
Polygone dont les milieux des c? sont impos?. 156
Centrale. Rayon de courbure d'une courbe en polaire. . 158
Centrale.
Isobarycentre de trois points d'une parabole . 159
Centrale. R?ction d'une ?ation de conique . . . . . 161
Mines. Caract?sation des tangentes ?ne ellipse .. . 161
Centrale MAPLE. Famille de courbes param??. . . . 162
Type Centrale. Normales les plus ?ign? d'une ellipse . 166
Centrale. Cylindre d?ni par g?ratrices et directrice . . 167
Centrale.
Trac?u pentagone r?lier ?a r?e et au compas . 168
Type Mines. D?nition biaxiale du parabolo? hyperbolique . 169
Centrale.
Plans tangents contenant une droite donn?. 170
Type Centrale. Courbe orthoptique de l'ellipse . . . . . . 171
Centrale. Sommets des paraboles ?angente impos? . 173
Type Centrale. Recherche de lieu g??ique . . . . 175
Type X.
Courbe de lR2 d?nie de mani? implicite . . . 176
Centrale. Equation cart?enne d'un c? . . . . . . . . 178
Type X.
Lieu du foyer d'une parabole ?angentes prescrites. . 179
Centrale.
Images de parties de l'espace par l'inversion . 181
Type X.
Equation intrins?e d'une courbe plane . . 183
Type X.
Equation intrins?e d'une courbe plane 2 . 184
Type X.Unesurfacer??............. .184
Aire de la boucle du folium de Descartes . 185
Type X.
Mines. Tangentes ?'hippop? . . . . . 187
Centrale. Podaire de l'hyperbolo? . . . 190
Mines.
Surface r??et d?loppable . 192
7 Espaces vectoriels norm? suites 195
Type Centrale. Limites de puissances de matrices · 196
Type Mines. Preuve de la formule de Stirling par Wallis · 196
Mines.
Suite de complexes . · 197
Mines.
Une s?e sp?ale altern?. · 198
Type Mines. Limites des racines =racines de la limite . . · 198
Type X.
D?loppement asymptotique des solutions de x = tan(x) .200
Mines.
Produit infini : convergence, calcul . · 201
Type X.
Normes de Holder . .203
X.
Radicaux imbriqu?. .205
Type X.
Lemme de Ces?, application ?in+1 = sin(un) .207
Type X.
Ces? (variante) . .209
Type X.
Ces? (variante 2) . · 210
Suite r?rrente lin?re d'ordre 3 .211
Type X.
Mines. Limite de sin(27ffi!e) . .213
X.
Th?? de Korovkin . .214
Centrale. M?ode de Newton sur les matrices. .216
X.
Equivalent d'un produit en +00 . .220
X.
Normes subordonn? et sous-groupes born?de GLn(C) .222
8 Fonction d'une variable r?le 227
X.
Une majoration . .228
Centrale MAPLE. Fonction d?nie par une int?ale . .228
Mines. Int?ation des relations de comparaison: application. .230
Centrale.
Point fixe d'une fonction [0, 1] ~ [0,1] .232
X.
Une fonction qui augmente les distances .233
Centrale.
Une ?ation fonctionnelle .234
X.
Limite pour f ===} limite pour f'? .235
X.
Etude d'une suite d'int?ales .. .237
9 Int?ation 239
Centrale. Int?ales ?aleurs complexes . . . . . .240
Centrale.
Suite simple, d?nie par des int?ales .241
Centrale MAPLE. Calcul d'une int?ale .242
Mines.
Calcul d'une int?ale impropre .243
Mines. Calcul de J~ xE(l/x)dx . .244
Mines.
Equivalent d'une int?ale ?aram?e .245
Type Centrale. Permutation somme/int?ale . .246
Mines.
Une propri? g??ique de l'int?ale .247
Centrale. Fonction implicitement d?nie par une int?ale. .248
Centrale MAPLE. D?loppement asymptotique d'une suite. .249
X.
Etude d'une suite d'int?ales . .252
Mines. Int?ale ?aram?e dans les bornes . .254
X.
Calcul d'une int?ale par ses sommes de Riemann .257
Mines. Transform?de Laplace d'arctan . .259
Type X.
Equivalent d'une int?ale ?aram?e . .261
Centrale.
Equivalents d'une transform?de Laplace .262
Centrale. Int?ale d?ndant d'un param?e .. .264
Transform?de Fourier de la loi normale .266
Type X.
Type Mines. Permutation somme/int?ale .... .268
Centrale MAPLE. Int?ales d?ndant d'un param?e .269
o t
Mines.
Int?ale ?aram?e vs. s?e de fonctions .275
Type X.
Variante du lemme de Lebesgue . .277
Mines. Une question d'int?abilit? .279
Type X.
Equivalent d'une int?ale ?aram?e .. .281
Centrale.
Suite r?rrente et int?ales ?aram?e .282
Centrale. Th?? de la limite centr?. .285
J
+OO sin(t)
Mines. Convergence et valeur de --dt . . .273
10 S?es num?ques 289
n
Mines. Equivalent de L kk lorsque n ----l +00 .290
k=
Centrale. Convergence d'une s?e ?aram?es. .290
Mines. D?loppement asymptotique. . . .291
Centrale. D?loppement asymptotique 2 .. . .292
Mines. D?loppement asymptotique 3 . .293
Centrale. S?es et produits num?ques . .294
Mines.
Etude impliquant une s?e de Bertrand .296
1
Mines. Etude de L fa f(x)xndx . .297
Type X.
Sur la s?e des Un lorsque (Un)n est d?oissante .299
X.
Approximations d'un r? par des s?es pseudo-altern? . 301
X.
D?mposition en s?e factorielle d'un r? . .303
11 S?es de fonctions, de Fourier 305
Mines. Calcul de «(2) et «(4) . .306
Mines.
Convergence simple, normale d'une s?e de fonctions .307
Mines. In?lit?sop?m?ique (ou de Wirtinger) . .309
X.
S?e des primitives it?es d'une fonction . .309
Mines. Equivalent d'une s?e de fonctions . .311
Centrale MAPLE. Equivalent d'une s?e de fonctions 2. .312
Type Mines. Etude d'une s?e de fonctions . .315
Centrale. S?es de fonctions monotones . . 318
Type X.
Propri?s de la somme d'une s?e de fonctions .319
Mines.
S?e de Fourier par des d?loppements en s?e enti? .321
Type X.
S?e de Fourier d'une fraction trigonom?ique .. .323
Mines. Calcul d'une somme ?'aide d'une s?e enti? ... .324
Centrale MAPLE. Transformation d'Abel et s?e de Fourier .325
12 S?es enti?s 329
Centrale. Rayons de convergence . . . . . . . . . .330
Mines.
Rayon de convergence d'une s?e enti? .330
Mines. Equivalent d'une s?e enti? au bord .. .330
X.
Equivalent d'une s?e enti? au bord 2 ... .332
Centrale. Rayon de convergence et somme d'une s?e enti?. .332
Type X.
Fonction non d?loppable en s?e enti?. .333
Mines. Produit de Cauchy . .335
Mines. D?loppement en s?e enti? . . . .336
Mines. Etude et somme d'une s?e enti?. .338
Type Centrale. Matrice et s?e enti? .... .338
Mines. NoyaudePoisson................... .339
Type Centrale. Transform?de Laplace d'une s?e enti? . 343
Centrale MAPLE. Produit de s?es enti?s . 345
Type Mines. S?e g?ratrice des polyn? d'Hermite . 347
X.
Equivalent au bord d'une s?e enti? lacunaire. . 349
Centrale MAPLE. Etude d'une s?e g?ratrice . . . . . . 351
13 ?uations diff?ntielles 355
Type Mines. Syst? diff?ntiel en z = x + iy ........... .356
Type Centrale. Syst? diff?ntiel antisym?ique . 356
Type Mines. Le second membre est une exponentielle-polyn?. 357
Type Mines. Equation d'ordre 1 avec raccordement . . . . . . . . . 357
Type Centrale. Solutions maximales d'une ?ation diff?ntielle . 358
Mines. Variationsdes constantes................... .359
Mines. Equation diff?ntielle, s?es enti?s et raccordement. . . 361
Type Mines. S?es enti?s et raccordement pour un second ordre . 362
Type X.
S?e enti?, variation de la constante et raccordement . . . 364
Centrale MAPLE. Equation non lin?re, trac?es courbes int?ales. . 367
Mines. Principe de superposition sur une somme infinie . . 369
Centrale MAPLE. Syst? diff?ntiel autonome . . 370
14 Fondions de plusieurs variables 373
Type Centrale. Calcul d'une int?ale multiple . 374
X.
Bornes d'une fonction de trois variables . . 374
Centrale. Fonctions anisotropes sur IRn{O} . . . 375
Centrale MAPLE. Extrema d'une fonction de deux variables. . 376
Type Mines. Changement de variable polaire . . . . . . . . . 378
Centrale. Extrema d'une fonction de deux variables 2 . . . . 379
Type X.Calculd'unLaplacien ................ .380
Type Centrale. Calcul d'int?ale par une int?ale double . 381
Type X.
Centre de masse d'un demi-disque . 382
Type Mines. Calculd'int?ale double. . . . . . . . . . . . .383
Centrale.
Diff?orphisme, ?ation aux d?v? partielles . 384
Type Mines. Changement de variables dans une int?ale double . 385
Type Centrale. Equation aux d?v? partielles du second ordre. . 386
Centrale.
Optimisation d'int?ales avec contrainte au bord . 387
15 R?m?APlE 391
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