Les Leçons de Mathématiques d'Aujourd'hui, données à Bordeaux depuis 1993, ont pour but de constituer un panorama largement accessible des mathématiques contemporaines, à destination de tous ceux qui, d'une façon ou d'une autre, sont intéressés par la recherche actuelle en mathématiques et curieux d'en avoir une vue de l'intérieur.Ce [...] [lire le résumé du livre]
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Les Leçons de Mathématiques d'Aujourd'hui, données à Bordeaux depuis 1993, ont pour but de constituer un panorama largement accessible des mathématiques contemporaines, à destination de tous ceux qui, d'une façon ou d'une autre, sont intéressés par la recherche actuelle en mathématiques et curieux d'en avoir une vue de l'intérieur.
Ce volume aborde la mécanique (systèmes dynamiques intégrables, théorie ergodique), la géométrie (transversalité, géodésiques, géométrie tropicale), l'algorithmique (factorisation, automates, logique et théorie des graphes), la théorie des tresses, l'analyse harmonique sur les groupes, les matrices aléatoires et le transport optimal (leçon de Cédric Villani, médaille Fields 2010).
Sommaire et contenu du livre "Leçons de mathématiques d'aujourd'hui Vol 4"
Préface vii
Auteurs et rédacteurs xv
Leçon 1. Michèle Audin. Systèmes hamiltoniens intégrables 1
Les équations d'Euler-Poisson (équations du mouve-
Comment montrer qu'un système hamiltonien est ou n'est
Motivation: Euler, Lagrange, Kowalevski, le solide et l'at-
Introduction: l'exemple de la toupie 1
Rotation,précession,nutation . . . . . . . . . . . . . . 1
mentdusolide) . . . . . . 4
Une courbe elliptique 6
Systèmes hamiltoniens, intégrabilité '' 9
Définitjon d'un système hamiltonien 9
Définition d'un système hamiltonien intégrable . 11
Exemples. ...... 12
LethéorèmedeLiouville................ 14
Énoncégéométrique ............... 14
Version algébrique du théorème de Liouville. 16
pasintégrable? ...................... .. 19
.
tjtude d'unsatellite................ .. 20
La théorie de Galois et le théorème de Morales-Ramis. 22
Application: non-intégrabilité de l'attitude d'un satellite 26
Questions .. 31
Bibliographie 31
Leçon 2. Alain Gulchardet. La méthode des orbites: historique,
principes, résultats 33
Introduction . . . . . 33
Petite chronologie . 38
Quelques généralités 41
Orbites coadjointes et représentations Tf(T) 41
Caractères des représentations Tf(T) .... 42
Cas des groupes nilpotents . . 45
Cas des groupes résolubles . . 46
Cas des groupes semi-simples compacts 47
Cas des groupes semi-simples non compacts 49
Exemples. ..................... 49
Exemple 1
: groupe de Heisenberg (nilpotent, simplement connexe) 50
Exemple 2
: groupe euclidien du plan (résoluble) 51
Exemple 3
: groupe SU(2) (simple, compact, simplement
connexe) .......... 53
Exemple 4 :groupe G =SL(2,~) . 54
Bibliographie 57
Leçon 3. Philippe Diane. Matrices aléatoires
: propriétés spectrales et convolution libre 61
Introduction: spectre probable d'une somme de grandes matriceshermitiennes.............. 61
Des algèbres de von Neumann au produit libre 65
Algèbres de von Neumann et facteurs . . . . . . . . . 65
Algèbre de von Neumann d'un groupe dénombrable 67
Algèbre de von Neumann d'un produit libre de groupes 68
Probabilités libres. . . . . . . . 71
Trace et espérance 71
Familles d'algèbres libres 72
Convolution libre et transformée de Fourier libre 73
Théorème limite central libre . . . . . . . . . . 75
Liberté asymptotique des matrices aléatoires. 77
La combinatoire de la liberté 79
Questions .. 81
Bibliographie 82
Leçon 4. André Galligo. Factorisation absolue de polynômes à
plusieurs variables 85
Introduction........................ 85
Stratégie pour une factorisation 86
Se ramener de plusieurs variables à 1ou 2 variables. 89
Factorisation absolue des polynômes à 2 variables 91
Bibliographie 102
Leçon 5. Ilia Itenberg. Géométrie tropicale et dénombrement de
courbes 107
Convergence d'amibes complexes vers des amibes non
archi-
Introduction............ 107
Amibes de variétés algébriques . 107
Amibes complexes . . . . . 107
Amibes non archimédiennes III
médiennes . 115
Variétés tropicales ... 116
Le monde tropical 116
Dualité et pondération . 117
Éléments de géométrie tropicale 119
Applications à la géométrie énumérative 121
Géométrie énumérative complexe 121
Géométrie énumérative réelle 122
Bibliographie 124
Leçon 6. Jean-Éric Pin. Automates réversibles:
combinatoire, algèbre et topologie 127
Lesautomates. ........... 128
Mots, langages et automates 128
Automates déterministes 129
Langages rationnels ..... 131
L'approche algébrique . . . . . . . 132
Automates déterministes et monoïdes de transition 132
Reconnaissance par morphisme 134
Monoïde syntactique. . 136
Automates réversibles . . . . . . . . . 138
Définition et exemples. . . . . . 138
Une première description des langages réversibles 140
Une première condition nécessaire 143
Le groupe libre o.................. 143
Définition o.................. 143
Automates réversibles dans le groupe libre 144
Sous-groupes rationnels du groupe libre 145
Parties réversibles du groupe libre 148
Retour au monoïde libre. 149
Topologie pro-groupe . . . . . . . . . . 150
Caractérisation algébrique 155
Synthèse des résultats . . . 159
Pour aller plus loin . 161
Sur la topologie du groupe libre. 161
Problèmes ouverts 162
Bibliographie . 165
Leçon 7. Bruno Courcelle. Structuration des graphes et logique 167
Extension aux graphes de la théorie des langages formels. 167
Grammaires . 168
Automates ...................... 170
Transductions .................... 171
Composition de graphes, largeur arborescente. 172
Grammairesdegraphes .............. 177
Algorithmes polynomiaux pour des problèmes NP-complets 179
Algorithmes polynomiaux; problèmes NP et NP-complets 179
Problèmes restreints à des graphes de largeur arborescente bornée; exemple du 3-coloriage 181
Logique du second ordre monadique . . . . . . . . . .. 183
Configurations interdites et théorie des mineurs de graphes. 189
Décidabilité de la logique du second ordre monadique . 192
Conclusion. . 193
Bibliographie 193
Leçon 8. David Ruelle. La théorie ergodique des systèmes dynamiques d'Anosov 195
Systèmes de spins sur un réseau 196
Premières définitions . . . . 196
Notions ergodiques. . . . . 199
Mesure d'équilibre et mesure de Gibbs 201
Théorème DLR 203
Réseau à une dimension . . . 204
Commentaires et références. 207
Dynamique hyperbolique . . . . . 208
Ensemble hyperbolique, variétés stable et instable 208
Difféomorphismes d'Anosov et axiome A 210
Commentaires et références. 213
Dynamiquesymbolique. . . . . . . . . . . . . 213
Partition de Markov ... 215
Représentation symbolique 217
Mesure de Gibbs et mesure SRB 220
Commentaires et références. . . 221
Opérateurs de transfert . 222
Outils pour le formalisme thermodynamique 222
Références 224
Questions .. 224
Bibliographie . 225
Leçon 9. François Laudenbach. De la transversalité de Thom au
h-principe de Gromov 227
LatransversalitédeSardà Thom . . . . . . . . . 227
La transversalité sous contrainte ~ c COO(M, N) 234
Leh-principedeGromov ............. 241
Le théorème d'approximation d'Eliashberg-Mishachev 247
Le retournement de la sphère. 251
Bibliographie 257
Leçon 10. Patrick Dehornoy. Le problème d'isotopie des tresses 259
Une solution au problème d'isotopie des tresses. 259
Leproblème .............. 260
À quoi bon résoudre ce problème? . 262
Une première remarque . . . . . . . 264
Desinvariants naïfs. . . . . . . . . . 264
Première étape: introduire une structure de groupe 267
Deuxième étape: trouver une présentation. 269
Troisième étape: passer au monoïde ..... 272
Quatrième étape: introduire la tresse t:.. n ... 273
Cinquième étape: utiliser le théorème de Ore 275
Des solutions au problème d'isotopie des tresses 277
La représentation d'Artin .. 277
Les représentations linéaires . 280
La forme normale gloutonne . 283
Le retournement de sous-mot 286
La réduction des poignées. . . 289
Les coordonnées de Dynnikov 291
La forme normale de Fromentin 296
Conclusion............ 299
Bibliographie 299
Leçon Il. CédÂcVillanl. Transport optimal 301
Les débuts du transport optimal 301
Monge 301
Kantorovich .......... 304
La redécouverte des années 1980 . 307
Brenier 308
Cullen.............. 312
Mather ............. 314
Un théorème typique de la théorie. 316
Le transport optimal pour démontrer des inégalités 318
Une inégalité isopérimétrique 318
D'autres inégalités 320
Le transport optimal et la courbure de Ricci 321
Philosophie 321
PourquoiRicci? .............. 322
rapproche par la formule de Bochner. 325
rapproche par le transport optimal 326
Pourquoi faire cela? .... 329
Quoi de neuf depuis la leçon? . 337
Bibliographie 338
Leçon 12. Étienne Ghys. Géodésiques sur les surfaces à courbure
négative 339
Hadamard et Poincaré: la découverte du chaos . 339
Morse et Thue
: la combinatoire des mots infinis 345
Anosov et la stabilité structurelle . . . . . . . 348
Gromov et les groupes hyperboliques . . . . 350
Les réseaux dans le plan et le flot modulaire 351
Lorenzet sonpapillon . . . . . . . . . . . 358
Nœuds de Lorenz et nœuds modulaires. 361
Bibliographie 365
Avis clients
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(Ils sont modérés par nos soins et rédigés par des clients ayant acheté l'ouvrage)
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